Varians

Varianser et begreb inden forsandsynlighedsregningogstatistik,der angiver variabiliteten af enstokastisk variabel.

Variansen et mål for, hvor meget den stokastiske variabels værdier i gennemsnit afviger framiddelværdien.

Variansen for en stokastisk variabel $X$ er defineret som

${\mbox{Var}}(X)={\mbox{E}}\left((X-{\mbox{E}}(X))^{2}\right)$

hvor ${\mbox{E}}(X)$ angiver middelværdien af den stokastiske variabel. Det kan let vises, at

${\mbox{Var}}(X)={\mbox{E}}(X^{2})-\left({\mbox{E}}(X)\right)^{2}$

StandardafvigelsenellerSpredningen, $\sigma$ ,af en stokastisk variabel er defineret som kvadratroden af variansen, dvs.

$\sigma ={\sqrt {{\mbox{Var}}(X)}}$

Empiriske størrelser

Hvis man har etdatasætbestående af observationerne $x_{1},\ldots,x_{n}$ og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt denempiriske varians $s^{2}$ ,som ikke er det samme som V (Varians). Denne er givet ved

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n-1}}$

hvor ${\bar {x}}$ er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og $n$ er antallet af observationer.

Denempiriske spredning $s$ er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

Regneteknisk kan $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$ beregnes som $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{n}}$ ,hvilket betyder, at man kan summere data op løbende uden at beholde de enkelte observationer.

Regneregler for varians

Variansen af en stokastisk variabel ganget med enkonstanter lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2.potens.Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor $X$ er en stokastisk variabel, og $a$ og $b$ er konstanter):

{\mbox{Var}}(a\cdot X+b)=a^{2}\cdot {\mbox{Var}}(X).

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange dereskovarians. Hvis $X$ og $Y$ er to stokastiske variable medkovarians ${\mbox{Cov}}(X,Y)$ skrives det: