Topologi

For alternative betydninger, seTopologi (flertydig).(Se også artikler, som begynder med Topologi)

EtMöbiusbånd:Et objekt med kun en side og en kant; bl.a. sådanne strukturer studeres i topologi.

Topologi(græsktopos,'sted', oglogos,'lære') er en del af matematikken, der udvidergeometri.Topologi begynder med en betragtning af rummets natur, og rummets finstruktur såvel som dets globale struktur analyseres. Topologi bygger påmængdelæreog der arbejdes typisk med bådemængderaf punkter og familier af mængder.

Ordettopologibenyttes både om det matematiske område og om en familie af mængder, der har bestemte egenskaber, der beskrives nedenfor og benyttes til at definere ettopologisk rum.Af særlig interesse er en bestemt typeafbildninger,der kaldeshomøomorfier.Intuitivt er dette funktioner, der kan betragtes som deformationer af rummet, der ikke "ødelægger" det, eller som sætter forskellige dele sammen.

Da disciplinen blev grundlagt i slutningen af det19. århundrede,blev den kaldtgeometria situs(latin'stedgeometri') oganalysis situs(latin 'stedanalyse'). Fra omkring 1925 til 1975 var området et vigtigt område i vækst indenfor matematikken, og der finder endnu megen forskning sted i forskellige områder, der stammer fra topologien: Den mest grundlæggende opdeling indenfor topologi erpunktmængdetopologi,hvor man undersøger begreber somkompakthed,sammenhængenhedogtællelighed;algebraisk topologi,hvor man undersøger begreber somhomotopioghomologi;oggeometrisk topologi,der beskæftiger sig medmangfoldighederog deres indlejringer, herunderknudeteori.

Historie

En kontinuert deformation (homotopi) af en kaffekop til en munkering (torus) og tilbage igen.

Området, der nu kaldes topologi, stammer oprindeligt fra undersøgelsen af bestemte spørgsmål i geometri.Leonhard Eulersafhandling omKönigsbergs syv broerfra1736betragtes som et af de første topologiske resultater.

Betegnelsen "topologie" blev introduceret på tysk i1847afJohann Benedict ListingiVorstudien zur Topologie(om end Listing havde brugt begrebet i korrespondancer ti år forinden).

Moderne topologi er i høj grad afhængigt af idéerne imængdelæren,som blev udviklet afGeorg Cantori den sidste del af det 19. århundrede. Udover at danne grundlaget for mængdelæren, betragtede Cantor punktmængder ieuklidiske rumi sin undersøgelse afFourierrækker.

Henri Poincaré,der betragtes som en af grundlæggerne af moderne topologi, udgavAnalysis Situsi 1895 og introducerede heri begrebernehomotopioghomologi,der i dag betragtes som en del af algebraisk topologi.

Maurice Fréchet,der forenede Cantors,Volterras,Arzelàs,Hardamards,Ascolis og andres forskning affunktionsrum,introducerede i 1906 begrebetmetrisk rum.Et metrisk rum, der er en generalisering af begrebet euklidisk rum, betragtes nu som et specialtilfælde af det mere generelle topologiske rum. Begrebet "topologisk rum" blev først brugt i1914afFelix Hausdorff,der ligeledes definerede, hvad der i dag kaldes etHausdorffrum.

Grundlæggende introduktion

Königsbergs syv broerer et berømt problem, der blev løst afEuler.

Topologiske rum optræder naturligt i stort set alle dele af matematikken, hvorfor topologi er blevet en af de store forenende idéer i matematikken.Generel topologi,ellerpunktmængdetopologi,definerer og behandler egenskaber ved rum og afbildninger, såsomsammenhængenhed,kompakthedogkontinuitet.Algebraisk topologibenytter sig af strukturer fraabstrakt algebra,specieltgruppen,til at studere topologiske rum og afbildninger mellem dem.

Motivationen bag topologi er, at nogle geometriske problemer ikke afhænger af den præcise form af de involverede objekter, men snarere af måden de er sat sammen. Eksempelvis har firkanten og cirklen mange egenskaber til fælles. Set fra et topologisk synspunkt, er begge endimensionale objekter, og de deler begge planen i to dele. En del, der ligger udenfor objektet, og en anden del, der ligger indenfor.

