Oktaeder

OktaederbedeutetAchtflächnerund bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch:

(regelmäßige) Siebeneck-Pyramide^[1]
(regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf
(regelmäßiges) SechseckigesPrisma^[2]
(regelmäßiger)Tetraederstumpf
Viereck-Doppelpyramide

Siebeneck-Pyramide
Sechseck-Pyramidenstumpf
Sechseckprisma
Tetraederstumpf
Viereck-Doppelpyramide

Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieser regelmäßige Polyeder bezeichnet.

Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner.

Oktaeder

Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	8
Anzahl der Ecken	6
Anzahl der Kanten	12
Schläfli-Symbol	{3,4}
dualzu	Hexaeder (Würfel)
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	11
Anzahl Kanten in einer Ecke	4
Anzahl Ecken einer Fläche	3

Das (auch, v. a.österr.:der) regelmäßigeOktaeder[ɔktaˈeːdɐ] (vonaltgriechischὀκτάεδροςoktáedros,deutsch‚achtseitig‘)^[3]ist einer der fünfplatonischen Körper,genauer ein regelmäßigesPolyeder(Vielflach,Vielflächner)mit

8kongruenten gleichseitigen DreieckenalsSeitenflächen
12 gleich langen Kanten und
6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitigeDoppelpyramidemitquadratischerGrundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßigeKreuzpolytopder dritten Dimension – als auch ein gleichseitigesAntiprismamit einemgleichseitigen DreieckalsGrundfläche.

Symmetrie

Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden

Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen

C_{4},C_{3},C_{2}

und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)

Wegen seiner hohenSymmetrie– alleEcken,Kanten undFlächensind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder einreguläres Polyeder.Es hat:

3 vierzähligeDrehachsen $C_{4}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
4 dreizählige Drehachsen $C_{3}$ (durch dieMittelpunktegegenüberliegenderFlächen)
6 zweizählige Drehachsen $C_{2}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
9Symmetrieebenen(3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
14Drehspiegelungen(6 um 90° mit denEbenendurch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

punktsymmetrischzum Mittelpunkt.

Insgesamt hat dieSymmetriegruppedes Oktaeders – dieOktaedergruppeoder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Konstruktion

Oktaeder, Konstruktionsskizze

Euklidbeschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines WerkesElemente,unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders.

„Ein Oktaeder einer Kugel mit gegebenem Durchmesser einbeschreiben. Das Quadrat über dem Durchmesser der Kugel ist dann gleich dem doppelten Quadrat über der Kante des Oktaeders. “

„Rudolf Haller “

–Euklid:Stoicheia. Buch XIII.14.^[4]

Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgendesphärischen Darstellungnur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenanntenDynamische-Geometrie-Software (DGS).

Gegeben sei eineUmkugel,z. B mit dem Radius gleich $1$ und deren Mittelpunkt $O$ .Beim Bestimmen der $x-,\;y-$ und $z-$ Achsen eines kartesischenKoordinatensystemsergeben sich die Punkte $A,\;B\;C$ und $D$ auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist die Kantenlänge $a$ des Oktaeders als Verbindung des Punktes $A$ mit $C$ ,sprich $|AC|=a$ ,festzulegen.^[5]

Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung $z-$ Achse um Mittelpunkt $O$ und Radius $|AO|$ .Anschließend wird der erste Eckpunkt $E$ beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur $z-$ Achse und Radius gleich der Kantenlänge $|CF|$ um $E$ ,erzeugt die Eckpunkte $F$ und $H$ .Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um $F$ liefert den noch offenen Eckpunkt $G$ .Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder $EFGHCD$ fertiggestellt.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben ein Sterntetraeder

Bild 1: Oktaeder (blau) mitdualem Würfel(grün). DieMittelpunkte(rot) derregelmäßigen Dreieckesind die Ecken des Würfels.

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel)duale Polyeder(Bild 1) und umgekehrt.

Zweiregelmäßige Tetraeder(siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einemWürfelso einbeschrieben werden, dass dieEckenzugleich Würfelecken und die KantenDiagonalender Würfelflächen sind. DieVereinigungsmengeist einSterntetraeder.

