Hafaliad

Hafaliad
	Carreg glo pob hafaliad yw'r arwydd=,ac fe'i defnyddiwyd am y tro cyntaf gan y Cymro Robert Recorde yn yr hafaliad yma, sy'n mynegi 14x+ 15 = 71, yn ein nodiant ni heddiw. Allan o'i gyfrolThe Whetstone of Witte(1557).
Math	fformiwla
Y gwrthwyneb	inequation
Yn cynnwys	hafalnod
	Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Gosodiadmathemategolywhafaliad(Saesneg:equation), sy'n cynnwys un neu ragor onewidynnau.Mae'n ddull o fynegi fod dau wrthrych mathemategol (rhifau, fel arfer) yn union yr un peth. Mynegir hyn yn symbolaidd â'rhafalnod,=,a ddefnyddiwyd yn gyntaf gan y mathemategwr o Gymro,Robert Recorde(tua 1510 – 1558). Dyma rai enghreifftiau o hafaliadau:

2 + 3 = 5, neu

x−x= 0, neu

x = y,neu

x+ 1 = 2.

Unfathiannauyw'r cyntaf a'r ail: maent yn wir, pa bynnag werth a gymer y newidynnau ynddynt. Lle nad yw hafaliad yn unfathiant, fe all y gosodiad fod yn wir neu'n anwir yn dibynnu ar werthoedd y newidynnau ynddo. Fe gelwir gwerthoedd o'r newidynnau sy'n peri i'r gosodiad fod yn wir ynwreiddiau(neu datrysiadau) yr hafaliad. Dywedir eu bod ynbodlonniyr hafaliad. Yn y drydedd enghraifft uchod, mae nifer anfeidrol o ddatrysiadau,x = 1, y = 1er enghraifft. Yn y bedwaredd enghraifft, dim ond un datrysiad,x = 1sy'n bodoli. Dywedir ei fod yn wraidd unigryw.

Priodweddau elfennol

Mewnalgebraelfenol, os yw hafaliad yn wir, fe ellir deillio hafaliad gwir arall ohono wrth wneud y canlynol:

Adiorhif i ddwy ochr yr hafaliad.
Tynnurhif o ddwy ochr yr hafaliad.
Lluosidwy ochr yr hafaliad â'r un rhif.
Rhannudwy ochr yr hafaliad ag unrhyw rhifan-sero.
Yn gyffredinol, gellir gymhwysoffwythianti'r ddwy ochr.

Mae hafaledd yn enghraifft oberthynas unfathiant.

Mae datrys hafaliad sy'n cynnwysnewidynnauyn cynnwys penderfynu pa werthoedd o'r newidynnau sy'n gwneud y cydraddoldeb yn gywir. Gelwir y newidynnau y mae'n rhaid datrys yr hafaliad ar eu cyfer hefyd yn anhysbysion (unknowns), a gelwir gwerthoedd yr anhysbysion sy'n bodloni'r cydraddoldeb yn ddatrysiadau yr hafaliad. Mae dau fath o hafaliad:unfathiant (identities)a hafaliadau amodol. Mae unfathiant yn wir am holl werthoedd y newidynnau; mae hafaliad amodol, ar y llaw arall, yn wir am werthoedd penodol y newidynnau yn unig.^[1]

Ysgrifennir hafaliad fel dauymadrodd,wedi'u cysylltu ganhafalnod( "=" ), symbol a ddyfeiswyd yn 1557 gan y CymroRobert Recorde.^[2]Gelwir yr ymadroddion ar ddwy ochr yr hafalnod yn "ochr chwith" ac "ochr dde" yr hafaliad. Yn aml iawn tybir bod ochr dde hafaliad yn sero. Gan dybio nad yw hyn yn lleihau'r cyffredinolrwydd, oherwydd gellir gwireddu hyn trwy dynnu'r ochr dde o'r ddwy ochr.

Y math mwyaf cyffredin o hafaliad yw hafaliad polynomial (a elwir yn gyffredin hefyd ynhafaliad algebraidd) lle mae'r ddwy ochr ynpolynomialau.Mae ochrau hafaliad polynomial yn cynnwys un neu fwy odermau.Er enghraifft, yr hafaliad

Ax^{2}+Bx+C-y=0

mae ganddo ochr chwith $Ax^{2}+Bx+C-y$ ,sydd â phedwar 'term' ac ochr dde $0$ ,sy'n cynnwys un term yn unig. Mae enwau'rnewidynnauyn awgrymu bod $x$ ac $y$ yn anhysbys, a bod $A$ , $B$ ,ac $C$ ynbaramedrau,ond fel arfer mae hyn yn cael ei bennu gan y cyd-destun.

Mae hafaliad yn cyfateb i glorian, lle rhoddir pwysau arni. Pan roddir pwysau cyfartal o rywbeth (eegrawn) yn y ddwy badell, mae'r ddau bwysau yn achosi i'r raddfa fod mewn 'cydbwysedd' a dywedir eu bod yn gyfartal. Os tynnir swm o rawn o un badell o'r glorian, yna mae'n rhaid tynnu swm cyfartal o rawn o'r badell arall i gadw cydbwysedd. Yn fwy cyffredinol, mae hafaliad yn parhau i fod mewn cydbwysedd os cyflawnir yr un gweithrediad ar y ddwy ochr.

Mewngeometreg Cartesaidd(neu 'ddadansoddol'), defnyddir hafaliadau i ddisgrifio ffigurau geometrig. Gan fod gan yr hafaliadau sy'n cael eu hystyried, fel hafaliadau ymhlyg (Implicit function) neu hafaliadau parametrig, lawer o atebion, mae'r amcan bellach yn wahanol: yn lle rhoi'r atebion yn benodol neu eu cyfrif, sy'n amhosibl, defnyddir yr hafaliadau i astudio priodweddau ffigurau. Dyma'r syniad cychwynnol yr hyn a elwir yngeometreg algebraidd,maes pwysig o fathemateg.

Mae Algebra'n astudio dau brif deulu o hafaliadau: hafaliadau polynomial ahafaliadau llinol.Pan nad oes ond un newidyn, mae gan hafaliadau polynomial y ffurfP(x) = 0, lle maePynpolynomial,ac mae gan hafaliadau llinol y ffurfax+b= 0, llemaea abynbaramedrau.I ddatrys hafaliadau gan y naill deulu neu'r llall, defnyddir technegau algorithmig neu geometrig sy'n tarddu oalgebra llinolneuddadansoddiad mathemategol.Mae Algebra hefyd yn astudiaeth o hafaliadau Diophantine lle mae'r cyfernodau a'r datrusiadau yngyfanrifau.Mae'r technegau a ddefnyddir yn wahanol ac yn dod otheori rhif.Mae'r hafaliadau hyn yn anodd yn gyffredinol; mae person yn aml yn chwilio dim ond i ddarganfod bodolaeth neu absenoldeb datrysiad, ac, os ydynt yn bodoli, i gyfrif nifer yr atebion.

Maehafaliadau differol(neu 'wahaniaethol') yn hafaliadau sy'n cynnwys un neu fwy o swyddogaethau a'u deilliadau. Fe'udatrysirtrwy ddod o hyd i fynegiad ar gyfer yffwythiantnad yw'n cynnwysdeilliadau.Defnyddir hafaliadau gwahaniaethol i fodelu prosesau sy'n cynnwys cyfraddau newid y newidyn, ac fe'u defnyddir mewn meysydd fel ffiseg, cemeg, bioleg ac economeg.

Cyflwyniad

Darlun analog

Mae hafaliad yn cyfateb i glorian neu si-so.

