Affine Abbildung
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In derGeometrieund in derLinearen Algebra,Teilgebieten derMathematik,ist eineaffine AbbildungoderAffinität(auchaffine Transformationgenannt, insbesondere bei einer bijektiven affinen Abbildung) eineAbbildungzwischen zweiaffinen Räumen,bei derKollinearität,ParallelitätundTeilverhältnissebewahrt bleiben oder gegenstandslos werden. Präziser formuliert:
- Die Bilder von Punkten, die auf einerGeradenliegen (d. h. kollinear sind), liegen wieder auf einer Geraden (InvarianzderKollinearität). Dabei können auch alle – aber dann alle und nicht nur einige – Punkte einer Geraden aufeinenPunkt abgebildet werden.
- Die Bilder zweier paralleler Geraden sind parallel, wenn keine der beiden Geraden auf einen Punkt abgebildet wird.
- Drei verschiedene Punkte, die auf einer Geraden liegen (kollineare Punkte), werden so abgebildet, dass das Teilverhältnis ihrer Bildpunkte mit dem der Urbildpunkte übereinstimmt – es sei denn, alle drei werden auf denselben Bildpunkt abgebildet.
Einebijektiveaffine Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst wirdAffinitätgenannt.
In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) werden spezielle affine Abbildungen auch lineare Abbildung oderlineare Funktiongenannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist einelineare Abbildungjedoch einHomomorphismusvonVektorräumen.
Definition
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Eine Abbildungzwischen affinen Räumenundheißtaffine Abbildung,wenn es einelineare Abbildungzwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass
für alle Punktegilt. Dabei bezeichnenunddie Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.
In dem wichtigen Anwendungsfall, dassundgilt, ist eine Abbildungbereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildunggibt mit
für allein.In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eineTranslationeiner linearen Abbildung mit dem Bilddes Nullpunkts.
Eigenschaften
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- Die lineare Abbildungaus der Definition ist durcheindeutig bestimmt. Sie wird im Folgenden mitbezeichnet.
- Eine Abbildungist genau dann affin, wenn es eingibt, sodass die Abbildung
- linear ist.
- Sindundsowie eine lineare Abbildungvorgegeben, so gibt es genau eine affine Abbildungmitund.
- Eine affine Abbildungist genau dann bijektiv, wennbijektiv ist. In diesem Fall ist die Umkehrabbildungebenfalls affin und es gilt.
- Istein weiterer affiner Raum und sind,affin, dann ist auchaffin und es gilt.
Koordinatendarstellung
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Dieser Abschnitt befasst sich mit affinen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen affinen Räumen.
Affine Koordinaten
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Wenn sowohl im Urbildraumals auch im Bildraumeinaffines Koordinatensystemfest gewählt worden ist, dann setzt sich bezüglich dieses Koordinatensystems eine affine Abbildung aus einer linearen Transformation und einerParallelverschiebungzusammen. Die lineare Transformation lässt sich dann alsMatrix-Vektor-Produktschreiben und die affine Transformationergibt sich aus derMatrix(derAbbildungsmatrix) und dem Verschiebungsvektor:
Die Koordinatenvektorenundsind in dieser Schreibweise Spaltenvektoren und stellen die affinen Koordinaten derOrtsvektoreneines Urbildpunktes bzw. eines Bildpunktes dar. Die Anzahl der Zeilen der Matrixist gleich derDimensiondes Raumes,in den abgebildet wird (Wertevorrat), die Anzahl ihrer Spalten ist gleich der Dimension des abgebildeten Raumes.
Die Dimension desBildraumesder affinen Abbildung ist gleich demRangder Abbildungsmatrix.
Bei einer affinen Selbstabbildung eines affinen Raumes wird nureinaffines Koordinatensystem gewählt, die Koordinatenvektorenundbeziehen sich also auf dasselbe Koordinatensystem, die Abbildungsmatrixist quadratisch, d. h. ihre Zeilen- und Spaltenzahl ist gleich. In diesem Zusammenhang ist es üblich, den affinen Raum mit dem zugehörigen Vektorraum der Verschiebungen zu identifizieren. In diesem Sinn umfassen die affinen Selbstabbildungen allelinearen Abbildungen(mit) und ergänzen diese um einen Translationsanteil.
Eine affine Selbstabbildung ist genau dann eine Affinität, wenn dieDeterminanteder Abbildungsmatrixungleich 0 ist.
Homogene Koordinaten und Erweiterte Abbildungsmatrix
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Wählt man zur Darstellung sowohl im Urbildraumals auch im Bildraumhomogeneaffine Koordinaten, dann lässt sich der Verschiebungsvektormit der Abbildungsmatrixzu einererweiterten Abbildungsmatrixzusammenfassen:
- dabei istdertransponierteNullvektorim Vektorraum, der zugehört.
Die Abbildungsgleichung lautet dann für homogene Koordinatenvektoren
- .