Diedreidimensionale Schnittmengeder zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8Seitenflächendes OktaedersTetraederauf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einemregelmäßigen Tetraederumschrieben (Bild 4), sind die 6Eckendes Oktaeders dieMittelpunkteder 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in denSeitenflächeneines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder undWürfelkönnen zahlreicheKörperkonstruiert werden, die ebenfalls dieOktaedergruppealsSymmetriegruppehaben. So erhält man zum Beispiel

dasabgestumpfte Oktaedermit 8Sechseckenund 6Quadraten
dasKuboktaedermit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14Flächen,und 12Ecken
denabgestumpften Würfelmit 8Dreieckenund 6Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehearchimedische Körper) und

dasRhombendodekaedermit 8 + 6 = 14 Ecken und 12Rautenals Flächen

alskonvexe Hülleeiner Vereinigung eines Oktaeders mit einemWürfel.

Bild 3: ZweiTetraederimWürfelhaben alsdreidimensionale Schnittmengeein Oktaeder mit halber Seitenlänge.

Bild 4: Einregelmäßiges Tetraedermit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6Eckendes Oktaeders sind dann dieMittelpunkteder 6 Tetraederkanten.

Formeln

Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Größen eines Oktaeders mit Kantenlängea
Volumen	$V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\approx 0{,}471\cdot a^{3}$	ohne Raumwinkel $\Omega$ in den Ecken
Oberflächeninhalt	$A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}\approx 3{,}464\cdot a^{2}$
Umkugelradius	$r_{u}={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707\cdot a$
Kantenkugelradius	$r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\cdot a$
Inkugelradius	$r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}408\cdot a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318$
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks	$\ Alpha =60^{\circ }$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	$\beta =2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109{,}47^{\circ }$
Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche	$\gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }$
Raumwinkelin den Ecken	$\Omega =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr}$
Sphärizität	$\Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}846$

Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten

Punkte des Oktaeders

Regul. Oktaeder

Ein Oktaeder mit der Kantenlänge $a$ kann man sich aus zwei quadratischenPyramidenmit der Quadratlänge und derSeitenkantenlängegleich $a$ zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe $h$ ,eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich

h={\frac {a}{\sqrt {2}}}

.

Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge $a$ in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:

$\left(\pm {\frac {a}{2}},\pm {\frac {a}{2}},0\right),\ \left(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}}\right)$

Winkel

Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel $\gamma$ zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche $\ \tan \gamma ={\frac {h}{\frac {a}{2}}}={\sqrt {2}}\$ gilt. Also ist der

Regul. Oktaeder: Eigenschaften

Winkelzwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche gleich

\gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }

und der

Winkelzwischen zwei Seitenflächen ist

\beta =2\gamma \approx 109{,}47^{\circ }

Um-, In- und Kanten-Kugelradien

Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der

Kantenkugelradius $\ r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\;a$

Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der

Umkugelradius $\ r_{u}=h={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}71\;a$

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte $\left(0,{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),\left({\frac {a}{2}},0\right)$ .Sie hat die Gleichung $2y+{\sqrt {2}}z-a=0$ .Berechnet man den Abstand mit Hilfe derHessesche Normalformergibt sich der

Innenkugelradius $\ r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}41\;a$

Oberfläche, Volumen

Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist $A_{3}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\;a^{2}\$ .Damit ist die

Oberflächedes Oktaeders: $\ A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}$ .

Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden. Das Volumen einer Pyramide ist ${\tfrac {h}{3}}a^{2}={\tfrac {a^{3}}{3{\sqrt {2}}}}$ und das

Volumendes Oktaeders ist $\ V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}$ .

Raumwinkel in den Ecken

Raumwinkel

\Omega

der Oktaederecke mithilfe der Einheitskugel

Der Raumwinkel $\Omega$ ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel $\gamma$ zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel $\beta =2\gamma$ .Damit hat dassphärische Dreieck den Flächeninhalt

A_{3}=\gamma +\gamma +2\gamma -\pi =4\gamma -\pi

.

Der Raumwinkel $\Omega$ ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks:

Raumwinkel

\theta

$\Omega =2A_{3}=8\gamma -2\pi =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr}$ .

Der Raumwinkel entspricht der Fläche einesKugelsegmentsauf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel $\theta \approx 38{,}4^{\circ }$ .