Yn y llun, maex,yazi gyd yn feintiau gwahanol (yn yr achos hwnrhifau real) a gynrychiolir fel pwysau crwn, ac mae pwysau gwahanol arbob un o x,y,a z.Mae adio yn cyfateb i ychwanegu pwysau, tra bod tynnu yn cyfateb i dynnu pwysau o'r hyn sydd yno eisoes. Pan fydd cydraddoldeb, mae cyfanswm y pwysau ar bob ochr yr un peth.

Paramedrau ac anhysbysion

Mae hafaliadau yn aml yn cynnwys termau heblaw'r anhysbysion. Fel rheol, gelwir y termau eraill hyn, y tybir eu bod ynhysbysyngysonion,cyfernodauneubaramedrau.

Enghraifft o hafaliad sy'n cynnwysxacyfel anhysbysion a'r paramedrRyw

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Panddewisir Ri fod â gwerth 2 (R= 2), byddai'r hafaliad hwn yn cael ei gydnabod mewncyfesurynnau Cartesaiddfel yr hafaliad ar gyfer y cylch radiws o 2 o amgylch y tardd. Felly, yr hafaliad gydagRamhenodol yw'r hafaliad cyffredinol ar gyfer y cylch.

Fel arfer, dynodir yr anhysbysion gan lythrennau ar ddiwedd yr wyddor,x,y,z,w,..., tra bod cyfernodau (paramedrau) yn cael eu dynodi gan lythrennau ar ddechrau'r wyddor,a,b,c,d,....Er enghraifft, yrhafaliad cwadratigcyffredinol fel arfer ywax²+bx+c= 0.

Gelwir y broses o ddod o hyd i'r atebion, neu, yn achos y paramedrau, mynegi'r anhysbys yn nhermau'r paramedrau, yn 'ddatrys yr hafaliad'. Gelwir mynegiadau o'r fath o'r atebion o ran y paramedrau hefyd ynatebion.

Mae system o hafaliadau yn set ohafaliadau cydamserol (simultaneous equations),fel arfer mewn sawl anhysbys y ceisir yr atebion cyffredin ar eu cyfer. Felly, mae'rateb i'r systemyn set o werthoedd ar gyfer pob un o'r anhysbysion, sydd gyda'i gilydd yn ffurfio ateb i bob hafaliad yn y system. Er enghraifft, mae gan y system

{\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}

y datrysiad unigrywx= −1,y= 1.

Unfathiant

Mewnmathemategunfathiant (Saesneg:identity) yw perthynas yrhafaleddA=B,fel bodAaByn cynnwys rhainewidynnaua lle maeAaByn rhoi'r un gwerthoedd a'i gilydd, ni waeth be fo'r gwerthoedd (rhifau, fel arfer) a gaiff eu cyfnewid am newidynnau. Mewn geiriau eraill, maeA=Byn unfathiant os ywAaByn diffinio yr unffwythiannau.Golyga hyn fod yr 'unfathiant' yn 'hafaledd' (equality) rhwng ffwythiannau a ddiffiniwyd yn wahanol. Er enghraifft, mae (a+b)²=a²+ 2ab+b²acos²(x) + sin²(x) = 1yn unfathiannau.

Caiff unfathiannau eudynodigan y symbol $\equiv$ (bariau triphlyg ), yn hytrach na $=$ ,sef yrhafaliad.^[3]

Mewn geiriau eraill: enghraifft o unfathiant yw'r gwahaniaeth rhwng dau sgwâr:

x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)

sy'n wir am bobxacy.

Maetrigonometregyn faes lle mae llawer o unfathianau'n bodoli; mae'r rhain yn ddefnyddiol wrth drin neu ddatryshafaliadau trigonometrig.Dau o lawer sy'n cynnwys y swyddogaethau sin achosinyw:

\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1

lle maeθwedi'i gyfyngu i rhwng 0 a 45 gradd, gall un ddefnyddio'r hunaniaeth uchod i'r cynnyrch roi:

\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )

sydd ill dau'n wir am holl werthoeddθ.

Er enghraifft, i ddatrys gwerthθsy'n bodloni'r hafaliad:

3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,

{\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,

sy'n ildio'r datrysiad canlynol ar gyferθ:

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.

