Poisson-Prozess

EinPoisson-Punktprozess(oder kurzPoisson-Prozess) ist ein nachSiméon Denis Poissonbenannterstochastischer Prozess.Er ist einErneuerungsprozess,dessen ZuwächsePoisson-verteiltsind.

Pfade von zwei Poissonprozessen mit konstanter Intensität: einmal 2,4 (blau) und 0,6 (rot). Der blaue Prozess hat eine viermal so hohe Intensität wie der rote und weist auch mit 30 Sprüngen im gezeichneten Zeitintervall [0; 14,9] weit mehr auf als der rote (nur 8). Dies sind fast genau viermal so viele Sprünge, was auch zu erwarten war.

Pfade von zwei kompensierten zusammengesetzten Poisson-Prozessen. Wie oben ist die Intensität (Sprunghäufigkeit) des blauen Prozesses mit 2,4 genau viermal so hoch wie die des roten Prozesses. Im gezeichneten Intervall [0; 35] springt der blaue Prozess 66-mal (erwartet wären 35·2,4=84), der rote 16-mal, also circa viermal so oft. Bei beiden Prozessen sind die Sprünge normalverteilt mit Mittel 0,25. Diese Sprünge nach oben werden durch den negativen Drift genau so ausgeglichen (kompensiert), dass beide Prozesse Martingale sind. Da der blaue Prozess öfter nach oben springt, ist sein negativer Drift stärker.

Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit oft im Versicherungswesen zum BeispielStörfällean komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze usw. modelliert.

Parameter

Die Verteilung der Zuwächse hat einen Parameter λ, dieser wird alsIntensitätdes Prozesses bezeichnet, da pro Zeitspanne genau λ Sprüngeerwartetwerden (Erwartungswert der Poisson-Verteilung ist ebenfalls λ). Die Höhe jedes Sprunges ist eins, die Zeiten zwischen den Sprüngen sindexponentialverteilt.Der Poisson-Prozess ist also eindiskreterProzess instetiger(d. h. kontinuierlicher)Zeit.

Definition

EinPoisson-Punktprozess$\eta$ist einzufälliges Maß,genauer gesagt einPunktprozess,mit einems-endlichenIntensitätsmaß$\lambda$auf einem beliebigen Maßraum$(\mathbf {X},{\mathcal {X}})$,der folgende Bedingungen erfüllt:

1. Für jede messbare Menge$B$ist die Zufallsvariable$\eta (B)$Poisson-verteiltmit Parameter$\lambda (B)$.Das heißt, es gilt$\mathbb {P} (\eta (B)=k)=P_{\lambda (B)}(k)$für alle$k\in \mathbb {N} _{0}$.
2. Für jede beliebige Anzahl an paarweise disjunkten Mengen$B_{1},\dots,B_{n}\in {\mathcal {X}}$sind die Zufallsvariablen$\eta (B_{1}),\dotsc,\eta (B_{n})$unabhängig.

Für einen Poisson-Punktprozess wird auch die Kurzschreibweise$\eta \sim {\text{PPP}}(\lambda )$verwendet. Handelt es sich um einenhomogenen(auch:stationären) Poisson-Punktprozess, so schreibt man auch$\eta \sim {\text{PPP}}(\lambda \mathrm {d} x)$,wobei damit das$\lambda$-facheLebesgue-Maßgemeint ist. Für dasIntensitätsmaßgilt$\lambda (B)=\operatorname {E} (\eta (B))$.

Poisson-Punktprozesse können auf beliebigen Räumen betrachtet werden. Häufig interessiert man sich für den Raum$\mathbb {R} ^{d}$oder für die positive reelle Achse$\mathbb {R} _{+}$.Insbesondere wenn man von einem Poisson-Punktprozess auf der reellen Achse spricht, nennt man die zweite Eigenschaft auchunabhängige Inkremente.

Die Terminologie ist leider nicht einheitlich. Manche Autoren sprechen vomPoisson-Prozessund meinen damit den Poisson-Punktprozess, andere wiederum meinen mit Poisson-Prozess den Poisson-Zählprozess,also$N(t)_{t\geq 0}:=\eta ([0,t])_{t\geq 0}$.Letzteres zählt die Anzahl der Punkte des Poisson-Punktprozesses bis zum Zeitpunkt$t$.

Definition auf ℝ₊

Einstochastischer Prozessmitcàdlàg-Pfaden über einemWahrscheinlichkeitsraum$(\Omega,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$heißt (homogener)Poisson-Prozess$P_{\lambda,t}\,$mit Intensität$\lambda >0$und$t\in [0,\infty )$,falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• $P_{\lambda,0}=0\quad (\mathbb {P} {\text{-f. s.}})$(sieheFast sichere Eigenschaften).
• $(\forall s<t)\,\,P_{\lambda,t}-P_{\lambda,s}\sim {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}$.Dabei bezeichnet${\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}$diePoisson-Verteilungmit Parameter$\lambda \cdot (t-s)$.
• Sei für$n\in \mathbb {N}$eine Folge$0<t_{1}<\dotsb <t_{n}\,$gegeben. Dann ist die Familie$(P_{\lambda,t_{i}}-P_{\lambda,t_{i-1}})_{2\leq i\leq n}$vonZufallsvariablenstochastisch unabhängig.