Bei dieser Darstellung der erweiterten Matrix wird alshomogenisierende Koordinateeine zusätzliche Koordinatean den Spaltenvektorangefügt:
- .
Diese Darstellung durch homogene Koordinaten kann als eine Einbettung des affinen Raumes in einenprojektiven Raumder gleichen Dimension interpretiert werden. Dann sind die homogenen Koordinaten alsprojektive Koordinatenzu verstehen.
Klassifikation der ebenen Affinitäten
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Affinitäten werden generell zunächst danach unterschieden, wie vieleFixpunktesie haben. Dies gilt auch, wenn der affine Raum mehr als zwei Dimensionen hat. Ein Punkt ist Fixpunkt, wenn er durch die Affinität auf sich selbst abgebildet wird. In der Koordinatendarstellung kann man den Koordinatenvektoreines Fixpunkts bestimmen, indem man das Gleichungssystemlöst. Man beachte, dass auch fürFixpunkte existieren können!
- Achsenaffinität: Eine ebene Affinität, bei der genau eine Gerade punktweise fix bleibt, sie wird Achse der Affinität genannt. Dazu zählen dieScherung,Schrägspiegelung(speziell die senkrechte Achsenspiegelung) und die Parallelstreckung.
- Affinität mit einem Zentrum (Zentrale Affinität): eine Affinität, bei der genau ein Punkt fix bleibt, das Zentrumder Affinität. Dazu zählen dieDrehstreckung(mit den Spezialfällen zentrische Streckung, Drehung und Punktspiegelung), die Scherstreckung und die Euleraffinität.
- Affinitäten ohne Fixpunkt: Das sind die reinen Verschiebungen und Hintereinanderausführungen einer Achsenaffinität und einer Verschiebung (Scherung mit Verschiebung in eine von der Achsrichtung verschiedene Richtung oder Parallelstreckung/Schrägspiegelung mit einer Verschiebung in Richtung der Achse).
Ausführlicher und verallgemeinert auf höhere Dimensionen wird die Klassifikation im HauptartikelAffinität (Mathematik)dargestellt.
Normalform der Koordinatendarstellung für ebene Affinitäten
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Eine ebene Affinität wird auf Normalform gebracht, indem man für ihre Koordinatendarstellung eine geeignete affine Punktbasis wählt. Dazu wird, wo immer das möglich ist, der Ursprung des Koordinatensystems in einen Fixpunkt und die Achsen des Koordinatensystems in Richtung vonFixgeradengelegt. Die folgenden Normalformen gelten für Affinitäten in derreellenaffinen Ebene. Im Falle einer fixpunktfreien Affinität ist außer der Abbildungsmatrixnoch ein Verschiebungsvektorzur Beschreibung der Affinität nötig.
- Achsenaffinitäten (Fixpunkt ist neben dem Ursprungjeweils der erste Basispunkt):
- Scherung
- Schrägspiegelung
- Parallelstreckung
- Zentrale Affinitäten (Fixpunkt ist der Ursprung, als Koordinatenachsen werden womöglich die Richtungen derEigenvektorender Matrixgewählt.)
- Drehstreckungdabei istder Streckfaktor undder Drehwinkel,
- Scherstreckung
- Euleraffinität
Diese Klassifikation der Affinitäten gilt auch allgemeiner bei einer affinen Ebene zum Vektorraum,wenneineuklidischer Teilkörperder reellen Zahlen ist. Dabei gilt dann für die Matrixeinträge zusätzlich:.Bei Drehstreckungen ist im Allgemeinen – auch wenn die Ebene eineeuklidische Ebene mit Bogenmaßist – das Winkelmaßselbst kein Körperelement.
Spezialfälle
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- Eine affine Abbildung eines Raumes in sich selbst wird alsaffine Selbstabbildungbezeichnet. Ist diese Selbstabbildungbijektiv(umkehrbar eindeutig), heißt sieAffinität.
- Eine Affinität, bei der jede Gerade zu ihrer Bildgeraden parallel ist, heißtDilatationoderHomothetie.DieParallelverschiebungensind spezielle Homothetien.
- Eine affine Selbstabbildung, bei der dereuklidische Abstandvon Punkten erhalten bleibt, heißtBewegungoder, insbesondere im ebenen Fall,Kongruenzabbildung,solche Bewegungen sind notwendig bijektiv, also Affinitäten.
- Wichtige affine Selbstabbildungen, die nicht bijektiv sind, sind dieParallelprojektionen,bei denen der affine Raumauf einen echten Teilraumabgebildet wird und die Einschränkung aufdieIdentische Abbildungist.
- Eine affine Abbildung eines affinen Raumes in den Grundkörper dieses Raumes, der dabei als eindimensionaler affiner Raum über sich aufgefasst wird, bezeichnet man gelegentlich alsaffine Funktion.
Anwendungen
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Graphische Anwendungen, Computergraphik
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Affine Abbildungen kommen z. B. in derKartografieund derBildbearbeitungzur Anwendung.