Priodweddau

Mae dwy hafaliad neu ddwy system o hafaliadau yngyfwerth,os oes ganddyn nhw'r un set o atebion. Mae'r gweithrediadau canlynol yn trawsnewid hafaliad neu system o hafaliadau yn un gyfwerth - ar yr amod bod y gweithrediadau yn ystyrlon ar gyfer yr ymadroddion y maent yn berthnasol iddynt:

Adioneudynnu'run maint i (neu o) ddwy ochr hafaliad. Mae hyn yn dangos bod pob hafaliad yn cyfateb i hafaliad lle mae'r ochr dde yn sero.
Lluosineurannudwy ochr hafaliad â maint nad yw'n sero.
Cymhwysounfathianti drawsnewid un ochr i'r hafaliad. Er enghraifft, ehangu lluoswm neu ffactoreiddio swm.
Ar gyfer system: ychwanegu ochr gyfatebol hafaliad arall i ddwy ochr hafaliad, wedi'i luosi â'r un maint.

Er enghraifft, mae

Algebra

Hafaliadau polynomial

*Datrysiadau*–1 a 2 yrhafaliad polynomialx²–x+ 2 = 0yw'r pwyntiau lle mae graff yswyddogaeth gwadratigy=x²–x+ 2yn torri'r echelin-x.

Yn gyffredinol,hafaliad algebraiddneu hafaliad polynomial yw hafaliad o'r ffurf

P=0

,neu

P=Q

lle maePaQynpolynomialauâchyfernodaumewn rhai maes (eerhifau rhesymegol,rhifau real,rhifau cymhlyg). Mae hafaliad algebraidd ynun-amrywedd(univariate)os yw'n cynnwys unnewidyn ynunig. Ar y llaw arall, gall hafaliad polynomial gynnwys sawl newidyn, ac os felly fe'i gelwir ynaml-amrywedd(multivariate;newidynnau lluosog, x, y, z, ac ati). Mae'r termhafaliad polynomialfel arfer yn cael ei ddefnyddio'n hytrachnag hafaliad algebraidd.

Maesystem hafaliadau llinol(neusystem linellol) yn gasgliad ohafaliadau llinolsy'n cynnwys yr un set onewidynnau.Er enghraifft, mae

x^{5}-3x+1=0

yn hafaliad algebraidd (polynomial) ynunivariategyda chyfernodau cyfanrif a

y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}

yn hafaliad polynomial aml-amrywedd dros y rhifau rhesymegol.

Systemau hafaliadau llinol

Llyfr Tsieineaidd dienw yw'rNaw Pennod ar y Gelf Fathemategolsy'n cynnig dull datrys ar gyfer hafaliadau llinol.

{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}

yn system o dri hafaliad yn y tri newidyn x, y, z. Datrysiad i system linellol yw aseiniad rhifau i'r newidynnau fel bod yr holl hafaliadau'n cael eu bodloni ar yr un pryd. Rhoddir datrysiad i'r system uchod gan

{\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}

gan ei fod yn gwneud y tri hafaliad yn ddilys. Mae'r gair "system"yn nodi bod yr hafaliadau i'w hystyried ar y cyd, yn hytrach nag yn unigol.

Mewn mathemateg, theori systemau llinol yw sylfaen a rhan sylfaenolalgebra llinol,pwnc a ddefnyddir yn y rhan fwyaf o fathemateg fodern. Maealgorithmaucyfrifiadol ar gyfer dod o hyd i'r atebion yn rhan bwysig o algebra llinol rhifiadol, ac maent yn chwarae rhan amlwg mewnffiseg,peirianneg,cemeg,gwyddoniaeth gyfrifiadurol,aceconomeg.Gellirbrasamcanusystem o hafaliadau aflinol yn aml drwy system llinol, techneg ddefnyddiol wrth wneud model mathemategol neu efelychiad cyfrifiadurol o system gymharol gymhlyg.

