Affine Abbildung

Affine Abbildung, die Position des Punktes$P'$ist so bestimmt, dass die Projektionslinien auf der Ebene$E_{2}$keinen rechten Winkel mit der Affinitäts-achse$a$bilden. Auch zu sehen, wenn beide Ebenen ($E_{1},E_{2}$) einen gestrecktenWinkeleinschließen, dann steht der Strahl$s_{1}$(rot) nicht senkrecht auf$a.$Animation am Ende 25 s Pause, dazwischen 10 s.

Affine Abbildung, Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene
Animation am Ende 25 s Pause, dazwischen 5 s.

In derGeometrieund in derLinearen Algebra,Teilgebieten derMathematik,ist eineaffine AbbildungoderAffinität(auchaffine Transformationgenannt, insbesondere bei einer bijektiven affinen Abbildung) eineAbbildungzwischen zweiaffinen Räumen,bei derKollinearität,ParallelitätundTeilverhältnissebewahrt bleiben oder gegenstandslos werden. Präziser formuliert:

1. Die Bilder von Punkten, die auf einerGeradenliegen (d. h. kollinear sind), liegen wieder auf einer Geraden (InvarianzderKollinearität). Dabei können auch alle – aber dann alle und nicht nur einige – Punkte einer Geraden aufeinenPunkt abgebildet werden.
2. Die Bilder zweier paralleler Geraden sind parallel, wenn keine der beiden Geraden auf einen Punkt abgebildet wird.
3. Drei verschiedene Punkte, die auf einer Geraden liegen (kollineare Punkte), werden so abgebildet, dass das Teilverhältnis ihrer Bildpunkte mit dem der Urbildpunkte übereinstimmt – es sei denn, alle drei werden auf denselben Bildpunkt abgebildet.

Einebijektiveaffine Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst wirdAffinitätgenannt.

In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) werden spezielle affine Abbildungen auch lineare Abbildung oderlineare Funktiongenannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist einelineare Abbildungjedoch einHomomorphismusvonVektorräumen.

Definition

Eine Abbildung$f\colon A\to B$zwischen affinen Räumen$(A,V_{A})$und$(B,V_{B})$heißtaffine Abbildung,wenn es einelineare Abbildung$\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass

${\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)$

für alle Punkte$P,Q\in A$gilt. Dabei bezeichnen${\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}$und${\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}$die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

In dem wichtigen Anwendungsfall, dass$A=V_{A}$und$B=V_{B}$gilt, ist eine Abbildung$f\colon A\to B$bereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung$\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$gibt mit

$f(P)=f(0)+\varphi (P)$

für alle$P$in$A$.In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eineTranslationeiner linearen Abbildung mit dem Bild$f(0)$des Nullpunkts.

Eigenschaften

• Die lineare Abbildung$\varphi$aus der Definition ist durch$f$eindeutig bestimmt. Sie wird im Folgenden mit$\varphi _{f}$bezeichnet.
• Eine Abbildung$f\colon A\to B$ist genau dann affin, wenn es ein$P_{0}\in A$gibt, sodass die Abbildung

$\varphi _{f}\colon V_{A}\to V_{B},\quad {\overrightarrow {P_{0}Q}}\mapsto {\overrightarrow {f(P_{0})f(Q)}}$

linear ist.

• Sind$P_{0}\in A$und$Q_{0}\in B$sowie eine lineare Abbildung$\psi \colon V_{A}\to V_{B}$vorgegeben, so gibt es genau eine affine Abbildung$f\colon A\to B$mit$f(P_{0})=Q_{0}$und$\varphi _{f}=\psi$.
• Eine affine Abbildung$f$ist genau dann bijektiv, wenn$\varphi _{f}$bijektiv ist. In diesem Fall ist die Umkehrabbildung$f^{-1}\colon B\to A$ebenfalls affin und es gilt$\varphi _{f^{-1}}=(\varphi _{f})^{-1}$.
• Ist$(C,V_{C})$ein weiterer affiner Raum und sind$f\colon A\to B$,$g\colon B\to C$affin, dann ist auch$g\circ f\colon A\to C$affin und es gilt$\varphi _{g\circ f}=\varphi _{g}\circ \varphi _{f}$.

Koordinatendarstellung

Siehe auch:Koordinatentransformation

Dieser Abschnitt befasst sich mit affinen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen affinen Räumen.

