Lévyprozess

Lévyprozesse,benannt nach dem französischen MathematikerPaul Lévy(1886–1971), sindstochastische Prozessemit stationären,unabhängigen Zuwächsen.Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung von Größen, die zwar zufälligen, aber über die Zeit (in Verteilung) gleich bleibenden und voneinander unabhängigen Einflüssen ausgesetzt sind. Viele wichtige Prozesse, wie derWienerprozessoder derPoissonprozess,sind Lévyprozesse.

Definition

Sei$(X_{t}),\;t\in T$,ein stochastischer Prozess über der Indexmenge$T$(meist$T=\mathbb {R} _{+}$oder$T=\mathbb {N} _{0}$). Man sagt,$X_{t}$habeunabhängige Zuwächse,wenn für alle$t_{1}<t_{2}<\dotsb <t_{n}\in T$dieZufallsvariablen$X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dotsc,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$(dieZuwächsevon$X_{t}$)unabhängigsind.

Ist dieVerteilungder Zuwächse über gleich langen Zeitintervallen dieselbe, d. h. gilt

$X_{t_{1}+h}-X_{t_{1}}\sim X_{t_{2}+h}-X_{t_{2}}\;\forall t_{1},t_{2}\in T,\;h>0,$

so nennt man$X_{t}$einenProzess mit stationären Zuwächsen.

Als Lévyprozesse bezeichnet man genau jene Prozesse$(X_{t})$,die unabhängige und stationäre Zuwächse aufweisen. Häufig wird zusätzlich noch verlangt, dass (fast sicher)$X_{0}=0$gilt. Ist$(X_{t})$ein allgemeiner Lévyprozess, dann wird durch$Y_{t}=X_{t}-X_{0}$ein Lévyprozess$(Y_{t})$mit$Y_{0}=0$definiert. Im Folgenden sei stets$X_{0}=0$vorausgesetzt.

Zeitdiskrete Lévyprozesse

Gilt speziell$T=\mathbb {N} _{0}$,so lässt sich die Klasse der Lévyprozesse sehr einfach charakterisieren: Es gibt nämlich für alle solche Prozesse$(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$eine Darstellung

$X_{n}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i},$

wobei$Z_{1},Z_{2},\ldots$unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Andererseits ist für jede Folge von unabhängigen Zufallsvariablen$(Z_{i})_{i\in \mathbb {N} }$,die alle die gleiche beliebig vorgegebene Verteilung haben, durch$X_{0}=0$und$\textstyle X_{n}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}$ein Lévyprozess X definiert. Im zeitdiskreten Fall ist ein Lévyprozess also im Prinzip nichts anderes als eineIrrfahrtmit beliebiger, aber gleich bleibender Sprungverteilung. Das einfachste Beispiel für einen zeitdiskreten Lévyprozess ist demnach auch diesymmetrische einfache Irrfahrt,bei dem$2X_{1}-1$symmetrischbernoulliverteiltist. Hier bewegt sich der Prozess X, startend bei$X_{0}=0$,in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit ½ um Eins nach oben, andernfalls um Eins nach unten.

Zeitstetige Lévyprozesse

EinGamma-Prozessist ein Lévyprozess, bei dem die Zuwächse unabhängig undgammaverteiltsind. Dies ist möglich, da die Gammaverteilung unendlich teilbar ist. Der Prozess ist fast sicher monoton wachsend, er ist also einSubordinator.Der Prozess hatunendliche Aktivitätund keine Diffusionskomponente. Die beiden zufälligen Pfade sind vonTrajektorienvon Gamma-Prozessen, mit den shape-Parametern 0.7 (rot) und 0.25 (blau)

Im Fall$T=[0,\infty )$ist die Charakterisierung nicht mehr so leicht: So gibt es zum Beispiel keinen zeitstetigen Lévyprozess, bei dem$X_{1}$wie oben bernoulliverteilt ist.

Jedoch sind zeitstetige Lévyprozesse eng verwandt mit dem Begriff derunendlichen Teilbarkeit:Ist nämlich$(X_{t})_{t\geq 0}$ein Lévyprozess, so ist$X_{1}$unendlich teilbar. Andererseits legt eine unendlich teilbare Zufallsvariable$X_{1}$bereits die Verteilung des gesamten Lévyprozesses$(X_{t})_{t\geq 1}$eindeutig fest. Jedem Lévyprozess entspricht also eine unendlich teilbare Verteilungsfunktion und umgekehrt.

DreiTrajektorienvon Lévyprozessen vom TypVariance-Gamma

Wichtige Beispiele für zeitstetige Lévyprozesse sind derWienerprozess(auch Brownsche Bewegung genannt), bei dem die unendlich teilbare Verteilung von$X_{1}$eineNormalverteilungist, oder derPoissonprozess,bei dem$X_{1}$poissonverteiltist. Doch auch viele andere Verteilungen, beispielsweise dieGammaverteilungoder dieCauchyverteilung,können zur Konstruktion von Lévyprozessen herangezogen werden. Neben dem deterministischen Prozess$X_{t}=\sigma t$ist der Wienerprozess mit konstanter Drift und konstanter Volatilität der einzige stetige Lévyprozess, d. h. aus der Stetigkeit eines Lévyprozesses folgt schon die Normalverteilung seiner Zuwächse. Es existiert jedoch beispielsweise kein Lévyprozess mitgleichverteiltenZuständen.

