Hölders ulighed

Imatematisk analyseerHölders uligheden fundamentalulighed,der relatererL^p-rum,som er opkaldt efter dentyskematematikerOtto Hölder.

LadSvære etmålrum,lad 1 ≤p,q≤ ∞ med 1/p+ 1/q= 1 og ladfoggværemålelige funktioner.Da gælder

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Specielt gælder forfiL^p(S) oggiL^q(S), atfgligger iL¹(S).

Tallenepogqkaldes hinandensHölderkonjugerede.

Hölders ulighed bruges til at visetrekantsulighedeniL^pogMinkowkis ulighedog bruges ligeledes til at opnå, atL^pogL^qerduale rum.

Hölders ulighed blev først fundet afLeonard James Rogersi 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.

Vigtige specialtilfælde

• Forp=q= 2 er Hölders ulighed blotCauchy-Schwarz' ulighed.

• I tilfældet medeuklidisk rum,dvs. hvisSer {1,…,n} medtællemålet,fås for allexogyiRⁿ(eller iCⁿ), at

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.$

• HvisS=Nmed tællemålet fås Hölders ulighed for følger i$\ell ^{p}$:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in \ell ^{p},y\in \ell ^{q}.$

• For rummet afintegrablefunktionermed komplekse værdier, haves

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \int {\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,dx\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$

Bevis

Beviset for uligheden hænger påYoungs ulighed:for ikke-negativeaog1/p∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder

$ab\leq a^{p}/p+b^{q}/q,$

og der gælder lighedhvis og kun hvisa^p=b^q

Hölders ulighed er triviel at vise, hvis entenfellerghar uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at

$\|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.$

Ved at bruge Youngs ulighed meda= |f(x)| ogb= |g(x)|, fås for allexi det pågældende målrum, at

$|f(x)g(x)|\leq {\frac {1}{p}}|f(x)|^{p}+{\frac {1}{q}}|g(x)|^{q}.$

Integration giver nu

$\|fg\|_{1}\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},$

hvilket viser påstanden.