Geometreg

Geometreg ddadansoddol

Mewngeometreg Ewclidaidd,mae'n bosibl cysylltu set o gyfesurynnau â phob pwynt yn y gofod, er enghraifft gan grid orthogonal. Mae'r dull hwn yn caniatáu i un nodweddu ffigurau geometrig drwy hafaliadau. Gellir mynegiplânmewn gofod tri dimensiwn fel set i ateb hafaliad y ffurf $ax+by+cz+d=0$ ,lle mae $a,b,c$ a $d$ yn rhifau real a $x,y,z$ yw'r pethau anhysbys sy'n cyfateb i gyfesurynnau pwynt yn y system a roddir gan y grid orthogonal. Y gwerthoedd $a,b,c$ yw cyfesurynnau fector sy'n berpendicwlar i'r plân a ddiffinnir gan yr hafaliad. Gall llinell gael ei mynegi fel croestoriad dwy blân, hynny yw fel set sy'n ateb yr hafaliad llinol sengl gyda gwerthoedd yn $\mathbb {R} ^{2}$ neu fel set datrysiad dau hafaliad llinol â gwerthoedd yn $\mathbb {R} ^{3}.$

Adran conigyw croestoriadcônag hafaliad $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ aphlân.Mewn geiriau eraill, yn y gofod, diffinnir pob conig fel set datrysiad hafaliad plân a hafaliad côn. Mae'r ffurfioldeb hwn yn caniatáu i un bennu lleoliad a phriodweddau ffocysau conig.

Hafaliadau Cartesaidd

Maesystem gyfesurynnol Gartesaiddynsystem system o gyfesurynnausy'n pennu pobpwyntunigryw mewnplângan bâr o gyfesurynnaurhifiadol,sef y pellteroedd o'r pwynt i ddwy linell sefydlogberpendicwlar,sy'n cael eu marcio gan ddefnyddio'r un uned o hyd.

Damcaniaeth rhif

Hafaliadau Diophantine

Mae hafaliad Diophantine yn hafaliad polynomial mewn dau anhysbys neu fwy - lle ceisir dim ond datrysiad cyfanrif (integer solution) ar eu cyfer; mae datrysiad cyfanrif yn ddatrysiad fel bod yr holl bethau anhysbys yn cymryd gwerthoedd cyfanrif). Mae hafaliad Diophantine llinol yn hafaliad rhwng dau swm o fonomial o radd sero neu un. Enghraifft o hafaliad Diophantine llinol yw lle mae a, b, ac c yn gysonion. Mae hafaliad Diophantine esbonyddol yn un y gall esbonwyr termau'r hafaliad fod yn anhysbys ar ei gyfer.

Mae gan broblemau diophantine lai o hafaliadau na newidynnau anhysbys ac maent yn cynnwys dod o hyd i gyfanrifau sy'n gweithio'n gywir ar gyfer pob hafaliad. Mewn iaith fwy technegol, maent yn diffinio cromlin algebraidd, arwyneb algebraidd, neu wrthrych mwy cyffredinol, ac yn gofyn am y pwyntiau dellt (lattice points) arno.

Mae'r gair Diophantine yn cyfeirio at fathemategydd Helenistig y 3g, sef Diophantus o Alexandria, a wnaeth astudiaeth o hafaliadau o'r fath ac a oedd yn un o'r mathemategwyr cyntaf i gyflwyno symbolaeth i algebra. Bellach gelwir yr astudiaeth fathemategol o broblemau Diophantine a gychwynnodd Diophantus yn 'ddadansoddiad Diophantine'.

Hafaliadau differol

Hafaliad differolywhafaliad mathemategolsy'n cysylltu rhywfaint offwythiantâ'iddeilliannau.Mewn cymwysiadau, mae'r ffwythiannau fel arfer yn cynrychioli meintiau corfforol, mae'r deilliadau'n cynrychioli eu cyfraddau newid, ac mae'r hafaliad yn diffinio perthynas rhwng y ddau. Oherwydd bod cysylltiadau o'r fath yn hynod gyffredin, mae hafaliadau differol yn chwarae rhan amlwg mewn llawer o ddisgyblaethau gan gynnwysffiseg,peirianneg,economegabioleg.

