Trefnolyn

Cyfeiria'r erthygl isod at y cysyniad o rif trefnol mewn mathemateg bur. Ar gyfer y geiriau am drefnolion mewn gwahanol ieithoedd, gw.Trefnol (ieithyddiaeth).

Mewndamcaniaeth setiau,math penodol orhifywtrefnolyn(hefydrhif trefnolneudrefnolyn traws-feidraidd). Fe'u cyflwynwyd gyntaf ym1897ganGeorg Cantor.Maent yn estyniad o'rrhifau naturiolsy'n wahanol i'rcyfanrifaua'rrhifolion.

Llwyr-drefniadgydaganwythiad traws-feidraiddywiawn-drefniad.Gallem feddwl am drefnolion feldosbarthiadau cyfwertheddo setiau wedi eu llwyr-drefnu, lle mai isomorffedd trefn yw'r perthynas cyfwerthedd. Cymerwn mai set y trefnolion sy'n llai nag ef yw pob trefnolyn. Gallwn ddosbarthu trefnolion yn sero,trefnolion olynyddion,athrefnolion terfannau.Gellir diffinioadio,lluosiacesbonyddutrefnolion. Gellir mynegi unrhyw drefnolyn mewnffurf safonol Cantor.Mae sawl trefnolyn i bob rhifolyn anfeidraidd. Mae ynadopolegnaturiol ar y trefnolion.

Trefnolion fel estyniad o'r rhifau naturiol

Gellir defnyddiorhif naturiolat ddau bwrpas: i ddisgrifiomaintset,neu i ddisgrifiolleoliadelfen mewndilyniant.Wrth drafod y "byd" meidraidd, mae'r ddau gysyniad yn cyd-fynd, ond wrth drafod setiau anfeidraidd mae'n rhaid gwahaniaethu rhwng y ddau. Deillia'rrhifoliono'r cysyniad o faint, tra fod y trefnolion a ddisgrifir yma yn deillio o gyffredinoli'r cysyniad o leoliad neu drefn.

Tra fod y cysyniad o rifolyn yn ymwneud â set heb unrhyw strwythur arbennig iddi, mae yna gysylltiad agos rhwng trefnolyn a math arbennig o set a gelwir ynset iawn-drefnedig.Yn gryno, mae set iawn-drefnedig yn set llwyr-drefnedig (gellir dweud pa un o unrhyw ddwy elfen sydd yn fwy neu'n llai) lle nad oes dilyniantlleihaolanfeidraidd (fe all gynnwys dilyniantcynyddolanfeidraidd fodd bynnag). Gellir defnyddio trefnolion i labelu'r elfennau mewn unrhyw set iawn-drefnedig a roddir, ac i fesur "hyd" (math trefn) yr holl set gyda'r trefnolyn lleiaf nad yw'n label i unrhyw elfen o'r set.

Rhoddir unrhyw drefnolyn gan y set o drefnolion sy'n llai nag ef: yn wir, mae'r diffiniad mwyaf cyffredin yndiffiniopob trefnolyn ifody set honno. Er enghraifft, math trefn y set o drefnolion {0,1,2,...,41} yw'r trefnolyn 42, ac yn ôl y diffiniad cyffredin, y set honno ydyw. Hefyd, mae unrhyw set o drefnolion sy'n gaeedig am i lawr (hynny yw fod unrhyw drefnolyn sy'n llai na threfnolyn sydd yn y set hefyd ynddi) yn drefnolyn.

Hyd yma, trafodasom trefnolion meidraidd (rhifau naturiol) yn unig. Ond mae yna rai anfeidrol yn ogystal: y lleiaf ohonynt yw ω, math trefn y trefnolion meidraidd (neu'n gyfwerth, y set o rifau naturiol).

Cynrychioliad weledol o'r trefnolyn ω². Mae pob ffon yn cynrychioli trefnolyn â'r ffurf ω·m+nlle maemacnyn rifau naturiol.

Hwyrach y gellid ffurfio syniad greddfol gwell o'r trefnolion trwy archwilio ychydig ohonynt: maent yn cychwyn gyda'r rhifau naturiol 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Wedi'r rhain i gyd, daw'r trefnolyn anfeidraidd cyntaf, ω, a wedyn daw ω+1, ω+2, ω+3, ac yn y blaen. Wedi'r rhain i gyd ddaw ω·2 (sef ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ac yn blaen, yna ω·3, ac yna wedyn ω·4. Rhaid fod trefnolyn yn cynrychioli'r set o drefnolion a ffurfid fel hyn (ω·m+n,lle maemacnyn rifau naturiol): ω²yw hwnnw. Ymhellach wedyn, cawn ω³,yna ω⁴,ac yn y blaen, ac ω^ω,yna ω^ω²,a llawer ymhellach ε₀(dim ond ychydig o enghreifftiau o'r trefnolionlleiaf- rhairhifadwy- yw'r rhain). Gallem barhau fel hyn yn ddiddiwedd (mor bell ac y dymunem - yn y bôn, pan mae rhywun yn dweud "ac yn y blaen" wrth gyfri trefnolion, mae'n diffinio trefnolyn mwy).