Bolzanofunktion

Bernard Bolzano

DieBolzanofunktionist historisch die erste Konstruktion einer Funktion, die zwarstetig,aber nirgendsdifferenzierbarist. Sie ist nach ihrem EntdeckerBernard Bolzanobenannt, sie wurde von ihm um 1830 gefunden und in seinem ManuskriptFunctionenlehrepräsentiert (das aber erst 1930 veröffentlicht wurde).

Bekannt wurde die Möglichkeit der Existenz stetiger, aber nirgends differenzierbarer Funktionen durchKarl Weierstraß(Vortrag vor der Berliner Akademie 1872), was damals auf viele schockierend wirkte.Weierstraß’ Beispielfunktionwurde durchPaul Du Bois-Reymond1875 veröffentlicht. AuchBernhard Riemannpräsentierte eine solche 1861 in seinen Vorlesungen, und seitdem wurden viele weitere konstruiert.

Definition

Die Bolzanofunktion ist als der Grenzwert einerFunktionenfolgedefiniert. Ferner kann manDefinitionsbereichundBildmengeals beliebige abgeschlossene Intervalle reeller Zahlen auswählen.

Sei also$[a,b]$der gewünschte Definitionsbereich und$[A,B]$die gewünschte Bildmenge.

Transformation eines linearen Stückes von$B_{k-1}$(gestrichelt) zu einem Bestandteil von$B_{k}$(durchgezogen)

$B_{1}$wird alslineare Funktionmit den Eckpunkten$B_{1}(a)=A$,$B_{1}(b)=B$definiert:

$B_{1}(x):=A+{\frac {B-A}{b-a}}(x-a)$

$B_{2}$wird als stückweise lineare Funktion auf vier Intervallen definiert, mit den folgenden fünf Eckpunkten:

1. $B_{2}(a)=A$
2. $B_{2}\left(a+{\frac {3}{8}}(b-a)\right)=A+{\frac {5}{8}}(B-A)$
3. $B_{2}\left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)=A+{\frac {1}{2}}(B-A)$
4. $B_{2}\left(a+{\frac {7}{8}}(b-a)\right)=B+{\frac {1}{8}}(B-A)$
5. $B_{2}(b)=B$

$B_{3}$wird als lineare Funktion definiert, indem man jedes lineare Stück von$B_{2}$so transformiert, wie man$B_{1}$zu$B_{2}$transformiert hat, indem man neue Werte für$a$,$b$,$A$und$B$einsetzt, sodass$(a,A)$und$(b,B)$den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

$B_{k}$definiert man für ein beliebiges$k\in \mathbb {N},k\geq 2$,indem man jedes lineare Stück von$B_{k-1}$so transformiert, wie man$B_{1}$zu$B_{2}$transformiert hat, indem man neue Werte für$a$,$b$,$A$und$B$einsetzt, sodass$(a,A)$und$(b,B)$den Eckpunkten des linearen Stückes entsprechen.

Die Bolzanofunktion$B$ist derpunktweise Grenzwertdieser Funktionenfolge:$B(x)=\lim _{k\to \infty }B_{k}(x)$.

Quellen

• Bernard Bolzano:Functionenlehre.Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Karel Rychlik. In: Bernard Bolzanos Schriften, herausgegeben von der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 1, Prag 1930.
• Johan Thim:Continuous Nowhere Differentiable Functions.(pdf; 650 kB) Masterarbeit, Luleå University of Technology. Oktober 2003,S. 11–17,abgerufen am 16. September 2013(englisch).