Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Fourier-Transformation für aperiodische Funktionen. Oftmals versteht man unter Fourier-Transformation auch das Bilden der Fourier-Koeffizienten einer
Fourier-Reihe.
DieFourier-Transformation(genauer diekontinuierliche Fourier-Transformation;Aussprache:[fuʁie]) ist eine mathematische Methode aus dem Bereich derFourier-Analyse,mit deraperiodischeSignale in ein kontinuierlichesSpektrumzerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auchFourier-TransformierteoderSpektralfunktion.Es handelt sich dabei um eineIntegraltransformation,die nach dem MathematikerJean Baptiste Joseph Fourierbenannt ist. Fourier führte im Jahr 1822 dieFourier-Reiheein, die jedoch nur für periodische Signale definiert ist und zu einem diskreten Frequenzspektrum führt.
Es gibt einige Anwendungsfälle, in denen die Fourier-Transformation mittels eines Computers berechnet werden soll. Dafür wurde dieDiskrete Fourier-Transformationbeziehungsweise dieSchnelle Fourier-Transformationeingeführt.
Sei
eine integrierbare Funktion, wobei
denLebesgue-Raumbezeichnet. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte
von
ist definiert durch
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{\ n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6381d110b482bb74d3c7d495bc07850b3a88d7)
und die zugehörige inverse Transformation lautet:
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{\ n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d139b5deb249762ec11068ccc7daa81b26f44aa)
Dabei gilt:
und
sind
-dimensionaleVolumenelemente,
dieimaginäre Einheitund
dasStandardskalarproduktder Vektoren
und
.
Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor
in der Transformation wegzulassen, sodass stattdessen die Rücktransformation den Vorfaktor
erhält. Die Transformation lautet dann:
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a78b4b52f783c88bbe3d407c60bd3b09bceba98)
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9be915c0a77b83b1e515bb7b86736e3865c330e)
Hier taucht ein Vorfaktor auf, so dass die Anwendung desSatzes von Plancherelnicht direkt möglich ist, weil die Fouriertransformation dann keineunitäre Abbildungmehr auf
ist und so dieSignalleistungändert. Dies kann jedoch (wie bei allen Orthogonaltransformationen) einfach durch eine Substitution (Reskalierung der Abszisse) ausgeglichen werden und stellt damit kein grundlegendes Problem dar. Genau dies wird in der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie vorgeschlagen, indem von der natürlichen Frequenz auf die Kreisfrequenz
(die den Faktor beinhaltet) übergegangen wird:
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega \cdot x}\,\mathrm {d} x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3b3e5bea2883258c2489c565a167be129f49b2)
![{\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega \cdot x}\,\mathrm {d} y\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786dcd05e954f314969887dd16d97e01c1f95854)
Die reelle Form der Fourier-Transformation wird alsHartley-Transformationbezeichnet. Für reelle Funktionen
kann die Fourier-Transformation durch dieSinus- und Kosinus-Transformationsubstituiert werden.
Die Kompression von digitalen Daten auf Basis der Fourier-Transformation ist eine zentrale Technologie für Kommunikation, Datenaustausch undStreamingvon Medien im (mobilen) Internet.[1]
Beispielsweise wird zur Kompression von Audio-Daten (etwa um eineMP3Datei zu erzeugen) das Audio-Signal in den Frequenz-Raum transformiert. Die Transformation erfolgt über das Verfahren der(modifizierten) diskreten Kosinustransformation,welches derschnellen Fourier-Transformationähnelt. Im Frequenzraum werden dann alle Frequenzen, die Menschen nicht hören können oder die nur wenig zum subjektiven Empfinden des Klangs beitragen, entfernt. Das Ergebnis wird im letzten Schritt aus dem Frequenz-Raumrücktransformiert– daraus erhält man, auf Grund des verringerten Frequenzumfangs, eine deutlich kleinere (komprimierte) Audio-Datei.[2]
In vergleichbaren Verfahren können Bilder (JPEGKompression) oder Filme (MPEG-4) komprimiert werden.
In derSignalanalysewerden mittels Fourier-TransformationFrequenzanalysenvon Signalen durchgeführt. Hierzu wird das Verfahren derdiskreten Fourier-Transformationbzw. derschnellen Fourier-Transformationgenutzt. Ein Beispiel für dieVielzahl von technischen Anwendungenist die Nutzung der Signalanalyse bei der Erstellung von Bildern mittelsMagnetresonanztomographie.[3]
Der reineKammerton
ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist bestimmend für dieKlangfarbejedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, derGrundtondes Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, dieObertöne,haben höhere Frequenzen.
An der Fourier-Transformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen.
Zur Veranschaulichung sei ein Puls-Signal mit zwei überlagerten Frequenzen gegeben. Die Funktion, die dieses Signal darstellt, besteht beispielhaft aus der Summe zweier Cosinus-Funktionen, multipliziert mit einer Gauß-Kurve zur Darstellung des An- und Abklingens:
![{\displaystyle f(t)=(10\cdot \cos(2\pi (5\cdot t))+(5\cdot \cos(2\pi (40\cdot t))))\cdot \mathrm {e} ^{-\pi t^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69e7273977afe587bb06ed2d161a145be2de4c6)
Interpretiert man die Einheit der Zeitachsetals Sekunden, dann haben die beiden Frequenzen einen Wert von 5 Hz bzw. 40 Hz bei einer Amplitude von 10 bzw. 5.
Durch die Fourier-Transformation transformiert man die Funktion in den Frequenz-Raum – d. h., die X-Achse im Diagramm der Fourier-Transformierten stellt eine Frequenz dar. Die Fourier-Transformierte der Beispiel-Funktion zeigt die beiden Frequenz-Anteile als Spitze beim jeweiligen Frequenzwert (5 bzw. 40). Der Wert der Fourier-Transformierten an der Stelle der jeweiligen Frequenz ist ein Maß für die Amplitude der überlagerten Frequenzen in der Beispiel-Funktion. Hier dargestellt ist der absolute Betrag der Fourier-Transformierten bei normierter X-Achse (zur Vereinfachung ist nur der positive Teil der Transformierten gezeigt):
Dies illustriert die Anwendung der Fourier-Transformation zur Analyse der Frequenzanteile von Signalen – hieraus leitet sich auch das SynonymSpektralfunktionfür die Fourier-Transformierte ab.
Es soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
![{\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot \cos(\omega _{\rm {s}}t)\Theta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd3eb7654762025e5451f475e730ec0296755ff)
oder in komplexer Schreibweise:
![{\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t})\Theta (t)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0db6f8fb2f3cb502bbc8af3bf812362629c6b1)
Hier ist
dieAmplitudeund
dieKreisfrequenzder Schwingung,
die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor
abfällt, und
dieHeaviside-Funktion.
Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.
Man erhält
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\omega )=({\mathcal {F}}f)(\omega )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\Theta (t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{\infty }\left(\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}+\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left[-{\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}-{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}+{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\right)\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1/\tau +\mathrm {i} \omega }{(1/\tau +\mathrm {i} \omega )^{2}+\omega _{\rm {s}}^{2}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f20b97dc90cba9a1e81d484f03fbeda4935f02)
Die Fourier-Transformation
ist einlinearer Operator.Das heißt, es gilt
.
Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vomRaum der integrierbaren Funktionen
in denRaum der Funktionen
,die im Unendlichen verschwinden.Mit
ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für
verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch alsLemma von Riemann-Lebesguebekannt. Außerdem gilt die Ungleichung
.
Sei
eineSchwartz-Funktionund
einMultiindex.Dann gilt
und
.
.
Die Dichtefunktion
![{\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|x\|^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9d81369b8d4288aee8765139eab87b4218ae8e)
mit
der (
-dimensionalen) Gauß’schenNormalverteilungist einFixpunktder Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle
die Gleichung
.
Insbesondere ist also
eineEigenfunktionder Fourier-Transformation zumEigenwert
.Mit Hilfe desResiduensatzesoder mit Hilfepartieller Integrationund Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral
bestimmt werden.
Für
gilt für alle
die Gleichung
.
Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum
als Operatorgleichung
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcc735053879591e97f3b8c4dbfe2293c885de9)
schreiben, wobei
![{\displaystyle {\mathcal {P}}:f\mapsto (x\mapsto f(-x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea6a76c96e80ce8f869aa4f469f167f736eaea)
den Paritätsoperator bezeichnet.
Sei
eine integrierbare Funktion derart, dass auch
gilt. Dann gilt die Rücktransformation
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(f))(x)=f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tx}{\mathcal {F}}(f)(t)\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3419eda2bf3b93fdc450de5b9e32be3baed8d2)
Diese wird auchFouriersynthesegenannt. Auf demSchwartz-Raum
ist die Fouriertransformation einAutomorphismus.
DasFaltungstheoremfür die Fourier-Transformation besagt, dass dieFaltungzweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für
gilt also
.
Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[4]
.
Für eine Funktion
ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch
.
