Fast sicher

Fast sicherist ein Begriff derWahrscheinlichkeitstheorieund Spezialfall des Begriffsfast überallaus derMaßtheorie.Ein zufälligesEreignis,das mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, wirdfast sichergenannt. Entsprechend heißt ein Ereignisfast unmöglich,wenn die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens null ist. Diese Begriffe spielen beispielsweise bei derfast sicheren KonvergenzvonZufallsvariableneine wichtige Rolle, wie sie in der Situation desGesetzes der großen Zahlenauftritt.

Definition

In einemWahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,\Sigma,P)$heißt ein Ereignis$E\in \Sigma$fast sicher,wenn

$P(E)\;=\;1$

gilt. Äquivalent hierfür ist die Bedingung$P(E^{C})=0$.

Es heißtfast unmöglich,wenn gilt:

$P(E)\;=\;0.$

Äquivalent hierfür die Bedingung$P(E^{C})=1$.

Nicht jedes fast sichere Ereignis muss notwendig eintreten, sondern es tritt auf einer Menge vom Maß eins auf. Das sichere Ereignis$E=\Omega$ist auch fast sicher, da es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt.

Ein fast unmögliches Ereignis kann möglicherweise eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis$E=\emptyset$ist auch fast unmöglich.

Beispiele

Bei einerGleichverteilungauf demIntervall$[0,1]\subset \mathbb {R}$gilt:

• Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl$x\in [0,1]$zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl außer$x$zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht notwendig eintreten.
• Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeinerationale Zahlin$[0,1]$zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur dasLebesgue-Maß0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeineirrationale Zahlzu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

Literatur

• Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft:Mathematik 1 für Nichtmathematiker.7. Auflage. Oldenbourg, München, Wien 2006,ISBN 3-486-27407-4,Abschnitt 5.6, S. 178 (eingeschränkte Online-Kopiein der Google-Buchsuche)
• Gerd Christoph, Horst Hackel:Starthilfe Stochastik.Teubner, Stuttgart u. a. 2002,ISBN 3-519-00341-4,Abschnitt 2.6, S. 32 (eingeschränkte Online-Kopiein der Google-Buchsuche)