Algebraische Zahl

Die Quadratwurzel aus 2 ist eine algebraische Zahl, denn sie ist Lösung der Gleichung$x^{2}-2=0$

In derMathematikist einealgebraische Zahl$x$eine reelle oder komplexe Zahl, dieNullstelleeinesPolynomsvom Grad größer als Null (nicht-konstantes Polynom)

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$

mitrationalenKoeffizienten$a_{k}\in \mathbb {Q}$für$k=0,\dotsc,n$und$a_{n}\neq 0$ist, also eine Lösung der Gleichung$f(x)=0$.

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge$\mathbb {A}$derkomplexen Zahlen$\mathbb {C}$.Offenbar ist jederationale Zahl$q$algebraisch, da sie die Gleichung$x-q=0$löst. Es gilt also$\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {A} \subsetneq \mathbb {C}$.

Ist einereelle(oder allgemeiner komplexe) Zahl nicht algebraisch, so heißt sietranszendent.

Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen:Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit demHauptnennerder Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das entstehende Polynom hat dieselben Nullstellen wie das Ausgangspolynom.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann mannormieren,indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten$a_{n}$dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizientenganzzahlig sind, nennt manganzalgebraische Zahlenoder auchganze algebraische Zahlen.Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einenUnterringder algebraischen Zahlen, der aber nichtfaktoriellist.Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit sieheGanzheit (kommutative Algebra).

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem desalgebraischen Elementserweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus$\mathbb {Q}$aus einem beliebigenKörperentnimmt.

Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl

Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen sind der im Folgenden definierte Grad und dasMinimalpolynomeiner algebraischen Zahl wichtig.

Ist$x$eine algebraische Zahl, die eine algebraische Gleichung

$f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=0$

mit$n\geq 1$,$a_{k}\in \mathbb {Q}$erfüllt, aber im Fall$n\geq 2$keine derartige Gleichung geringeren Grades, dann nennt man$n$denGradvon$x$.Damit sind alle rationalen Zahlen vom Grad 1. Alle irrationalen Quadratwurzeln rationaler Zahlen sind vom Grad 2.

Die Zahl$n$ist gleichzeitig der Grad desPolynoms$f$,des sogenanntenMinimalpolynomsvon$x$.

Beispiele

• Beispielsweise ist${\sqrt {2}}$eine ganze algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung$x^{2}-2=0$.Ebenso ist dieimaginäre Einheit$i$als Lösung von$x^{2}+1=0$ganzalgebraisch.
• ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ist eine ganze algebraische Zahl vom Grad 4. Siehe dazuBeispiel für algebraisches Element.
• ${\tfrac {1}{2}}$und${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$sind Beispiele für algebraische Zahlen 1. bzw. 2. Grades, dienichtganzalgebraisch sind.
• Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass dieKreiszahl$\pi$und dieEulersche Zahl$e$nicht algebraisch sind.Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel$\pi +e$,weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Siehe dazu den ArtikelTranszendente Zahl.

Eigenschaften

Die Menge der algebraischen Zahlen istabzählbarund bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen istalgebraisch abgeschlossen,d. h., jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von$\mathbb {Q}$und ist damit dessenalgebraischer Abschluss.Man schreibt ihn oft als${\overline {\mathbb {Q} }}$(für „algebraischer Abschluss von$\mathbb {Q}$“;verwechselbar mit anderen Abschlussbegriffen) oder als$\mathbb {A}$(für „Algebraische Zahlen “).

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper, etwa die Menge aller Zahlen der Form$a+b\cdot q$,wobei$a$und$b$rationale Zahlen sind sowie$q$irrational und Quadratwurzel einer rationalen Zahl$r$ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus$\{0,1\}$konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.

Siehe auch:Euklidischer Körper

Im Rahmen derGaloistheoriewerden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung derGrundrechenarten(Addition,Subtraktion,MultiplikationundDivision) sowie durchZiehenn-ter Wurzeln(neine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen „durch Radikale darstellbar “), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mindestens 5. Grades.

Weblinks

• Barry Mazur:Algebraic Numbers.(PDF; 272 kB).