Aritmetik

Der er for få eller ingenkildehenvisningeri denne artikel,hvilket er et problem.Du kan hjælpe ved at angivetroværdige kildertil de påstande, som fremføres i artiklen.

Aritmetik

Aritmetik(gr. arithmetiké, læren om tal, af gr. arithmos, tal) er en gren afmatematikken,der studerer de fundamentale principper ved vissearitmetiske operationerpåtal. De traditionelle operationer eraddition(+),subtraktion(-),multiplikation(*) ogdivision(/); men også de lidt mere avancerederødderogeksponenter en del af aritmetikken. Aritmetiske operationer udføres i forhold til de forskelligeoperationers prioritet.

Denne prioritet er som følger:

1. eksponenter, potenser
2. multiplikation, division
3. addition, subtraktion

Rødder indgår under potenser, da de kan skrives således:

${\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}$

${\sqrt[{4}]{z}}=z^{\frac {1}{4}}$

Mere generelt:

${\sqrt[{x}]{z}}^{y}=z^{\frac {y}{x}}$

Disse er vigtige at huske, når ligninger skal løses.

Aritmetik mednaturlige tal,heltal,rationale talogreelle talbliver der undervist i på folkeskoleniveau.

Udtrykketaritmetiskbruges sommetider også omtalteori.

Prioriteringsrækkefølge

Først demonstreres, hvorledes simple ligningssystemer løses. Man skal ALTID gøre det samme på begge sider af lighedstegnet:

Addition/subtraktion	Multiplikation/division
Husk at holde styr på fortegnene.	Husk altid at benytte sig af parenteser, når ligninger løses ved division/multiplikation på begge sider af lighedstegnet:
Addition $x-2=-3\quad \Leftrightarrow \quad x-2+2=-3+2\quad \Leftrightarrow$ $x=-1$	Multiplikation $k$er en konstant. ${\frac {x}{2}}=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}=2\cdot (-3+k)\quad \Leftrightarrow \quad x=-6+2\cdot k$
Subtraktion $2+x=-3\quad \Leftrightarrow \quad 2+x-2=-3-2\quad \Leftrightarrow$ $x=-5$	Division $k$er en konstant. $2\cdot x=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}={\frac {(-3+k)}{2}}\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {-3}{2}}+{\frac {k}{2}}$

• Fremgangsmetoden

Her vises vha. konstanter, hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt:

$3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}$

De rigtige fremgangsmåder skal nu huskes,

• Først, potenser

Vi har to potenser, en ved

$(x-2)^{2}$

og

$x^{2}$

,hhv. den første skal ganges ud, mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede.

$3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3((x-2)\cdot (x-2)-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad$

$3(x^{2}-4x+4-3)={\frac {8}{x^{2}}}$

• Anden, division/multiplikation

Da ganges ind i parenteserne osv.

$3(x^{2}-4x+1)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3x^{2}-12x+3={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow$

$x^{2}(3x^{2}-12x+3)=8\quad \Leftrightarrow \quad 3(x^{2})^{2}-12x\cdot x^{2}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow$

$3x^{4}-12x^{3}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow \quad x^{4}-4x^{3}+x^{2}={\frac {8}{3}}$

Ovenstående to ligninger kan man selv vælge, hvilken der falder bedst i smag.

Se også

• Associativitet
• Kommutativitet
• Distributivitet

Wikimedia Commonshar medier relateret til: Aritmetik