Definition als Menge von Punkten

Das Oktaeder kann alsMengevonPunktenimdreidimensionalen euklidischen Raumdefiniert werden, wo dieSummederabsoluten Beträgeder 3Koordinatenimkartesischen Koordinatensystemhöchstens so groß ist wie derUmkugelradius $r_{u}={\tfrac {a}{\sqrt {2}}}$ .Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}

Dabei ist $\left\|x\right\|_{1}$ dieBetragssummennormoder 1-Norm desVektors $x$ .Für das Innere des Oktaeders gilt $\left\|x\right\|_{1}<r_{u}$ und für die Oberfläche gilt $\left\|x\right\|_{1}=r_{u}$ .Nach dieser Definition ist derMittelpunktdes Oktaeders derKoordinatenursprungund seineEcken $(r_{u},0,0)$ , $(-r_{u},0,0)$ , $(0,r_{u},0)$ , $(0,-r_{u},0)$ , $(0,0,r_{u})$ , $(0,0,-r_{u})$ liegen auf den 3 Achsen deskartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage imdreidimensionalen euklidischen Raumhat, mithilfe vonVektorendefiniert werden. Ist ${\vec {m}}$ derOrtsvektordesMittelpunktsund sind ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ , ${\vec {w}}$ orthogonaleRichtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also einOrthogonalsystemdesdreidimensionalen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ ,dann lässt sich dieMengederPunktedes Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren^[6]

\left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|t\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\vert t_{1}\right\vert +\left\vert t_{2}\right\vert +\left\vert t_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebigerDimension $n$ werden als $n$ -dimensionaleKreuzpolytopebezeichnet und sind ebenfalls regulärePolytope.Das $n$ -dimensionale Kreuzpolytop hat $2\cdot n$ Ecken und wird von $2^{n}$ $n-1$ -dimensionalenSimplexen(alsFacetten) begrenzt. DasvierdimensionaleKreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32gleichseitige DreieckealsSeitenflächenund 16Tetraederals Facetten. DaseindimensionaleKreuzpolytop ist eineStrecke,daszweidimensionaleKreuzpolytop ist dasQuadrat,dasdreidimensionaleKreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das $n$ -dimensionale Kreuzpolytop ist dieEinheitskugelbezüglich derSummennorm

\left\|x\right\|_{1}=\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert

für

x=(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

imVektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ .Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

die Menge

\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq 1\right\}=\left\{(x_{1},\dots,x_{n})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\right\}

.

diekonvexeHülle der $2\cdot n$ Eckpunkte $\pm e_{i}$ ,wobei $e_{i}$ dieEinheitsvektorensind.
derDurchschnittder $2^{n}$ Halbräume, die durch dieHyperebenender Form

\pm x_{1}\pm \cdots \pm x_{n}=1

bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

DasVolumendes $n$ -dimensionalenKreuzpolytopsbeträgt ${\tfrac {(2\cdot r)^{n}}{n!}}$ ,wobei $r>0$ derRadiusderKugelum denKoordinatenursprungbezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittelsRekursionund demSatz von Fubinibeweisen.^[7]

Netze des Oktaeders

Das Oktaeder hat elfNetze^[8].Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in derEbeneauszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8gleichseitigen Dreieckedes Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbartenFlächendieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.

EinNetzdes Oktaeders

Animationeines Oktaedernetzes

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

Färbungen veranschaulicht
Oktaeder einbeschrieben vom dualenWürfel

Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichtetenplanaren Graphenmit 6Knoten,12Kantenund 8 Gebieten, der 4-regulärist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass derGradfür alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genauegeometrischeAnordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

DieKnotendes Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können dieKantenmit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für dieKantenfärbunggleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für dieFlächenoder Gebiete zu bestimmen, ist derduale Graph(Würfelgraph) mit 8Knoten,12Kantenund 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehebijektive Funktionund Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.^[9]

Knotenfärbungdes Oktaedergraphen

Kantenfärbungdes Oktaedergraphen

Flächenfärbung des Oktaedergraphen mitdualerKnotenfärbung des Würfelgraphen

Die 5 aufgeschnittenenKantenjedesNetzes(siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einenSpannbaumdes Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man alsdualen Graphenjeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jedegraphentheoretischeKonstellation (sieheIsomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32Hamiltonkreiseund 1488Eulerkreise.^[10]

Oktaedergraph mit einem der 32 Hamiltonkreise

Raumfüllungen mit Oktaedern

Derdreidimensionale euklidische Raumkann lückenlos mitplatonischen Körpernoderarchimedischen Körperngleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalenParkettierungenwerdenRaumfüllunggenannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder: