Analytische Funktion

Alsanalytischbezeichnet man in derMathematikeineFunktion,die lokal durch einekonvergentePotenzreihegegeben ist. Aufgrund der Unterschiede zwischenreellerundkomplexerAnalysisspricht man zur Verdeutlichung oft auch explizit vonreell-analytischenoderkomplex-analytischenFunktionen. Im Komplexen sind die Eigenschaftenanalytischundholomorphäquivalent. Ist eine Funktion in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch, nennt man sieganz.

Definition

Es sei$\mathbb {K} =\mathbb {R}$oder$\mathbb {K} =\mathbb {C}$und$D\subseteq \mathbb {K}$eineoffene Teilmenge.Eine Funktion$f\colon D\to \mathbb {K}$heißtanalytisch im Punkt$x_{0}\in D,$wenn es einePotenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

gibt, die auf einerUmgebungvon$x_{0}$gegen$f(x)$konvergiert. Ist$f$in jedem Punkt von$D$analytisch, so heißt$f$analytisch.

Eigenschaften

• Eine analytische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Die Umkehrung gilt nicht, siehe Beispiele unten.

• Die lokale Potenzreihendarstellung einer analytischen Funktion$f$ist ihreTaylorreihe.Es gilt also

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}$.

• Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (sofern der Nenner keine Nullstellen hat) und Verkettungen analytischer Funktionen sind analytisch.

• Ist$D$zusammenhängendund besitzt die Menge der Nullstellen einer analytischen Funktion$f\colon D\to \mathbb {K}$einenHäufungspunktin$D$,so ist$f$dieNullfunktion.Sind entsprechend$f,g\colon D\to \mathbb {K}$zwei Funktionen, die auf einer Menge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in$D$besitzt, z. B. auf einer offenen Teilmenge, so sind sie identisch.

Reelle Funktionen

Beispiele analytischer Funktionen

Viele gängige Funktionen der reellen Analysis wie beispielsweisePolynomfunktionen,Exponential-undLogarithmusfunktionen,trigonometrische FunktionenundrationaleAusdrücke in diesen Funktionen sind analytisch. Die Menge aller auf einer offenen Menge$D$reell-analytischen Funktionen wird mit$C^{\omega }(D)$bezeichnet.

Exponentialfunktion

Eine bekannte analytische Funktion ist die Exponentialfunktion

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}x^{k}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}+\dotsb$,

die auf ganz$\mathbb {R}$konvergiert.

Trigonometrische Funktion

Auch dietrigonometrischen FunktionenSinus, Kosinus,Tangens, Kotangensund ihreArkusfunktionensind analytisch. Jedoch zeigt das Beispiel desArkustangens

$\arctan(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\dotsb$,

dass eine auf ganz$\mathbb {R}$analytische Funktion eine Reihenentwicklung mit endlichemKonvergenzradiushaben kann.

Spezielle Funktionen

Vielespezielle Funktionenwie beispielsweise dieeulersche Gammafunktion,dieeulersche Betafunktionoder dieriemannsche Zeta-Funktionsind ebenfalls analytisch.

Beispiele nicht-analytischer Funktionen

Der Graph der Funktion$f$fällt in der Nähe von 0 sehr schnell gegen 0. Schon der Wert$f(0{,}4)\approx 0{,}0019\ldots$lässt sich in der Graphik nicht mehr von 0 unterscheiden.

Die folgenden Beispiele nicht-analytischer Funktionen zählen zu denglatten Funktionen:Sie sind auf ihrem Definitionsbereich beliebig oft differenzierbar, aber an einzelnen Punkten existiert keine Potenzreihenentwicklung. Die folgende Funktion

$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq 0\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\end{cases}}$

ist an allen Stellen$x\in \mathbb {R}$,also auch an der Stelle 0, beliebig oft differenzierbar. Aus$f^{(n)}\left(0\right)=0$für alle$n$folgt dieTaylor-Reihevon$f$,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0$,

die, außer im Punkt$x=0$,nicht mit$f\left(x\right)$übereinstimmt. Somit ist$f$im Punkt 0 nicht analytisch.

Auch die Funktion

$g(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x>0\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\leq 0\end{cases}}$

ist beliebig oft differenzierbar, denn allerechtsseitigen Ableitungenim Nullpunkt sind genauso gleich 0 wietrivialerweisealle linksseitigen.

Es gibt eine wichtige Klasse nicht-analytischer Funktionen, die Funktionen mitkompaktem Träger.DerTrägereiner Funktion ist derAbschlussder Menge der Punkte, an denen eine Funktion nicht verschwindet:

${\overline {\{x\mid f(x)\not =0\}}}$.

Ist der Trägerkompakt,so spricht man von einer Funktion mit kompaktem Träger (oder von einerTestfunktion). Diese Funktionen spielen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen eine große Rolle. Für Funktionen, die auf ganz$\mathbb {R}$definiert sind, ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Zahl$C>0$gibt, so dass$f(x)=0$für alle$x$mit$|x|>C$gilt. Eine Funktion mit kompaktem Träger stimmt somit für große$x$mit der Nullfunktion überein. Wäre die Funktion nun zusätzlich analytisch, so würde sie nach den obigen Eigenschaften analytischer Funktionen bereits auf ganz$\mathbb {R}$mit der Nullfunktion übereinstimmen. Anders ausgedrückt: Die einzige analytische Funktion mit kompaktem Träger ist die Nullfunktion.

