Lagrange-punkt

De fem lagrange-punkter i forhold til de to himmellegemer.

EtLagrange-punkt(også omtalt somL-punktellerlibrationspunkt) er positioner i tilknytning til tohimmellegemersomløbsbaneromkring hinanden, hvor et tredje legeme (som skal have forsvindende lillemassesammenlignet med de to øvrige legemer) kan forblive stabilt i, uden atcentripetalkrafteneller de andre legemerstyngdekrafttrækker det væk fra denne position. Der findes fem sådannepunkter,og de benævnes L₁til L₅.

Historisk baggrund

I1772arbejdede den italienskematematikerJoseph Louis Lagrangepå at finde "pæne", analytiske løsninger på hvordan tre eller flere himmellegemer vil bevæge sig i forhold til hinanden. Knap etårhundredeforinden havdeIsaac Newtongrundlagt detmatematiskegrundlag forhimmelmekanikkenved at beregne hvordan to legemer kan bevæge sig i forhold til hinanden. Men så snart der er mere end to legemer "inde i billedet", bliver regnestykket kaotisk; modsat Newtonstolegemeproblemgives der ikke nogle generelle formler for hvordan legemerne kan bevæge sig.

Lagrange fandt aldrig de søgte, generelle løsninger. Det er ikke lykkedes for nogen indtil nu, og dette mere end antyder at der ikkefindesnogen generel, matematisk beskrivelse af løsningerne for tre eller flere legemer. Til gengæld fandt han nogle bestemte, stabile "situationer" — herunder nogle punkter hvor et tredje legeme, meget mindre end de to øvrige legemer, kan forblive stabilt over længeretid,og disse punkter er nu opkaldt efter ham.

De 5 punkter

L₁

Det første Lagrange-punkt ligger et sted på linjen imellem de to legemer, og "følger med" i det lille legemes kredsbevægelse, så det har samme omløbstid. Da vinkelhastigheden i denne bane skulle være større, for atcentrifugalkraftenkunne modvirke det største legemes tyngdekraft, ville et legeme i punktet L₁"normalt" falde ind mod midten, men det lille legemes tyngdekraft trækker det netop udad, så det holdes på plads i punktet.

L₁'s placering kan ikke beregnes eksakt, men hvis det lille legemes masse er minimal i forhold til det største legemes masse er, kan afstanden$r$fra det lille legeme til L₁tilnærmelsesvist beregnes ved:

$r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

hvor$M$og$m$er masserne på hhv. det store og det lille legeme, og$a$er afstanden mellem de to legemer. MedJordenogSoleni rollerne som de to legemer ligger punktet L₁i ca. 1.500.000 km's afstand fra Jorden, i retningen direkte mod Solen. Fra dette punkt er der altid fri og uhindret "udsigt" til Solen, og derfor er solobservatoriet "SOHO" (Solar and Heliospheric Observatory) placeret i umiddelbar nærhed af dette punkt.

L₂

Det andet Lagrange-punkt ligger som L₁på forbindelseslinjen mellem de to legemer, men på den modsatte side af det mindste legeme. L₂vil have en større afstand til det lille legeme end L₁,men er der stor forskel på de to legemers masser, ligger L₁og L₂næsten lige langt fra det lille legeme, blot på hver sin side, så der gælder samme tilnærmelsesvise formel for L₂'s afstand til det lille legeme som for L₁.I banen, hvor L₂ligger, burde vinkelhastigheden være mindre for at modvirke tyngdekraften fra det største legeme, så normalt ville et legeme i denne bane kastes udad af centrifugalkraften, men i L₂trækker det lille legemes tyngdekraft det netop indad, så det holdes på plads i punktet.

Man har i Jordens/Solens L₂-punkt allerede placeret en hel flotille af rumobservatorier herunder:Wilkinson Microwave Anisotropy Probe(WMAP),Herschel-rumteleskopet(i 2009),Planck-rumteleskopet(i 2009) ogJames Webb Space Telescope(JWST) (i 2022). Det skyldes at dette punkt altid har uhindret "udsigt" til universet, uden forstyrrende sollys og jordskygge. Samtidig er kommunikationsforholdene ideelle, da Jorden altid er i samme retning og afstand (i modsætning til en uafhængig bane om Solen). I2014blev astrometrisatellittenGaiaplaceret i L₂.

L₃

Det tredje Lagrange-punkt ligger som L₁og L₂på linje med de to legemer, men på den modsatte side af det største legeme, i en afstand lidt større end afstanden mellem de to legemer.

På baggrund af Lagranges arbejde forestillede man sig en overgang en hypotetisk planet ved dette punkt;en sådan planet ville jo hele tiden "gemme sig" for jordiske observatører bag ved Solen. Denne idé er siden hen blevet skrinlagt, fordi Jordens ikke helt cirkelformede omløbsbane fra tid til anden ville bringe en sådan planet frem af dens "skjul".

