Kegelstumpf

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Kegelstumpf
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Kegelstumpfist in derGeometriedie Bezeichnung für einen speziellenRotationskörper.Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einemgeraden KreiskegelparallelzurGrundflächeeinen kleinerenKegelabschneidet. Dieser kleinere Kegel wird alsErgänzungskegeldes Kegelstumpfs bezeichnet.

Die größere der beiden parallelenKreisflächenist dieGrundfläche,die kleinere dieDeckfläche.Die dritte der begrenzenden Flächen wird alsMantelflächebezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für dieFlächeninhaltedieser Flächen üblich. Unter derHöhedes Kegelstumpfs versteht man denAbstandvon Grund- und Deckfläche.

Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist derPyramidenstumpf.

Mitwerde derRadiusder Deckfläche, mitder Radius der Grundfläche bezeichnet.sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen

Länge einer Mantellinie
Mantelfläche
Deckfläche
Grundfläche
Oberfläche
Höhe des Kegelstumpfs

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Höhe des Ergänzungskegels mitbezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radiusund Höhe) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radiusund Höhe). Mit Hilfe desStrahlensatzes(Vierstreckensatz) folgt, dass

.

Nennt man diesenQuotienten,so gilt

und

Die Höhe ist somit

Das Volumen des großen Kegels ist

das Volumen des kleinen Kegels ist

das Volumen des Kegelstumpfs ist die Differenz


Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter Rotationskörper betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet:. Setzt man hier fürein und errechnet das Integral in den Grenzen vonund,so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mitbezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

,

also

.

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelflächedes großen Kegels (Radiusund Mantellinie) und der Mantelflächedes kleinen weggeschnittenen Kegels (Radiusund Mantellinie):

Körpernetzeines Kegelstumpfs: Der Umfang u1der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b1.Der Umfang u2der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b2.M ist die Mantelfläche.

Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

Anwendungsbeispiele

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EinMartiniglashat annähernd die Form einesKegels.Der nicht gefüllte Teil hat die Form eines Kegelstumpfs.

EinigeTrinkgläser,zum Beispiel einMartiniglas,haben annähernd die Form eines Kegels.

EinMartiniglasmit dem Durchmesser 103Millimeterund der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zu einer Höhe von 40 Millimetern mitOrangensaftgefüllt. Daraus ergibt sich,,und daraus dasVolumendes nicht gefüllten Teils, der die Form eines Kegelstumpfs hat:

Der nicht gefüllte Teil hat also einVolumenvon etwa 113Millilitern.

Der Anteil desMartiniglas,der gefüllt ist, beträgt

DasMartiniglasist also zu etwa 31,2 Prozent mitOrangensaftgefüllt.

  • Rolf Baumann:Geometrie für die 9./10. Klasse.Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003,ISBN 3-580-63635-9,S.95ff.
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Wiktionary: Kegelstumpf– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen