Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (grün) und Höhenschnittpunkt (rot) liegen auf einer Geraden

In derGeometrieversteht man unter denausgezeichneten Punkten(auch:merkwürdigen PunktenoderZentren) einesDreiecksin erster Linie die folgenden vierPunkte:

• denHöhenschnittpunktH(Schnittpunkt derHöhen),
• denUmkreismittelpunktU(Schnittpunkt derMittelsenkrechten (Seitensymmetralen)),
• denSchwerpunktS(Schnittpunkt derSeitenhalbierenden (Schwerlinien)) und
• denInkreismittelpunktI(Schnittpunkt derWinkelhalbierenden (Winkelsymmetralen)).

Die drei erstgenannten Schnittpunkte (H, U und S) liegen immer auf einerGeraden,dereulerschen Geraden.Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischenHundU,liegt auch der Mittelpunkt desFeuerbachkreises.

Weitere Punkte nach derEncyclopedia of Triangle Centers

→Hauptartikel:Encyclopedia of Triangle Centers

Dreieck mit den „klassischen “ausgezeichneten Punkten und der eulerschen Geraden

Neben den vier „klassischen “ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht.Clark KimberlingsEncyclopedia of Triangle Centers(siehe Weblink) führt mehr als 65.000 (Stand 27. August 2024) besondere Punkte und ihre bislang bekannten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Inkreismittelpunkt	$X_{1}$
Schwerpunkt	$X_{2}$
Umkreismittelpunkt	$X_{3}$
Höhenschnittpunkt(Orthozentrum)	$X_{4}$
Mittelpunkt desFeuerbach-Kreises	$X_{5}$
Lemoine-Punkt(Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt)	$X_{6}$
Gergonne-Punkt	$X_{7}$
Nagel-Punkt	$X_{8}$
Mittenpunkt	$X_{9}$
Spieker-Punkt(Spieker-Zentrum)	$X_{10}$
Feuerbachpunkt(Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis)	$X_{11}$
1. Fermat-Punkt(u. a. kürzester Abstand zu allen Eckpunkten)	$X_{13}$
2. Fermat-Punkt	$X_{14}$
1. isodynamischer Punkt	$X_{15}$
2. isodynamischer Punkt	$X_{16}$
1. Napoleon-Punkt	$X_{17}$
2. Napoleon-Punkt	$X_{18}$
Clawson-Punkt	$X_{19}$
Longchamps-Punkt	$X_{20}$
Schiffler-Punkt	$X_{21}$
Exeter-Punkt	$X_{22}$
Bevan-Punkt	$X_{40}$
Kosnita-Punkt	$X_{54}$
Steiner-Punkt	$X_{99}$
Isoperimetrischer Punkt	$X_{175}$
Punkt des gleichen Umwegs	$X_{176}$
1. Vecten-Punkt	$X_{485}$
2. Vecten-Punkt	$X_{486}$

Verwandte Themen

Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedeneTupelvon Punkten zuordnen:

• Morley-Dreieck
• Napoleon-Dreieck
• Höhenfußpunktdreieck
• Brocard-Punkte
• Johnson-Dreieck
• Kiepert-Dreieck

Spezielle Kreise sind:

• Umkreis, Inkreis, Ankreise
• Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis)
• Lamoen-Kreis
• Taylor-Kreis
• Johnson-Kreise

Weitere spezielle Kegelschnitte sind:

• Kiepert-Hyperbel
• Steiner-Ellipse
• Steiner-Inellipse

Literatur

• Ilka Agricola,Thomas Friedrich:Elementargeometrie.2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009,ISBN 978-3-8348-0576-8.
• Max Koecher,Aloys Krieg:Ebene Geometrie.3. Auflage. Springer, Berlin 2007,ISBN 978-3-540-49327-3.

Weblinks

• Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centersfaculty.evansville.edu
• Florian Modler:Merkwürdige Punkte und Linien am Dreieck.In:matheplanet.com.
• Arndt Brünner:Interaktive Darstellungaller oben genannten Punkten und Objekten am Dreieck, arndt-bruenner.de