Wichtig ist auch der Begriff derendlichenundunendlichenAktivität:Gibt es in einem Intervall unendlich viele (und damit unendlich kleine) Sprünge oder nicht? Auskunft darüber gibt auch dasLévymaß.

Weiterhin sindSubordinatorenvon Bedeutung, das sind Lévyprozesse mit fast sicher monoton wachsenden Pfaden. Ein Beispiel dafür ist derGamma-Prozess.Die Differenz von zwei Gamma-Prozessen wird alsvariance-gamma-processbezeichnet.

Weitere Definition

Ein stochastischer Prozess$X_{t},\,t\geq 0$über einemWahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,{\mathcal {F}},P)$heißtLévyprozess,wenn

• $X_{0}=0$,
• $X_{t}$unabhängige und stationäre Zuwächse hat und
• $X_{t}$stochastisch stetig ist, d. h. für beliebige$\varepsilon >0$und$t_{0}\geq 0$gilt

$\lim _{t\to t_{0}}P(\vert X_{t}-X_{t_{0}}\vert >\varepsilon )=0$.

Lévy-Chintschin-Formel

→Hauptartikel:Lévy-Khinchin-Formel

Für jeden$\mathbb {R} ^{d}$-wertigen Lévyprozess$(X_{t})_{t\geq 0}$lässt sich seinecharakteristische Funktionschreiben in der Form:

$\operatorname {E} (\mathrm {e} ^{izX_{t}})=\mathrm {e} ^{t\psi (z)}$

mit demcharakteristischen Exponenten

$\psi (z)=-{\frac {1}{2}}\langle z,Az\rangle +i\langle \gamma,z\rangle +\int _{\mathbb {R} ^{d}}(\mathrm {e} ^{i\langle z,x\rangle }-1-i\langle z,x\rangle 1_{|x|\leq 1})\nu (\mathrm {d} x)$

und demcharakteristischen Tripel$(A,\nu,\gamma )$. Dabei ist$A\in \mathbb {R} ^{d\times d}$einesymmetrischepositiv definiteMatrix,$\gamma \in \mathbb {R} ^{d}$ein Vektor und$\nu$ein Maß auf$\mathbb {R} ^{d}$mit

$\nu (\{0\})=0$und$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\min(|x|^{2},1)\,\mathrm {d} \nu (x)<\infty.$

Das charakteristische Tripel ist durch den Prozess eindeutig bestimmt.

Benannt ist diese Darstellung der charakteristischen Funktion eines Lévyprozesses nach Paul Lévy undAlexandr Chintschin.

Lévy-Itō-Zerlegung

Jeder Lévyprozess kann als eine Summe aus einerbrownschen Bewegung,einem linearen Driftprozess und einem reinenSprungprozess,welcher alle Sprünge des ursprünglichen Lévyprozesses beinhaltet, dargestellt werden. Diese Aussage ist bekannt als Lévy-Itō-Zerlegung.

Sei$(X_{t})_{t\geq 0}$ein Lévyprozess in$\mathbb {R} ^{d}$mit charakteristischem Tripel$(A,\nu,\gamma )$.Dann gibt es drei unabhängige Lévyprozesse, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind,$X^{(1)}$,$X^{(2)}$,$X^{(3)}$,so dass:

• $X^{(1)}$ist eine brownsche Bewegung mit Drift, also ein Lévyprozess mit charakteristischem Tripel$(A,0,\gamma )$;
• $X^{(2)}$ist ein Lévyprozess mit charakteristischem Tripel$(0,\nu |_{\mathbb {R} ^{d}\backslash \{x;|x|\geq 1\}},0)$(also ein Compound-Poissonprozess);
• $X^{(3)}$ist einquadratintegrierbaresMartingalund ein reiner Sprungprozess mit dem charakteristischen Tripel$(0,\nu |_{\{x;|x|<1\}},0)$.

Wichtige Eigenschaften

• DieErwartungswertfunktioneines Lévyprozesses$(X_{t})$istlinearint,d. h.

$\operatorname {E} (X_{t})=t\operatorname {E} (X_{1})$.Analog gilt für die Varianz

$\operatorname {Var} (X_{t})=t\operatorname {Var} (X_{1})$(vorausgesetzt die entsprechenden Momente existieren zum Zeitpunkt 1). Für dieKovarianzfunktiongilt

$\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t})=\operatorname {Var} (X_{\min(s,t)})=\min(s,t)\operatorname {Var} (X_{1})$.

• Falls$E(X_{1})=0$gilt, so ist$(X_{t})$einMartingal.
• Jeder (zeitstetige) Lévy-Prozess$X$ist bzgl. seinernatürlichen FiltrationeinSemimartingal.Dies folgt aus der Lévy-Itō-Zerlegung.

Literatur

• J. Bertoin:Lévy Processes.Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 121, Cambridge University Press 2002,ISBN 0-521-64632-4
• A. E. Kyprianou:Introductory Lectures on fluctuations of Lévy process with applications.Universitext, Springer.
• Philip E. Protter:Stochastic Integration and Differential Equations.Springer, Berlin 2003,ISBN 3-540-00313-4
• Rama Cont, Peter Tankov:Financial Modelling with Jump Processes.Chapman & Hall, 2003,ISBN 1-58488-413-4
• Ken-iti Sato:Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions.Cambridge studies in advanced mathematics, 1999,ISBN 0-521-55302-4

Weblinks

• Uni-Skriptum über Lévy-Prozesse
• Jan Kallsen:Lévy-Prozesse anschaulich erklärt.(PDF; 778 kB)