Die Konvergenz ist im Sinne von
zu verstehen und
ist die Kugel um den Ursprung mit Radius
.Für Funktionen
stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein.
Da die Fouriertransformation bezüglich des
-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und
in
dicht liegt, folgt,
dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des
ist. Dies ist die Aussage desSatzes von Plancherel.
Seien
und
.Für
ist
und es gilt
.
Die Fourier-Transformation
hat also eineFortsetzungzu einem stetigen Operator
,der durch
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e215d4422771214cc5464fdcddfda550271f9e27)
beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von
zu verstehen.
Falls die Funktion
schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwartzfunktionen. Sei also
einek-mal schwach differenzierbare L2-Funktionund
einMultiindexmit
.Dann gilt
.
Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen
-Skalarproduktes einunitärer Operator,das heißt, es gilt
![{\displaystyle \langle {\mathcal {F}}(f),g\rangle _{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}(f)}}(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f}}(x){\mathcal {F}}^{-1}(g)(x)\mathrm {d} x=\langle f,{\mathcal {F}}^{-1}(g)\rangle _{L^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb68356a6093b266764db3aef27f6a579ba41dd)
Damit liegt dasSpektrumder Fourier-Transformation auf derEinheitskreislinie.Im eindimensionalen Fall (
) bilden ferner dieHermite-Funktionen
imRaum
einvollständiges OrthonormalsystemvonEigenfunktionenzu den Eigenwerten
.[5]
Sei
eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte
ist für alle
definiert durch
.
Stattet man den Raum
mit derSchwach-*-Topologieaus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf
.Ihre Umkehrabbildung lautet
.
Die Fourier-Transformation wird allgemein für endlicheBorel-Maßeauf
definiert:
![{\displaystyle {\check {\mu }}(x)=\int \mathrm {e} ^{\mathrm {i} xy}\mu (\mathrm {d} y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6220efa05da26916e067c692291cc173ed68c7)
heißtinverse Fourier-Transformiertedes Maßes. Diecharakteristische Funktionist dann die inverse Fourier-Transformierte einerWahrscheinlichkeitsverteilung.
In derTheorie der partiellen Differentialgleichungenspielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. DieDifferentiationsregelund dasFaltungstheoremsind dabei von essentieller Bedeutung.
Am Beispiel derWärmeleitungsgleichungwird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)&=&\Delta _{x}u(x,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\u(x,t)&=&g(x,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3a0f2fd31a5741ceaa14c63ba9945fab32c3fa)
Hierbei bezeichnet
denLaplace-Operator,der nur auf die
-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der
-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}{\mathcal {F}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)(\xi ,t)&=&-|\xi |^{2}{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&=&{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ea96b1150558d2632c19734efefc6bae5cbb74)
Hierbei handelt es sich nun um einegewöhnliche Differentialgleichung,die die Lösung
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)=\mathrm {e} ^{-t|\xi |^{2}}{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500fd80bcf2468d1efe1f3e5e25904f5e0bd4368)
hat. Daraus folgt
und aufgrund des Faltungstheorems gilt
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1a70a6e306e701d32cf7916baeb255ce9e051b)
mit
Daraus folgt
![{\displaystyle F(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\cdot y-t|y|^{2}}\mathrm {d} y={\frac {1}{(2t)^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8734f2fd1bf557d9e028df821630cb4220c21fa)
Das ist dieFundamentallösungder Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{-{\frac {|x-\xi |^{2}}{4t}}}g(\xi )\mathrm {d} \xi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e930a1ee32fd0f89aafd89dad181ff015d6af7ee)
In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.
Signal |
Fouriertransformierte Kreisfrequenz |
Fouriertransformierte Frequenz |
Hinweise
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Zeitverschiebung
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Frequenzverschiebung
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Frequenzskalierung
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Hier ist einenatürliche Zahlund g eineSchwartz-Funktion. bezeichnet die -te Ableitung von g.
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Signal |
Fouriertransformierte Kreisfrequenz |
Fouriertransformierte Frequenz |
Hinweise
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Die Gaußsche Funktion ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss sein.
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DieRechteckfunktionund diesinc-Funktion( ).
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Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters ( ).
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Die FT der um den Ursprungexponentiellabfallenden Funktion ist eineLorentzkurve.
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Signal |
Fouriertransformierte Kreisfrequenz |
Fouriertransformierte Frequenz |
Hinweise
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Hier ist einenatürliche Zahlund die -te Ableitung derDelta-Distribution.
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ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
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Das Signal heißtDirac-Kamm.
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