Für die Definition des inhomogenen Poisson-Prozesses siehePoisson-Prozess#Inhomogener Poisson-Prozess.

Eigenschaften

• Ein Poisson-Prozess ist gemäß Definition ein stochastischerProzess mit unabhängigen Zuwächsen.
• Ein homogener Poisson-Prozess ist einMarkow-Prozessin stetiger Zeit mit diskretem Zustandsraum. DieQ-Matrixist$q_{ij}=\lambda \mathbf {1} _{\{j=i+1\}}-\lambda \mathbf {1} _{\{j=i\}}$.
• Der Zeitraum zwischen zwei Zuwächsen, also$\min\{t\in [0,\infty )\vert P_{\lambda,t}=n+1\}-\min\{s\in [0,\infty )\vert P_{\lambda,s}=n\}$für$n\geq 0$,istexponentialverteiltmit dem Parameter$\lambda$.Die Wartezeit auf den nächsten Sprung ist alsogedächtnislos,d. h., die Restwartezeit auf den nächsten Sprung ist unabhängig von der bisherigen Wartezeit. Daraus folgt, dass auch hier dasWartezeitparadoxongilt.
• Demnach ist die Wartezeit bis zum$n$-ten Sprung$T_{n}$gammaverteiltmit Parametern$n$und$\lambda$.Man sieht das deutlich, wenn man$T_{n}$als$T_{n}=T_{1}+(T_{2}-T_{1})+\cdots +(T_{n}-T_{n-1})$schreibt.
• Ist$P_{\lambda,t}$ein Poisson-Prozess und$s\geq 0$,so ist${\hat {P}}_{\lambda,t}=P_{\lambda,s+t}-P_{\lambda,s}$für$t\geq 0$wieder ein Poisson-Prozess, d. h., die Zuwächse homogener Poisson-Prozesse sind stationär. Ein homogener Poisson-Prozess ist also ein speziellerLévy-Prozess.
• Für denErwartungswertund dieVarianzgilt$\operatorname {E} (P_{\lambda,t})=\operatorname {Var} (P_{\lambda,t})=\lambda \cdot t$.
• Für diequadratische Variationgilt$[P_{\lambda }]_{t}=P_{\lambda,t}$,da der stetige Martingalanteil$P_{\lambda }^{\text{c}}$verschwindet und alle Sprünge die Höhe 1 haben.
• Da der Pfad des Prozesses monoton steigt, ist$P_{\lambda,t}$einSubmartingalbezüglich seiner natürlichenFiltrierung.
• Falls man einen stochastischen Prozess hat, der die drei definierenden Eigenschaften erfüllt, so existiert eine Version des Prozesses mit càdlàg-Pfaden, also ein Poisson-Prozess.
• $M_{\lambda,t}:=P_{\lambda,t}-\operatorname {E} (P_{\lambda,t})=P_{\lambda,t}-\lambda \cdot t$heißtkompensierter Poisson-Prozessund ist einMartingalbezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
• Unter relativ allgemeinen Annahmen konvergiert die Überlagerung von allgemeinenErneuerungsprozessenasymptotisch gegen einen Poisson-Prozess (Satz von Palm-Chintschin).
• Es gilt derAbbildungsatz,das heißt, ein Poisson-Punktprozess mit Intensität$\gamma$bildet unter einer messbaren Abbildung$f$wieder einen Poisson-Punktprozess mit der Intensität$f(\gamma )$.

Alternative Definition

In der obigen Definition wird die Poisson-Verteilung vorausgesetzt, sie lässt sich aber auch aus grundlegenden Eigenschaften eines stochastischen Prozesses (Poissonsche Annahmen) ableiten. Wenn diese Eigenschaften einem Geschehen in guter Näherung zugeordnet werden können, wird die Ereignishäufigkeit Poisson-verteilt sein. Poisson veröffentlichte 1837 seine Gedanken zu dieser Verteilung zusammen mit seinerWahrscheinlichkeitstheoriein dem Werk „Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile “(„Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen “).

Man betrachtet ein Raum- oder Zeitkontinuum$w$,in dem zählbare Ereignisse mit konstanter mittlerer Anzahl$g$proEinheitsintervallstattfinden (einBernoulli-Experimentwird sehr oft, sozusagen an jedem Punkt des Kontinuums durchgeführt). Nun richtet man den Blick auf ein genügend kleines Kontinuumsintervall$\Delta w$,das je nach Experiment einen Bereich, ein Zeitintervall, eine abgegrenzte Strecke, Fläche oder Volumen darstellen kann. Was sich dort ereignet, bestimmt die globale Verteilung auf dem Kontinuum.