Bruges Jorden og Solen som eksempel, så kan et legeme "holde" sin 1 år lange omløbstid i en lidt større afstand fra Solen end Jorden, fordi det påvirkes ikke kun af Solens, men også af Jordens tyngdekraft, om end Jordens andel af det samlede "træk" her vil være temmelig beskeden.

To saturnmåner,JanusogEpimetheus,deler kredsløbet omSaturnog har tidligere været 180° fra hinanden (og er det hvert 4. år). Jorden og anti-Jorden ville ligeledes dele kredsløbet eller eventuelt kollidere.

L₄og L₅

De to Lagrange-punkter L₄og L₅befinder sig til stadighed 60grader"foran" (L₄) og "bag ved" (L₅) det mindste legeme i dennes omløbsbane.

I tilfældet med Solen ogJupitersom de to legemer findes der i L₄og L₅i forhold til Jupiter en rækkesmåplaneter,kaldet detrojanske asteroider.BlandtSaturns månerdelerTethysomløbsbane med to betragteligt mindre måner;TelestoogCalypsoi punkterne L₄og L₅i Tethys' kredsløb omSaturn.SaturnmånenDioneharHeleneogPolydeucesi sine L₄og L₅.

I2011blev det afgjort, at en asteroide fundet i2010befinder sig i et af Jordens Lagrange-punkter (L₄). Det er den første asteroide, man har observeret i et af Jordens Lagrange-punkter.Asteroiden, der indtil videre hedder2010 TK₇,er omtrent 300 meter lang.

I de to L₄- og L₅-punkter i Månens bane, er der observeret en del støv. I1977skrev Gerald O'NeillThe High Frontier( "Rumkolonier" på dansk), hvori han forestillede sig, at man samlede nogle kæmpemæssige rum-øer kredsende om L₅.

Stabilitet

Kendetegnende for alle Lagrange-punkter er, at de eksisterer helt uanset det indbyrdes forhold mellem de to store legemers masser. Desuden vil legemer i L₄og L₅være stabile; skulle de af den ene eller den anden grund blive flyttet en anelse væk fra den præcise lokalitet for Lagrange-punkterne, vil inertien og de store legemers tyngdekraft søge at bringe dem tilbage mod punktet. Dog vil legemet i så fald "skyde forbi" Lagrange-punktet – af den grund kan smålegemer i umiddelbar nærhed af et Lagrange-punkt kredse omkring punktet. Flere smålegemer med ubetydelig masse kan således kredse omkring det samme punkt, jævnfør de talrigetrojanske asteroider.

Bønneformet bane

Kurverne i tyngdekraftfeltet omkring L₃,L₄og L₅er potentielle baner for asteroidermed uretset fra punktet. Kurverne mellem L₁og L₂er potentielle baner for månermod uret.

En trojansk asteroide vil altid kredse omkring Lagrange-punktetmed uretset i forhold til planeteni etbønneformetkredsløb (svarende til kurverne i figuren, der illustrerer tyngdekraftfeltet). Hvis vi ser på L₅,er forklaringen følgende: En asteroide, der er kommet inden for planetens bane, vil efterhånden indhente planeten, fordi den med samme hastighed som i planetbanen vil have et hurtigere omløb om solen. Når den nærmer sig planeten, vil planetens tyngdekraft trække den udad, men i stedet for at ramme planeten, vil den fiktive effektcorioliskraftenfå den til at dreje mod højre i forhold til planeten, og den vil blive skudt ud i en bane længere ude. Herude vil den med samme hastighed som før tabe omløb om solen, men samtidig langsomt trækkes indad mod solen pga. planetens tyngdekraft. Igen vil corioliskraften få den til at søge mod højre, indtil den kommer ind i den samme bane, den startede fra. Omkring L₄kan der bruges de samme argumenter, idet corioliskraften altid vil få asteroiden til at søge mod højre.

Hesteskoformet bane

En asteroide, der befinder sig så langt væk fra L₄og L₅,atbønnernes spidsernår sammen ved L₃,vil indgå i ethesteskoformetkredsløb (stadigmed uret). Tænker man sig f.eks. en asteroide placeret lidt uden for L₃,vil den tabe omløb i forhold til planeten, så den bevæger sig langsomt over mod L₄-punktet og efterhånden passerer det udenom. Når den kommer tæt nok på planeten, vil den (som en trojansk asteroide) sendes ind i et kredsløb inden for planetens bane og herved vinde omløb om solen. Den vil efterhånden passere langsomt bag solen inden for L₃-punktet, fortsætte over mod L₅,som den passerer indenom og derefter sendes forbi planeten i en ydre bane, hvor den taber omløb og langsomt kommer over mod L₃igen. En sådan asteroide,2010 SO16,er observeret i jordens bane omkring solen.