- Affine Abbildungen, die häufig zum Beispiel in derRobotikoderComputergrafikAnwendung finden, sindDrehung(Rotation),Spiegelung,Skalierung(Veränderung des Maßstabs),ScherungundVerschiebung(Translation). Alle genannten Abbildungen sind bijektiv.
- Wenn dreidimensionale Körper zeichnerisch oder graphisch – also in zwei Dimensionen – dargestellt werden sollen, werdennichtbijektiveaffine Abbildungen benötigt.
- Hierzu gehört dieParallelprojektionmit den Parallelrissen (Grundriss, Aufriss, Kreuzriss; → sieheNormalprojektion) als Spezialfällen.
- DieZentralprojektionist im Allgemeinen keine affine Abbildung. Sie gehört zu denProjektiven Abbildungen,einer Verallgemeinerung der affinen Abbildungen.
- Daneben gibt es weitere graphische Darstellungen, denen keine affine Abbildung zugrunde liegt, zum Beispiel für Landkarten dieMercator-Projektionen.
- Bei der standardisierten Beschreibung vonVektorgrafikenwerden ebenfalls affine Abbildungen eingesetzt (zum Beispiel imSVG-Format).
Lineare Transformation in der Statistik
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Alslineare Transformationwerden affine Abbildungen beispielsweise in denstatistischen Methodeneingesetzt.
Verteilungsparameter einer Zufallsvariablen
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Betrachtet wird eineZufallsvariablemit demErwartungswertund derVarianz.Es wird eine neue Zufallsvariable gebildet, die eine lineare Transformation vonist,
wobeiundreelle Zahlensind.
Die neue Zufallsvariablehat dann den Erwartungswert
und die Varianz
Speziell gilt: Istnormalverteilt,so ist auchnormalverteilt mit den obigen Parametern.
- Beispiel
Seieine Zufallsvariable mit positiver Varianz. Nützlich ist dann eine lineare Transformation
denn nun istmitundeine sogenanntestandardisierteZufallsvariable.
Verteilungsparameter mehrerer gemeinsam verteilter Zufallsvariablen
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Betrachtet werdenviele Zufallsvariablen,.Man fasst diese Zufallsvariablen imZufallsvektorzusammen. Die Erwartungswerte werden imErwartungswertvektorund die Varianzen und Kovarianzen in derKovarianzmatrixaufgeführt. Es wird ein Zufallsvektorgebildet, der eine lineare Transformation vonist,
wobeiein-dimensionalerSpaltenvektorundeine ()-Matrixsind.
hat dann den Erwartungswertvektor
und die Kovarianzmatrix
- .
Speziell gilt: Ist-dimensionalnormalverteilt,so ist-dimensional normalverteilt mit den obigen Verteilungsparametern.
Beispiele
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Die affine Transformation ist einelineareAbbildungsmethode, bei derPunkte,gerade Linien,GeradenundEbenenerhalten bleiben.ParalleleLinien und Geraden bleiben nach einer affinen Transformation parallel.
Affine Transformationen werden typischerweise verwendet, um geometrische Verzerrungen oder Verformungen zu korrigieren, die bei nicht idealen Kamerawinkeln auftreten. Beispielsweise verwendenSatellitenbilderaffine Transformationen, um Verzerrungen vonWeitwinkelobjektiven,PanoramabildernundBildregistrierungenzu korrigieren. Das Transformieren und Verschmelzen der Bilder zu einem großen, flachenKoordinatensystemist wünschenswert, um Verzerrungen zu vermeiden. Dies ermöglicht einfachere Interaktionen und Berechnungen, bei denen keine Bildverzerrung berücksichtigt werden muss.
Die folgendeTabellezeigt die verschiedenen affinen Transformationen am Beispiel einesSchachbrettmusters:Identische Abbildung,Parallelverschiebung,Spiegelung,Skalierung,DrehungundScherung:[1]
Affine Transformation | AffineMatrix | Beispiel |
---|---|---|
Identische Abbildung | ![]() | |
Parallelverschiebung | ![]() | |
Spiegelung | ![]() | |
Skalierung | ![]() | |
Drehung | ![]() | |
Scherung | ![]() |
Siehe auch
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- Gerd Fischer:Analytische Geometrie.6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992,ISBN 3-528-57235-3.
- Hermann Schaal, Ekkehart Glässner:Lineare Algebra und analytische Geometrie.Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976,ISBN 3-528-03056-9.
- Uwe Storch, Hartmut Wiebe:Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra.BI-Wissenschafts-Verlag, 1990,ISBN 3-411-14101-8.
Weblinks
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- „Algebra & Geometrie “von Bernhard Kabelka
- Vorlesungsskript „Algebra und Geometrie “von Hubert Grassmann
Einzelnachweise
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- ↑The MathWorks, Inc.:Linear mapping method using affine transformation