Die dreiPoissonschen Annahmenlauten:

1. Innerhalb des Intervalls$[w,w+\Delta w]$gibt es höchstens ein Ereignis (Seltenheit).
2. Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, ist proportional zur Länge des Intervalls$\Delta w$.Da$g$konstant ist, ist es damit auch unabhängig von$w$.
3. Das Eintreten eines Ereignisses im Intervall$\Delta w$wird nicht beeinflusst von Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben (Geschichtslosigkeit).

Mit Annahme 1 und 2 ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall$\Delta w$zu finden, gegeben als

$p_{1}(\Delta w)=g\cdot \Delta w,$

sowie die Wahrscheinlichkeit, dass in$\Delta w$kein Ereignis auftritt, durch

$p_{0}(\Delta w)=1-p_{1}(\Delta w)=1-g\cdot \Delta w.$

Nach Annahme 3 ist die Wahrscheinlichkeit eines ereignisfreien Intervalls$\Delta w$unabhängig vom Auftreten irgendwelcher Ereignisse im Bereich$w$davor. So berechnet man die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis bis zum Punkt$w+\Delta w$zu

$p_{0}(w+\Delta w)=p_{0}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)=p_{0}(w)-g\cdot p_{0}(w)\cdot \Delta w.$

Das ergibt näherungsweise diegewöhnliche Differentialgleichung${\tfrac {\mathrm {d} p_{0}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{0}(w)$mit der Lösung

$p_{0}(w)=\mathrm {e} ^{-g\cdot w}$

unter derAnfangsbedingung$p_{0}(0)=1$.Ebenso findet man die Wahrscheinlichkeit für$m$Ereignisse bis zum Punkt$w+\Delta w$

${\begin{aligned}p_{m}(w+\Delta w)&=p_{m}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)+p_{m-1}(w)\cdot p_{1}(\Delta w)\\&=p_{m}(w)-g\cdot p_{m}(w)\cdot \Delta w+g\cdot p_{m-1}(w)\cdot \Delta w.\end{aligned}}$

Jedes angehängte Intervall$\Delta w$darf nach Annahme 1 nur entweder kein oder ein Ereignis enthalten. Die entsprechende Differentialgleichung${\tfrac {\mathrm {d} p_{m}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{m}(w)+g\cdot p_{m-1}(w)$hat die Lösung

$p_{m}(w)={\frac {(g\cdot w)^{m}}{m!}}\mathrm {e} ^{-g\cdot w}.$

Identifiziert man nun in diesem Ausdruck, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von$m$Ereignissen im Kontinuumsbereich$w$beschreibt, die Parameter$(g\cdot w)$mit$\lambda$und$m$mit$k$,stimmt er mit der Formel der Poisson-Verteilung überein. Die Zahl$\lambda$ergibt sich in vielen Aufgabenstellungen als Produkt einerRate(Anzahl von Ereignissen pro Einheitsintervall) und einem Vielfachen des Einheitsintervalls.

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Sind$N_{t}$ein Poisson-Prozess mit Intensität$\mu$sowie$Y_{1},Y_{2},\ldots$unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablenunabhängig von$N_{t}$,so wird der stochastische Prozess

$X_{t}:=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}$

alszusammengesetzter Poisson-Prozessbezeichnet.$X_{t}$ist dannzusammengesetzt Poisson-Verteilt.Wie der ursprüngliche Poisson-Prozess ist auch$X$einSprungprozessunabhängiger Zuwächse und exponential($\mu$)-verteilter Abstände zwischen den Sprüngen mit Sprunghöhen, die nach$Y$verteilt sind. Gilt$Y_{1}=1$f. s., so erhält man wieder einen Poisson-Prozess.

Für den Erwartungswert gilt dieFormel von Wald(nach dem MathematikerAbraham Wald):

$\mathbb {E} (X_{t})=\mathbb {E} (N_{t})\mathbb {E} (Y_{1})=\mu t\mathbb {E} (Y_{1})$.

Für die Varianz gilt dieBlackwell-Girshick-Gleichung:

$\operatorname {Var} (X_{t})=\mu t\operatorname {E} (Y_{1})^{2}+\mu t\operatorname {Var} (Y_{1})$.

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse sind Lévy-Prozesse.

Inhomogener Poisson-Prozess

Graph eines inhomogenen Poisson-Prozesses. Die Events sind als schwarze Kreuze markiert. Die Rate$\lambda (t)$,die sich im Laufe der Zeit verändert, ist in Rot eingezeichnet.