En asteroide i en hesteskoformet bane har altså entrojansk-lignendeopførsel skiftevis omkring L₄og L₅,men da den jo i en stor del af sit omløb befinder sig på "bagsiden" af solen tæt ved L₃,kan dens bane nemt blive påvirket mere af andre planeter end den planet, den deler bane med. Da den samtidig passerer tættere forbi planeten end de trojanske asteroider, skal den ikke påvirkes meget af andre planeter eller asteroider, før den kommer ud af sin bane og måske til sidst vil kollidere med planeten. I ekstreme tilfælde kan man forestille sig, at den rammer til venstre for planeten ved enten L₁eller L₂.Her kan asteroiden blive slynget i et enkelt kredsløb omkring planetenmed uret(modsat enmåne,der kredsermod uret) og derefter forlade planeten igen i samme punkt. Dette er selvsagt en meget ustabil situation, der nemt kan medføre kollision. Man taler om, at planeten efterhånden (pga. kollisioner) vilstøvsugesit kredsløb for asteroider. Kun hvis asteroiden befinder sig tæt på L₄eller L₅,vil den i længden undgå at blive samlet op af planeten.

Månekredsløb eller selvstændigt kredsløb

Lagrange-punkterne L₁og L₂er kun stabile i retningen vinkelret på linjen gennem sol og planet. Ved forstyrrelser i denne retning vil tyngdekrafterne fra solen og planeten tilsammen føre et smålegeme tilbage til Lagrange-punktet. I retningen langs denne linje er de derimod ustabile. Hvis et legeme i ét af disse to punkter forstyrres bare en lille smule i sin bane, så det kommer tættere på planeten, ind i den såkaldteHill-sfære,vil det begynde at kredsemod uretomkring planeten som enmåne/drabant/satellit.Igen er det corioliskraften, der får legemet til at søge mod højre i stedet for direkte mod planeten. Hvis et legeme omvendt forstyrres til en bane længere væk fra planeten, vil det gå over i sit eget selvstændige kredsløb omkring solen, enten et indre kredsløb fra L₁eller et ydre kredsløb fra L₂.Der skal dog ikke meget forstyrrelse til, før et selvstændigt kredsløb tæt på L₁eller L₂kan blive til en hesteskoformet bane. Under alle omstændigheder danner de to punkter en "grænse" for, hvad der skal forstås som planetens bane. Alle andre selvstændige planeter eller asteroider omkring solen vil befinde sig enten inden for L₁eller uden for L₂.

MedJordensbane som eksempel, hvor baneradius er ca. 150.000.000 km, og afstanden til L₁og L₂jo er omkring 1.500.000 km (radius på jordens Hill-sfære), kan nævnes, at afstanden tilMånener 384.400 km. Afstanden til banen for den nærmeste indre planet,Venus,er ca. 42.000.000 km (Venus' Hill-sfære har selv en radius på ca. 1.000.000 km) og til banen for den nærmeste ydre planet,Mars,ca. 77.000.000 km.

Opsummering

I en roterende skivemod uret,som planetbanen er, vilCorioliskraftenaltid bøje et legeme mod højre, når det bevæger sig væk fra et Lagrange-punkt:

1. Fra L₁eller L₂mod planeten vil det gå i et månekredsløbmod uretrundt om planeten.
2. Fra L₁mod solen vil det gå i et selvstændigt kredsløb om solenmod uretset fra planeten (som en indre planet).
3. Fra L₂væk fra planeten vil det gå i et selvstændigt kredsløb om solenmed uretset fra planeten (som en ydre planet).
4. Fra L₃vil en tilpas lille bevægelse føre det ind i enhesteskoformetbanemed uretset fra L₃.
5. Fra L₄og L₅vil en tilpas lille bevægelse føre det ind i enbønneformetbane rundt om punktetmed uret;ved en lidt større bevægelse føres det ind i enhesteskoformetbane.
6. Fra L₃,L₄og L₅vil en tilstrækkelig stor bevægelse føre det over i et selvstændigt kredsløb (som en indre eller ydre planet).

Baner uden for planetens plan

Ovenstående beskrivelser af asteroiders baner gælder kun for smålegemer, der har en bane i samme plan som planeten. Der findes talrige asteroider, der har en baneplan med en markant hældning i forhold til planeterne i solsystemet, og i deres tilfælde er banen mere kompleks. Asteroiden3753 Cruithneer et eksempel på dette.Den har tilsyneladende for tiden en bønneformet bane omkring jordens L₄,men med en banehældning på 19,8° i forhold til jorden. På lidt mindre end et jordår gennemløber den en ellipseformet bane om solen, der fører den tæt på Merkurs bane og uden for Mars's bane. Simulationer viser, at denne bønneformede bane efterhånden vil forskubbe sig væk fra Jorden og bevæge sig i et hesteskoformet forløb rundt om solen.

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commonshar flere filer relateret tilLagrange-punkt