Armand Borel

Armand Borel (1967)

Armand Borel(*21. Mai1923inLa Chaux-de-Fonds,Schweiz;†11. August2003inPrinceton,USA) war ein SchweizerMathematiker.

Leben

Borel, der Neffe vonÉmile Borel,besuchte die Schule in Genf sowie mehrere Privatschulen. Er studierte ab 1942 an derETH ZürichMathematik und Physik, insbesondere bei den TopologenHeinz HopfundEduard Stiefel,mit dem Diplom bei Stiefel 1947. Das Studium wurde vom Militärdienst unterbrochen. 1947 bis 1949 war er Assistent an der ETH. 1949/50 war er in Paris beiHenri CartanundJean Leraymit einemCNRS-Stipendium. Dort lernte er auch die Mitglieder desBourbaki-Kreises und ihre Schüler kennen (Jean Dieudonné,Laurent Schwartz,Roger Godement,Pierre Samuel,Jacques Dixmier) und befreundete sich mit vielen davon, insbesondereJean-Pierre Serre.Bald darauf wurde er selbst Mitglied von Bourbaki. Leray wurde der Doktorvater von Borel (Dissertation 1952 in Paris:Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts). Dazwischen war er 1950 bis 1952 Lehrstuhlvertreter in Genf und hielt Vorlesungen an der ETH Zürich, die zu einem Buch über die Ideen Lerays in der Topologie führten(Cohomologie des espaces localement compacts, d’après J. Leray).Von Genf und Zürich reiste er häufig nach Paris. 1952 heiratete er Gabrielle («Gaby») Aline Pittet, mit der er zwei Töchter hatte.

1952 bis 1954 war er amInstitute for Advanced StudyinPrinceton,wo er u. a. mitFriedrich Hirzebruchzusammenarbeitete. 1954 studierte er an derUniversity of ChicagobeiAndré Weil,von dem er vor allem algebraische Geometrie und Zahlentheorie lernte, und 1955 bis 1957 arbeitete er als Professor an der ETH Zürich. Von 1957 bis 1993 war er Professor am Institute for Advanced Study in Princeton. Daneben war er 1983–1986 Professor an der ETH und zusammen mitJürgen Moser1984 bis 1986 Direktor des dortigen Forschungsinstituts für Mathematik und hatte ausserdem zahlreiche Gastprofessuren, z. B. in Indien amTata Institute of Fundamental Researchin Bombay (1961, 1983, 1990) und in Hongkong 1999 bis 2001. Er reiste viel und hatte Wohnsitze sowohl in Princeton als auch amGenfersee.

Werk

Er befasste sich anfangs in Zürich und Paris mit der Topologie vonLie-Gruppen.Dabei wandte er dieSpektralsequenzenvonJean Lerayauf die Topologie der Liegruppen und ihrer klassifizierenden Räume («classifying spaces») an. Diese Räume klassifizierenFaserbündel(in der Physik Eichtheorien) mit Lie-Gruppen G als Strukturgruppen. DieKohomologiegruppendieser Räume liefern diecharakteristischen Klassen,z. B. im Fall derunitären GruppendieChernklassen.

Er war (mit Serre) Hauptautor des Bandes über Lie-Gruppen und Lie-Algebren von Bourbaki (erschienen in mehreren Teilen ab 1960). Dieses Buch unterscheidet sich deutlich in seinem Reichtum an «konkreten» Details von den anderen, meist sehr abstrakten Bourbaki-Bänden.

Neben seinen Arbeiten inalgebraischer Topologieund in der Theorie der Lie-Gruppen beschäftigte er sich mitalgebraischen Gruppen,wobei er u. a. mitJacques Titszusammenarbeitete, und mitarithmetischen Gruppen(u. a. Zusammenarbeit mitHarish-Chandra). Seine Arbeiten über algebraische Gruppen Mitte der 1950er Jahre änderten das ganze Gebiet und ermöglichten esClaude Chevalley,halbeinfache Gruppenüber beliebigenalgebraisch abgeschlossenen Körpernzu klassifizieren. MitFriedrich Hirzebruchim Fall der unitären Gruppe und allgemein mitAndré Weilzeigte er, dass sich dieCharakterformeln von Hermann Weylfür dieirreduziblen DarstellungenvonzusammenhängendenkompaktenLie-Gruppen G aus demSatz von Hirzebruch-Riemann-Rochergeben, angewandt auf die (algebraische) Quotientengruppe G/T (T =maximaler Torusvon G), die die Faser imFaserbündelder zugehörigenklassifizierenden Räumevon G und T ist. Auf den Fasern operiert dieWeylgruppederLie-Algebra(Vertauschungsgruppe der Wurzeln), was im Falle der unitären Gruppe diesymmetrische Gruppeist, mit einer zugehörigen Zerlegung der Faser inFahnenmannigfaltigkeiten.Die nach Borel benannteBorel-UntergruppeH einer algebraischen Gruppe ist dadurch definiert, dass derhomogene RaumG/Hprojektivund so «klein»wie möglich ist. Beispiel: G =allgemeine lineare GruppeGL(n), H = Raum deroberen Dreiecks-Matrizen,wobei H eine maximalauflösbare Untergruppeist und die «parabolischen Gruppen» P zwischen H und G die Fahnenmannigfaltigkeiten(flag manifolds)bilden. Von ihm stammt auch derDichtheitssatz von Borel.