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein,$\lambda$nicht als Konstante, sondern alsFunktionder Zeit aufzufassen.$\lambda (t)$muss dabei die beiden Bedingungen

• $\lambda (t)>0$für alle$t\in \mathbb {R} _{+}$und
• $\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t<\infty$für$\tau _{1},\tau _{2}\in \mathbb {R} _{+}$

erfüllen.

Für einen inhomogenen Poisson-Prozess$(P_{\lambda (t),t})_{t\geq 0}$gilt abweichend von einem homogenen Poisson-Prozess:

• $P_{t}-P_{s}\sim {\mathcal {P}}_{\int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}$,wobei${\mathcal {P}}$wieder die Poisson-Verteilung mit dem Parameter$\int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u$bezeichnet.
• Für den Erwartungswert gilt$\operatorname {E} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u$.
• Für dieVarianzgilt ebenfalls$\operatorname {Var} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u$.
• Sind$\tau _{1}$und$\tau _{2}$zwei Sprungstellen des inhomogenen Poisson-Prozesses, dann ist$\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t$exponentialverteilt mit dem Parameter 1.

Cox-Prozess

Ein inhomogener Poisson-Prozess mit stochastischer Intensitätsfunktion$\lambda (t)$heißtdoppelt stochastischer Poisson-Prozessoder nach dem englischen MathematikerDavid CoxauchCox-Prozess.Betrachtet man eine bestimmte Realisierung von$\lambda (t)$,verhält sich ein Cox-Prozess wie ein inhomogener Poisson-Prozess. Für den Erwartungswert von$P_{\lambda (t),t}$gilt

$\operatorname {E} (P_{\lambda (t),t})=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u\right)$.

Anwendungsbeispiele

• Allgemein:
  • Zählung von gleichverteilten Ereignissen pro Flächen-, Raum- oder Zeitmaß (z. B. Anzahl der Regentropfen auf einer Straße; Anzahl der Sterne in einem VolumenVist ein dreidimensionaler Poisson-Prozess)
  • Bestimmung der Häufigkeit seltener Ereignisse wie Versicherungsfälle, Zerfallsprozesse, Reparaturaufträge oder der Zahl der Tore in einem Fußballspiel (s. das Fußballbuch vonMetin Tolan)
• Bediensysteme:
  • die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeitspanne
  • die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeitspanne
  • die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs, Telefonanrufe, Heap,…) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung,…) eingehen
• Fehler, Ausfälle, Qualitätskontrolle:
  • die zufällige Anzahl von nichtkeimenden Samenkörnern aus einer Packung
  • die Orte, an denen ein Faden Noppen hat
  • Anzahl der Pixelfehler auf einem LCD
  • Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße
  • Anzahl der Druckfehler in einem Buch
  • Anzahl der Unfälle pro Zeitspanne an einer Kreuzung
  • Auf[1](PDF; 35 kB) wird der Versuch unternommen, die Abfolge vonSelbstmordenamMassachusetts Institute of Technologyals Poisson-Prozess zu modellieren.
• Physik:
  • die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein$\ Alpha$-Teilchen emittiert
  • zufällige Anzahl der$\ Alpha$-Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden
• Versicherungsmathematik:
  • die Zeitpunkte von Großschäden einer Versicherung. In derFinanz-undSchadensversicherungsmathematikwird das Auftreten von zu deckenden Schäden üblicherweise durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess beschrieben, bei dem die einzelnen, unabhängig voneinander auftretenden Schäden nach Y verteilt sind. Versieht man diesen Schadensprozess dann noch mit einem deterministischen, negativen Drift (Versicherungsbeiträge), so erhält man den Vermögensprozess des Versicherungsunternehmens, auch Risikoprozess genannt. Dem schließen sich Fragestellungen an wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Vermögensprozess einen gewissen Schwellwertx,das heißt die Rücklagen der Versicherung, überschreitet und damit einenKonkurserleidet (sogenanntes Ruin-Problem)? Wie stark muss der negative Drift beziehungsweise der Beitragssatz sein, um die Wahrscheinlichkeit eines Konkurses (sog. Ruinwahrscheinlichkeit) unter eine vorgegebene Schwelle zu drücken?
• Finanzmathematik:
  • Modelle fürKursevonAktien,wobei auch Sprünge erlaubt sind. Hierfür werden zwar oftLévy-Prozesseverwendet, aber da unendliche Aktivität oft schwer zu messen ist, werden auch zusammengesetzte Poissonprozesse verwendet.
  • KreditrisikomodellehelfenCDS,-Spreads und andere Kreditderivate zu bewerten und modellieren.

Literatur

• Sheldon M. Ross:Stochastic Processes.Wiley, New York NY u. a. 1983,ISBN 0-471-09942-2(2nd edition. ebenda 1996,ISBN 0-471-12062-6).