An der Maximalstelle ist$h\left({\tfrac {1}{2}}\right)=e^{-8}\approx 0.000335\ldots$

Die Funktion

$h(x)=g(x)g(1-x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{(1-x)^{2}}}\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ 0<x<1\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\leq 0\ \mathrm {oder} \ x\geq 1\end{cases}}$

ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger$[0,1]$.

Es ist$f(0)=1$und$0<f(x)\to 0$für$|x|\to \infty$

Bei den bisherigen Beispielen kann man beweisen, dass die Taylor-Reihe an jedem Punkt einen positiven Konvergenzradius hat, aber nicht überall gegen die Funktion konvergiert. Es gibt aber auch nichtanalytische Funktionen, bei denen die Taylor-Reihe Konvergenzradius Null hat, beispielsweise ist die Funktion

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{1+x^{2}t}}\,\mathrm {d} t$

auf ganz$\mathbb {R}$beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in$x_{0}=0$

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!\cdot x^{2k}=1-x^{2}+2x^{4}-6x^{6}+24x^{8}-\dotsb$

ist nur für$x=0$konvergent.

Allgemeiner kann man zeigen, dass jede beliebige formale Potenzreihe als Taylor-Reihe einer glatten Funktion vorkommt.

Komplexe Funktionen

→Hauptartikel:Holomorphe Funktion

In derFunktionentheoriewird gezeigt, dass eine Funktion$f$einerkomplexenVariablen, die in einer offenen Kreisscheibe$D$komplex differenzierbarist, in$D$sogarbeliebig oftkomplex differenzierbar ist und dass die Potenzreihe um den Mittelpunkt$c$der Kreisscheibe,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(z-c)^{n}$,

für jeden Punkt$z$aus$D$gegen$f(z)$konvergiert. Dies ist ein wichtiger Aspekt, unter dem Funktionen in der komplexen Ebene einfacher zu handhaben sind als Funktionen einer reellen Variablen. Tatsächlich benutzt man in der Funktionentheorie die Attributeanalytisch,holomorphundregulärsynonym. Aus den ursprünglichen Definitionen dieser Begriffe ist ihre Äquivalenz nicht sofort erkennbar; sie wurde erst später nachgewiesen. Komplex-analytische Funktionen, die nur reelle Werte annehmen, sind konstant. Eine Folgerung aus denCauchy-Riemannschen Differentialgleichungenist, dass derRealteileiner analytischen Funktion denImaginärteilbis auf eine Konstante bestimmt und umgekehrt.

Es gilt der folgende wichtige Zusammenhang zwischen reell-analytischen Funktionen und komplex-analytischen Funktionen:

Jede reell-analytische Funktion$\mathbb {R} \to \mathbb {R}$kann zu einer komplex-analytischen, alsoholomorphen Funktionauf einer Umgebung von$\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$fortgesetztwerden.

Umgekehrt wird jede holomorphe Funktion zu einer reell-analytischen Funktion, wenn man sie zunächst auf$\mathbb {R}$einschränkt und anschließend nur den Realteil (oder nur den Imaginärteil) betrachtet. Dies ist der Grund, warum viele Eigenschaften der reell-analytischen Funktionen am einfachsten mit Hilfe der komplexen Funktionentheorie bewiesen werden.

Mehrere Veränderliche

Auch bei Funktionen$f$,die von mehreren Veränderlichen$x_{1},\dotsc,x_{n}$abhängen, kann man wie folgt eine Taylorreihenentwicklung im Punkt$x=(x_{1},\dotsc,x_{n})$definieren:

$\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha!}}(\xi -x)^{\alpha }.$

Dabei wurde von derMultiindexschreibweiseGebrauch gemacht, die Summe erstreckt sich über alle Multiindizes$\alpha =(\alpha _{1},\dotsc,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$der Länge$n$.In Analogie zum oben besprochenen Fall einer Veränderlichen heißt eine Funktion analytisch, wenn die Taylorreihenentwicklung für jeden Punkt des Definitionsbereichs einen positiven Konvergenzradius hat und innerhalb des Konvergenzbereichs die Funktion darstellt, das heißt, dass

$f(\xi )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha!}}(\xi -x)^{\alpha }$

für alle$\xi =(\xi _{1},\dotsc,\xi _{n})$aus einer Umgebung von$x=(x_{1},\dotsc,x_{n})$gilt. Im Falle komplexer Veränderlicher spricht man auch bei mehreren Veränderlichen von holomorphen Funktionen. Solche Funktionen werden durch dieFunktionentheorie in mehreren komplexen Variablenuntersucht.

Literatur

• Konrad Königsberger:Analysis.Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000,ISBN 3-540-66902-7.
• Eberhard Freitag,Rolf Busam:Funktionentheorie 1.Springer-Verlag, Berlin,ISBN 3-540-67641-4.