Gleichzeitig bewiesen Hirzebruch und Borel in ihrer Arbeit von 1958, dass einorientierbaresFaserbündel genau dann eineSpin-Strukturauf einer Mannigfaltigkeit definiert, wenn die zweiteStiefel-Whitney-Klassedes Bündels verschwindet.

Auf dem Gebiet der Gruppentheorie und ihrer Anwendung in der Zahlentheorie (z. B. im Sinne desLanglands-Programms) arbeitete er auch mitJean-Pierre Serrezusammen. Mit diesem verfasste er auch einen Aufsatz, in demGrothendiecks VerallgemeinerungdesRiemann-Roch Theoremserstmals publiziert wurde.

In einer 1974 veröffentlichten Arbeit berechnete er diealgebraische K-Theorie von Zahlkörpernund ihrenGanzheitsringen(bis aufTorsion). Nach ihm benannt ist derBorel-Regulatorin der K-Theorie von Zahlkörpern.

Borel-Moore-Homologieist eine Homologietheorie fürlokalkompakte Räume,in der jede (nicht notwendig kompakte) orientierbareMannigfaltigkeiteineFundamentalklassebesitzt.

Gelegentlich wird auchäquivariante Homologieals Borel-Homologie bezeichnet.

DieBaily-Borel-Kompaktifizierungin der Theorie der algebraischen Geometrie ist nach ihm undWalter Bailybenannt. Sie macht in Bezug auf spezielle arithmetische Gruppen symmetrische Quotientenräume kompakt (abgeschlossen, vervollständigt) und mit Modulformen darstellbar.

Nach Borel sind verschiedene Vermutungen benannt, zum Beispiel dieBorel-Vermutungin der Topologie. Sie entstand aus einer Frage, die er 1953 Serre stellte, und besagt, dass geschlossene Mannigfaltigkeiten, deren höhereHomotopiegruppenverschwinden (asphärischeMannigfaltigkeiten) und derenFundamentalgruppenisomorph sind,homöomorphseien. Die Vermutung ist offen. Eine weitere Borel-Vermutung betrifft die Berechnung der komplexen Kohomologie arithmetischer Gruppen, die nach der Vermutung durch spezielleautomorphe Funktionengegeben ist. Sie wurde durchJens Frankebewiesen.

Ehrungen und Mitgliedschaften

1992 erhielt er denBalzan-Preis.1991 erhielt er denLeroy P. Steele PrizederAmerican Mathematical Society.1962 hielt er einen Plenarvortrag auf demInternationalen MathematikerkongressinStockholm(Arithmetic Properties of Linear Algebraic Groups),und 1974 war erInvited Speakerauf dem ICM inVancouver(Cohomology of arithmetic groups).1978 erhielt er dieBrouwer-Medaille.Er war Mitglied derAmerican Academy of Arts and Sciences(seit 1977), derAcadémie des sciences(seit 1981), derAmerican Philosophical Society(seit 1985) und derNational Academy of Sciences(seit 1987).

Sonstiges

Borel war sehr an Musik interessiert und organisierte u. a. Konzerte mit indischer und Jazz-Musik.