Affine Koordinaten

Wenn sowohl im Urbildraum${\mathcal {A}}_{1}$als auch im Bildraum${\mathcal {A}}_{2}$einaffines Koordinatensystemfest gewählt worden ist, dann setzt sich bezüglich dieses Koordinatensystems eine affine Abbildung aus einer linearen Transformation und einerParallelverschiebungzusammen. Die lineare Transformation lässt sich dann alsMatrix-Vektor-Produktschreiben und die affine Transformation$f$ergibt sich aus derMatrix$A$(derAbbildungsmatrix) und dem Verschiebungsvektor${\vec {t}}$:

$f({\vec {x}})=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {t}}$

Die Koordinatenvektoren${\vec {x}}$und$f({\vec {x}})$sind in dieser Schreibweise Spaltenvektoren und stellen die affinen Koordinaten derOrtsvektoreneines Urbildpunktes bzw. eines Bildpunktes dar. Die Anzahl der Zeilen der Matrix$A$ist gleich derDimensiondes Raumes${\mathcal {A}}_{2}$,in den abgebildet wird (Wertevorrat), die Anzahl ihrer Spalten ist gleich der Dimension des abgebildeten Raumes${\mathcal {A}}_{1}$.

Die Dimension desBildraumes$f({\mathcal {A}}_{1})$der affinen Abbildung ist gleich demRangder Abbildungsmatrix$A$.

Bei einer affinen Selbstabbildung eines affinen Raumes wird nureinaffines Koordinatensystem gewählt, die Koordinatenvektoren${\vec {x}}$und$f({\vec {x}})$beziehen sich also auf dasselbe Koordinatensystem, die Abbildungsmatrix$A$ist quadratisch, d. h. ihre Zeilen- und Spaltenzahl ist gleich. In diesem Zusammenhang ist es üblich, den affinen Raum mit dem zugehörigen Vektorraum der Verschiebungen zu identifizieren. In diesem Sinn umfassen die affinen Selbstabbildungen allelinearen Abbildungen(mit${\vec {t}}=0$) und ergänzen diese um einen Translationsanteil.

Eine affine Selbstabbildung ist genau dann eine Affinität, wenn dieDeterminanteder Abbildungsmatrix$A$ungleich 0 ist.

Homogene Koordinaten und Erweiterte Abbildungsmatrix

→Hauptartikel:Homogene Koordinaten

Wählt man zur Darstellung sowohl im Urbildraum${\mathcal {A}}_{1}$als auch im Bildraum${\mathcal {A}}_{2}$homogeneaffine Koordinaten, dann lässt sich der Verschiebungsvektor${\vec {t}}$mit der Abbildungsmatrix$A$zu einererweiterten Abbildungsmatrix$A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {t}})$zusammenfassen:

$A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {t}})={\begin{pmatrix}A&{\vec {t}}\\{\vec {o}}^{\,T}&1\end{pmatrix}},$dabei ist${\vec {o}}^{\,T}$dertransponierteNullvektorim Vektorraum, der zu${\mathcal {A}}_{1}$gehört.

Die Abbildungsgleichung lautet dann für homogene Koordinatenvektoren

$f_{h}({\vec {x_{h}}})=A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {t}})\cdot {\vec {x_{h}}}$.

Bei dieser Darstellung der erweiterten Matrix wird alshomogenisierende Koordinateeine zusätzliche Koordinate$x_{n+1}$an den Spaltenvektor${\vec {x}}$angefügt:

${\vec {x}}_{h}={\begin{pmatrix}{\vec {x}}\\1\end{pmatrix}}$.

Diese Darstellung durch homogene Koordinaten kann als eine Einbettung des affinen Raumes in einenprojektiven Raumder gleichen Dimension interpretiert werden. Dann sind die homogenen Koordinaten alsprojektive Koordinatenzu verstehen.

Klassifikation der ebenen Affinitäten

Affinitäten werden generell zunächst danach unterschieden, wie vieleFixpunktesie haben. Dies gilt auch, wenn der affine Raum mehr als zwei Dimensionen hat. Ein Punkt ist Fixpunkt, wenn er durch die Affinität auf sich selbst abgebildet wird. In der Koordinatendarstellung kann man den Koordinatenvektor${\vec {x}}_{p}$eines Fixpunkts bestimmen, indem man das Gleichungssystem${\vec {x}}_{p}-A\cdot {\vec {x}}_{p}={\vec {t}}$löst. Man beachte, dass auch für${\vec {t}}\neq 0$Fixpunkte existieren können!

1. Achsenaffinität: Eine ebene Affinität, bei der genau eine Gerade punktweise fix bleibt, sie wird Achse der Affinität genannt. Dazu zählen dieScherung,Schrägspiegelung(speziell die senkrechte Achsenspiegelung) und die Parallelstreckung.
2. Affinität mit einem Zentrum (Zentrale Affinität): eine Affinität, bei der genau ein Punkt fix bleibt, das Zentrum$Z$der Affinität. Dazu zählen dieDrehstreckung(mit den Spezialfällen zentrische Streckung, Drehung und Punktspiegelung), die Scherstreckung und die Euleraffinität.
3. Affinitäten ohne Fixpunkt: Das sind die reinen Verschiebungen und Hintereinanderausführungen einer Achsenaffinität und einer Verschiebung (Scherung mit Verschiebung in eine von der Achsrichtung verschiedene Richtung oder Parallelstreckung/Schrägspiegelung mit einer Verschiebung in Richtung der Achse).

Ausführlicher und verallgemeinert auf höhere Dimensionen wird die Klassifikation im HauptartikelAffinität (Mathematik)dargestellt.

Normalform der Koordinatendarstellung für ebene Affinitäten

Eine ebene Affinität wird auf Normalform gebracht, indem man für ihre Koordinatendarstellung eine geeignete affine Punktbasis wählt. Dazu wird, wo immer das möglich ist, der Ursprung des Koordinatensystems in einen Fixpunkt und die Achsen des Koordinatensystems in Richtung vonFixgeradengelegt. Die folgenden Normalformen gelten für Affinitäten in derreellenaffinen Ebene. Im Falle einer fixpunktfreien Affinität ist außer der Abbildungsmatrix$A$noch ein Verschiebungsvektor${\vec {t}}\neq 0$zur Beschreibung der Affinität nötig.

1. Achsenaffinitäten (Fixpunkt ist neben dem Ursprung$O=E_{0}$jeweils der erste Basispunkt$E_{1}$):
   1. Scherung$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$
   2. Schrägspiegelung$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
   3. Parallelstreckung$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&a\end{pmatrix}};\quad a>0$
2. Zentrale Affinitäten (Fixpunkt ist der Ursprung, als Koordinatenachsen werden womöglich die Richtungen derEigenvektorender Matrix$A$gewählt.)
   1. Drehstreckung$A=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{pmatrix}},\quad$dabei ist$|r|$der Streckfaktor und$\varphi$der Drehwinkel,
   2. Scherstreckung$A={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}};\quad a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace$
   3. Euleraffinität$A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}};\quad a\neq b;\quad a,b\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace.$

Diese Klassifikation der Affinitäten gilt auch allgemeiner bei einer affinen Ebene zum Vektorraum$K^{2}$,wenn$K$eineuklidischer Teilkörperder reellen Zahlen ist. Dabei gilt dann für die Matrixeinträge zusätzlich:$a,b,r,\cos(\varphi ),\sin(\varphi )\in K$.Bei Drehstreckungen ist im Allgemeinen – auch wenn die Ebene eineeuklidische Ebene mit Bogenmaßist – das Winkelmaß$\varphi \in \mathbb {R}$selbst kein Körperelement.

Spezialfälle

• Eine affine Abbildung eines Raumes in sich selbst wird alsaffine Selbstabbildungbezeichnet. Ist diese Selbstabbildungbijektiv(umkehrbar eindeutig), heißt sieAffinität.
• Eine Affinität, bei der jede Gerade zu ihrer Bildgeraden parallel ist, heißtDilatationoderHomothetie.DieParallelverschiebungensind spezielle Homothetien.
• Eine affine Selbstabbildung, bei der dereuklidische Abstandvon Punkten erhalten bleibt, heißtBewegungoder, insbesondere im ebenen Fall,Kongruenzabbildung,solche Bewegungen sind notwendig bijektiv, also Affinitäten.
• Wichtige affine Selbstabbildungen, die nicht bijektiv sind, sind dieParallelprojektionen,bei denen der affine Raum$A$auf einen echten Teilraum$B$abgebildet wird und die Einschränkung auf$B$dieIdentische Abbildungist.
• Eine affine Abbildung eines affinen Raumes in den Grundkörper dieses Raumes, der dabei als eindimensionaler affiner Raum über sich aufgefasst wird, bezeichnet man gelegentlich alsaffine Funktion.

Anwendungen

Graphische Anwendungen, Computergraphik

Affine Abbildungen kommen z. B. in derKartografieund derBildbearbeitungzur Anwendung.

• Affine Abbildungen, die häufig zum Beispiel in derRobotikoderComputergrafikAnwendung finden, sindDrehung(Rotation),Spiegelung,Skalierung(Veränderung des Maßstabs),ScherungundVerschiebung(Translation). Alle genannten Abbildungen sind bijektiv.
• Wenn dreidimensionale Körper zeichnerisch oder graphisch – also in zwei Dimensionen – dargestellt werden sollen, werdennichtbijektiveaffine Abbildungen benötigt.

• Hierzu gehört dieParallelprojektionmit den Parallelrissen (Grundriss, Aufriss, Kreuzriss; → sieheNormalprojektion) als Spezialfällen.
• DieZentralprojektionist im Allgemeinen keine affine Abbildung. Sie gehört zu denProjektiven Abbildungen,einer Verallgemeinerung der affinen Abbildungen.
• Daneben gibt es weitere graphische Darstellungen, denen keine affine Abbildung zugrunde liegt, zum Beispiel für Landkarten dieMercator-Projektionen.

