Charakteristik (Algebra)

DieCharakteristikist in derAlgebraeine Kennzahl einesRingesoderKörpers.Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische BegriffCharakter.

Definition

Die Charakteristik einesunitären Ringes$R$ist die kleinste natürliche Zahl$n\geq 1$,für die in der Arithmetik des Ringes die$n$-fache Summe des Einselementes$1$gleich dem Nullelement wird, also

$\underbrace {1+1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}=0$,

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als$0$definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von$R$ist$\operatorname {char} (R)$.

Alternative Definitionsmöglichkeiten, die keine Sonderbehandlung für das Ergebnis$0$benötigen, sind:

• Die Charakteristik des unitären Rings$R$ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus

$\chi \colon \mathbb {Z} \to R\colon \chi (n):=n\cdot 1_{R}$.

• Die Charakteristik des unitären Rings$R$ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl$n$,für die$R$einen unitären Teilring enthält, derisomorphzumRestklassenring$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ist. (Beachte, dass$\mathbb {Z} /0\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ist.)

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring$S$eines unitären Rings$R$hat dieselbe Charakteristik wie$R$.

Gibt es einen Ringhomomorphismus$R\to S$zwischen zwei unitären Ringen$R$und$S$,so ist die Charakteristik von$S$ein Teiler der Charakteristik von$R$.

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jedenKörper) ist die Charakteristik entweder 0 oder einePrimzahl(zum Beweis siehe ArtikelIntegritätsring). Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist$R$ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik$p$,dann gilt$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$für alle$x,y\in R$.Die Abbildung$f\colon R\to R,\;x\mapsto x^{p}$ist dann ein Ringhomomorphismus und wirdFrobeniushomomorphismusgenannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ringgemischter Charakteristikgenannt, wenn es ein Ideal$I$des Rings gibt, so dass$R/I$positive Charakteristik hat.Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen$\mathbb {Z}$mit Charakteristik Null, bei dem$\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$für jede Primzahl$p$ein endlicher Körper mit Charakteristik$p$ist.

Beispiel

Der Restklassenring$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$hat die Charakteristik$n$.

Bei Körpern

Jedergeordnete Körperhat die Charakteristik 0; Beispiele sind dierationalen Zahlenoder diereellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einenPrimkörper,der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele

• Da der Körper derkomplexen Zahlendie rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

• Für ein irreduzibles Polynom$g$vom Grad$n$über demRestklassenkörper$\mathbb {F} _{p}$ist derFaktorring$\mathbb {F} _{p}[X]/(g)$ein Körper (der isomorph ist zumendlichen Körper$\mathbb {F} _{p^{n}}$), der$\mathbb {F} _{p}$enthält und demnach die Charakteristik$p$hat.

• DieMächtigkeiteines endlichen Körpers der Charakteristik$p$ist eine Potenz von$p$.Denn er enthält den Teilkörper$\mathbb {F} _{p}$und ist ein endlichdimensionalerVektorraumüber diesem Teilkörper. Aus derlinearen Algebraist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von$p$ist.

• Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper derrationalen Funktionenüber$\mathbb {F} _{p}$oder deralgebraische Abschlussvon$\mathbb {F} _{p}$.

Literatur

• Siegfried Bosch:Algebra.7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009,ISBN 978-3-540-92811-9,Abschnitt 3.1 (eingeschränkte Vorschauin der Google-Buchsuche).