Som nævnt var Eulers afhandling om umuligheden af at finde en rute gennem Königsberg (nuKaliningrad), der krydser alle broer netop én gang, blandt topologiens første. Eulers resultat afhang ikke af broernes længde, ej heller af afstanden mellem dem. Det er udelukkende sammenhængsegenskaber der bestemmer: Hvilke broer er forbundet til hvilke øer og bredder? Problemet,Königsbergs syv broer,er nu et berømt problem i grundlæggende matematik og på det matematiske område, der er kendt somgrafteori.

Et mislykket forsøg på at rede en kugle flad, som efterlader en tot i hver ende.

Det samme gældersætningen om den behårede kuglei algebraisk topologi, der siger, at "man ikke kan rede håret på en kugle glat" (se illustrationen til højre). Dette resultat virker umiddelbart oplagt for mange mennesker, selvom de ikke genkender sætningens formelle udsagn: At der ikke findes etkontinuerttangentvektorfeltpåkuglen,der aldrig er 0. Som med Königsbergs broer afhænger resultatet ikke af kuglens præcise form; det gælder også om pæreformede objekter og faktisk om enhver formløs klat (med nogle betingelser på glatheden af overfladen); så længe objektet ikke har huller.

For at behandle disse problemer, der ikke har med objekters præcise form at gøre, må man gøre sig klart, hvilke egenskaber problemerne så faktiskafhængeraf. Heraf opstår behovet for begrebettopologisk ækvivalens.Umuligheden af at krydse hver bro netop én gang kan bruges på enhver topologisk ækvivalent opstilling af broer, og sætningen om den behårede kugle kan bruges på ethvert rum, der er topologisk ækvivalent med kuglen.

Intuitivt er to rum topologisk ækvivalente, hvis det ene kan deformeres over i det andet uden behov for at skære eller lime. En typisk vittighed er, at topologer (forskere i topologi) ikke kan kende forskel på koppen de drikker af og munkeringen de spiser, da en tilstrækkeligt bøjelig munkering kan laves om til en kaffekop som på illustrationen i begyndelsen af dette afsnit.

Matematisk definition

Uddybende artikel:Topologisk rum

LadXvære en mængde og ladTvære en familie af delmængder afX.Da kaldesTentopologipåX,hvis

1. Den tomme mængdeogXer elementer iT.
2. En vilkårlig forening af elementer iTigen ligger iT.
3. Et snit af endeligt mange elementer iTigen ligger iT.

HvisTer en topologi påX,kaldes parret (X,T) ettopologisk rum.

Mængderne iTkaldesåbne;bemærk at dette ikke nødvendigvis er alle delmængder afX(eksempelvis er mængden bestående af den tomme mængde ogXselv en topologi påX). En delmængde afXsiges at værelukket,hvis dens komplement ligger iT(dvs. komplementet er åbent). En delmængde afXkan være åben, lukket, begge dele eller ingen af delene.

Enafbildningfra et topologisk rum til et andet kaldeskontinuert,hvisurbilledetaf en åben mængde under funktionen igen er åbent. Hvis funktionen afbilder dereelle taltil de reelle tal (udstyret med de sædvanlige åbne mængder), er denne definition af kontinuitet ækvivalent med definitionen iinfinitesimalregningen.Hvis en kontinuert funktion erbijektivmed kontinuert invers, kaldes funktionen enhomøomorfiog billedet af funktionen siges at være homøomorft på definitionsområdet. Hvis to rum er homøomorfe, har de de samme topologiske egenskaber, og de siges at være topologisk ækvivalente. Kuben og kuglen er homøomorfe, og det samme er kaffekoppen og munkeringen. Men cirklen er ikke homøomorf med munkeringen.

Referencer

• Munkres, James (1999).Topology(2 udgave).Prentice Hall.ISBN0-13-181629-2.(engelsk)
• Kelley, John L. (1975).General Topology.Springer-Verlag.ISBN0-387-90125-6.(engelsk)
• Pickover, Clifford A. (2006).The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology.Thunder's Mouth Press.ISBN1-56025-826-8.(engelsk)
• Querenburg, Boto von(2006),Mengentheoretische Topologie.Heidelberg: Springer-Lehrbuch.ISBN3-540-67790-9(tysk)

Wikimedia Commonshar medier relateret til: Topologi