• Bei der standardisierten Beschreibung vonVektorgrafikenwerden ebenfalls affine Abbildungen eingesetzt (zum Beispiel imSVG-Format).

Lineare Transformation in der Statistik

Alslineare Transformationwerden affine Abbildungen beispielsweise in denstatistischen Methodeneingesetzt.

Verteilungsparameter einer Zufallsvariablen

Betrachtet wird eineZufallsvariable$X$mit demErwartungswert$\operatorname {E} (X)$und derVarianz$\operatorname {Var} (X)$.Es wird eine neue Zufallsvariable gebildet, die eine lineare Transformation von$X$ist,

$Y=a+bX,$

wobei$a$und$b$reelle Zahlensind.

Die neue Zufallsvariable$Y$hat dann den Erwartungswert

$\operatorname {E} (Y)=a+b\operatorname {E} (X),$

und die Varianz

$\operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X).$

Speziell gilt: Ist$X$normalverteilt,so ist auch$Y$normalverteilt mit den obigen Parametern.

Beispiel

Sei$X$eine Zufallsvariable mit positiver Varianz. Nützlich ist dann eine lineare Transformation

$Y={\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}},$

denn nun ist$Y$mit$\operatorname {E} (Y)=0$und$\operatorname {Var} (Y)=1$eine sogenanntestandardisierteZufallsvariable.

Verteilungsparameter mehrerer gemeinsam verteilter Zufallsvariablen

Betrachtet werden$p$viele Zufallsvariablen$X_{j}$,$j=1,\dots,p$.Man fasst diese Zufallsvariablen imZufallsvektor${\underline {X}}=(X_{1},\dots,X_{p})^{T}$zusammen. Die Erwartungswerte werden imErwartungswertvektor${\underline {\mu }}_{X}$und die Varianzen und Kovarianzen in derKovarianzmatrix${\underline {\Sigma }}_{X}$aufgeführt. Es wird ein Zufallsvektor${\underline {Y}}$gebildet, der eine lineare Transformation von${\underline {X}}$ist,

${\underline {Y}}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {X}},$

wobei${\underline {a}}$ein$q$-dimensionalerSpaltenvektorund${\underline {B}}$eine ($q\times p$)-Matrixsind.

${\underline {Y}}$hat dann den Erwartungswertvektor

${\underline {\mu }}_{Y}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {\mu }}_{X}$

und die Kovarianzmatrix

${\underline {\Sigma }}_{Y}={\underline {B}}\,{\underline {\Sigma }}_{X}\,{\underline {B}}^{T}$.

Speziell gilt: Ist${\underline {X}}$$p$-dimensionalnormalverteilt,so ist${\underline {Y}}$$q$-dimensional normalverteilt mit den obigen Verteilungsparametern.

Beispiele

Die affine Transformation ist einelineareAbbildungsmethode, bei derPunkte,gerade Linien,GeradenundEbenenerhalten bleiben.ParalleleLinien und Geraden bleiben nach einer affinen Transformation parallel.

Affine Transformationen werden typischerweise verwendet, um geometrische Verzerrungen oder Verformungen zu korrigieren, die bei nicht idealen Kamerawinkeln auftreten. Beispielsweise verwendenSatellitenbilderaffine Transformationen, um Verzerrungen vonWeitwinkelobjektiven,PanoramabildernundBildregistrierungenzu korrigieren. Das Transformieren und Verschmelzen der Bilder zu einem großen, flachenKoordinatensystemist wünschenswert, um Verzerrungen zu vermeiden. Dies ermöglicht einfachere Interaktionen und Berechnungen, bei denen keine Bildverzerrung berücksichtigt werden muss.

Die folgendeTabellezeigt die verschiedenen affinen Transformationen am Beispiel einesSchachbrettmusters:Identische Abbildung,Parallelverschiebung,Spiegelung,Skalierung,DrehungundScherung:

Affine Transformation	AffineMatrix	Beispiel
Identische Abbildung	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Parallelverschiebung	${\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Spiegelung	${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Skalierung	${\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Drehung	${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Scherung	${\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Siehe auch

• Koordinatentransformation
• Transformationsparameter,7-Parameter-Transformation

Literatur

• Gerd Fischer:Analytische Geometrie.6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992,ISBN 3-528-57235-3.
• Hermann Schaal, Ekkehart Glässner:Lineare Algebra und analytische Geometrie.Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976,ISBN 3-528-03056-9.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe:Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra.BI-Wissenschafts-Verlag, 1990,ISBN 3-411-14101-8.

Weblinks

• „Algebra & Geometrie “von Bernhard Kabelka
• Vorlesungsskript „Algebra und Geometrie “von Hubert Grassmann