Schriften

Bücher

• Œuvres (Collected Papers),4 Bände, Springer 1983 bis 2001
• Topics in the homology theory of fibre bundles,Springer, Lecture notes in mathematics, 1967 (Chicago Lectures von 1954)
• Linear algebraic groups,New York, Benjamin 1969, Springer 1991
• Automorphic forms on SL 2(R),Cambridge University Press 1997
• Semisimple groups and Riemannian symmetric spaces,Hindustan Book Agency, Delhi 1998
• Herausgeber (mitBill Casselman) und Mitautor:Automorphic forms, representations and L-functions.2 Bde., AMS symposium in pure mathematics 1979, online hier:Automorphic Forms, Representations, and L-Functions / pspum31und hier:Automorphic Forms, Representations, and L-Functions / pspum33.2
• Herausgeber (mitGeorge Mostow) und Mitautor:Algebraic groups and discontinuous subgroups.AMS 1966 (Symposium in Pure Mathematics, Boulder/Colorado 1965), online hier:Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups / pspum9
• Herausgeber und Mitautor:Seminar on complex multiplication(Institute of Advanced Study 1957/8), Springer 1966
• Représentations de groupes localement compacts,Springer, Lecture notes in mathematics 276, 1972
• Introduction aux groupes arithmétiques,Hermann, Paris 1969
• Herausgeber mitNolan Wallachund Mitautor:Continuous cohomology, discrete subgroups and representations of reductive groups.Princeton 1980, 2. Aufl. AMS 2000 (Seminar in Princeton 1976/77)
• Intersection cohomology,Birkhäuser, Basel 1984
• Algebraic D-modules,Academic Press 1987
• Essays on the history of Lie groups and algebraic groups,American Mathematical Society, 2001
• mitRobert Friedman,John W. Morgan:Almost commuting elements in compact Lie groups,American Mathematical Society, 2002
• mit Lizhen Ji:Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces.Birkhäuser, Basel 2006

Einige Aufsätze von Borel

• Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts.In:Annals of Mathematics.Band 57, 1953, S. 115–207 (Dissertation).
• mitFriedrich Hirzebruch:Characteristic classes and homogeneous spaces.In:American Journal of Mathematics.Band 80, 1958, S. 458–538.
• mitJean-Pierre Serre:La théorème de Riemann-Roch.In:Bulletin de la Société Mathématique de France.1958.
• mitWalter Baily:Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains.In:Annals of Mathematics.Band 84, 1966, S. 442–528.
• Groupes linéaires algébriques.In:Annals of Mathematics.Band 64, 1956, S. 20–82.
• On the development of Lie group theory.In:Mathematical Intelligencer.Band 2, 1980, S. 67–72.
• 25 years with Bourbaki 1949–1973.In:Notices AMS.1998, Heft 3, S. 373–380.
• Hermann Weyl and Lie groups.In:K. Chandrasekharan:Weyl centennary symposium.Springer 1985

Literatur

• André Haefliger:Nachruf in:Gazette des mathématiciens.Nr. 102, 2004, S. 7–14 (undEuropean Mathematical Society Newsletter,September 2005).
• Asian Journal of Mathematics.2004, Nr. 4 (Erinnerungen vonNolan Russell Wallach,Bill Casselmanu. a.).
• Tonny Albert Springer,Jacques Tits,Friedrich Hirzebruch,Jean-Pierre Serre,Enrico Bombieriu. a.:Armand Borel (1923–2003).In:Notices of the AMS.Mai 2004.

Weblinks

Commons:Armand Borel– Sammlung von Bildern

• Publikationen von und über Armand Borelim Katalog Helveticat derSchweizerischen Nationalbibliothek
• Literatur von und über Armand Borelim Katalog derDeutschen Nationalbibliothek
• Werke von und über Armand Borelin derDeutschen Digitalen Bibliothek
• Armand Borel– Nachruf vom Institute for Advanced Study in Princeton(Mementovom 21. Mai 2015 imInternet Archive)
• Laudatio von Friedrich Hirzebruch anlässlich der Euler-Vorlesung Potsdam 1995(Mementovom 6. April 2015 imInternet Archive)
• John J. O’Connor,Edmund F. Robertson:Armand Borel.In:MacTutor History of Mathematics archive(englisch).
• Nachruf (mit Fotoalbum)(Mementovom 14. März 2006 imInternet Archive) in der Sonderausgabe desAsian Journal of Mathematicszu Ehren Armand Borels 2004 (PDF; 3,7 MB)
• Inhaltsverzeichnisder Sonderausgabe desAsian Journal of Mathematicszu Ehren Armand Borels, 2004
• Autoren-Profilin der DatenbankzbMATH
• Einige Arbeiten (z. B. «Groupes réductifs» mitJacques Tits,Beiträge Cartan Seminar) sind onlinehier.
• Liste seines bei der Universität Genf verwalteten Nachlasses(Mementovom 17. März 2017 imInternet Archive). Fonds Armand Borel (PDF; 2,2 MB)