Geometreg algebraidd

Mae geometreg algebraidd yn astudiaeth oseroau('isradd' neu 'sero'rffwythiant')polynomialauaml-gyfeiriol. Mae geometreg algebraidd modern yn seiliedig ar y defnydd o dechnegau algebra haniaethol, yn bennaf ar gyfer datrysproblemau geometrigam setiau o seros. Amcanion sylfaenol yr astudiaeth o geometreg algebraidd yw 'amrywiaeth algebraidd'. Amrywiaeth algebraidd, felly, yw prif faes astudiaeth geometreg algebraidd.

Ymhlith yr amrywiaeth algebraidd a astudir fwyaf aml mae comliniau algebraidd sy'n cynnwysllinellau,cylchoedd,elipsau,hyperbolâu,llinellau,parabolâu,cromlinau ciwbic a chromlinau cwartig. Mae geometreg algebraidd yn cymryd lle canolog mewn mathemateg fodern ac mae ganddo lawer o gysylltiadau cysyniadol a meysydd mor amrywiol âdadansoddiad cymhleth,topolegatheori rhif.

Mathau o hafaliadau

Gellir dosbarthu hafaliadau yn ôl y mathau o weithrediadau a meintiau dan sylw. Ymhlith y mathau pwysig mae:

hafaliad algebraiddneuhafaliad polynomial,lle mae'r ddwy ochr yn polynomialau (gweler hefyd system hafaliadau polynomial). Dosberthir y rhain ymhellach yn ôl gradd:
- hafaliad llinolargyfer gradd un
- hafaliad cwadratigar gyfer gradd dau
- hafaliad ciwbig ar gyfer gradd tri
- hafaliad cwartig ar gyfer gradd pedwar
- hafaliad quintig ar gyfer gradd pump
- hafaliad sextig ar gyfer gradd chwech
- hafaliad septig ar gyfer gradd saith
- hafaliad octig ar gyfer gradd wyth
hafaliad Diophantine lle mae'n ofynnol i'r anhysbys fod yngyfanrifau
hafaliad trosgynnol,sy'n cynnwys swyddogaeth drosgynnol ei anhysbys
hafaliad parametrig, lle mae'r datrysiadau ar gyfer y newidynnau yn cael eu mynegi fel swyddogaethau rhai newidynnau eraill, o'r enwparamedrausy'n ymddangos yn yr hafaliadau
hafaliad swyddogaethol, lle mae'r anhysbys ynffwythiantyn hytrach na meintiau syml
hafaliadau sy'n cynnwys deilliadau, integrynnau a gwahaniaethau meidraidd ee:
- hafaliad differol
- hafaliad cyfannol (neu 'Integral equation')
- hafaliad swyddogaethol
- hafaliadintegro-differential

Cyfeiriadau

↑Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique".Encyclopædia Universalis(yn Ffrangeg).
↑"Equation - Math Open Reference".mathopenref.Cyrchwyd2020-09-01.
↑Weiner, Joan (2004).Frege Explained.Open Court.

Dolenni allanol

Winplot:Cynllwynwr Pwrpas Cyffredinol sy'n gallu darlunio ac animeiddio hafaliadau mathemategol 2D a 3D.
Cynllwynwr hafaliad:Mae tudalen we ar gyfer cynhyrchu a lawrlwytho plotiau pdf neu ôl-nodyn o'r datrysiad yn gosod hafaliadau ac anghydraddoldebau mewn dau newidyn (xacy).

[1] Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique".Encyclopædia Universalis(yn Ffrangeg).

[:1-2] "Equation - Math Open Reference".mathopenref.Cyrchwyd2020-09-01.

[3] Weiner, Joan (2004).Frege Explained.Open Court.

[1]

[2]

[3]