Cobb-Douglas-Funktion

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Cobb-Douglas-Funktion der Form.Zu sehen ist die produzierte Menge in Abhängigkeit vom Kapital- und Arbeitseinsatz

In derVolkswirtschaftslehre(dort insbesondere in derMikroökonomik) undÖkonometriebezeichnet man alsCobb-Douglas-Funktioneine Klasse von Funktionen, die häufig zur Formulierung vonNutzen-undProduktionsfunktionenverwendet wird. Falls die betrachtete Cobb-Douglas-Funktion spezifische Anforderungen erfüllt, handelt es sich allgemeiner um eineneoklassische Produktionsfunktion.

Geschichtlicher Hintergrund

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Die Cobb-Douglas-Funktion basiert auf Erkenntnissen, dieJohann Heinrich von Thünenbereits in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Landwirtschaft sammelte. Mit seiner Pro-Kopf-Kapitalertragsfunktion

mitals Niveauparameter,undals Ertrag bzw. Kapitaleinsatz je Arbeiter undalsSubstitutionselastizitätdes Kapitals hat er die erste indirekt formulierte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion entwickelt.

In der Geschichte der Cobb-Douglas-Funktion werden oft zwei frühe Arbeiten zitiert:Coordination of the Laws of Distribution(1894) vonPhilip WicksteedundLectures(1901) vonKnut Wicksell(oderEkonomisk Tidskrift,1900). Trotz dieser Veröffentlichungen lässt sich zeigen, dass Wicksell seinen funktionalen Zusammenhang schon 1895 implizit und ab 1900 explizit benutzte.[1][2]

Es gelang somit dem schwedischen ÖkonomenKnut Wicksell(1851–1926), die Zusammenhänge zwischen Produktionsfaktoren und Gesamtproduktion bei einer vorhandenen Substitutionselastizität als Produktionsfunktion in der heute bekannten Form zu formulieren.

Paul Howard Douglas

DerUS-amerikanischeÖkonomPaul Howard Douglasbegann 1927 mit einer ersten Formulierung der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Douglas befasste sich am Beispiel des produzierenden Gewerbes in den USA zwischen 1899 und 1922 empirisch mit der Frage, welcher Zusammenhang zwischen der dortigen Produktionund dem Kapitalstocksowie der Anzahl der beschäftigten Arbeiterbesteht. Auf der Suche nach einer funktionalen Beschreibung dieses Zusammenhangs – einer so genannten Produktionsfunktion – besprach er sich mit einem Kollegen, dem MathematikerCharles Wiggins Cobb,der ihm die zuvor bereits von Wicksell und Wicksteed benutzte Funktion

vorschlug.[3]

1928[4]schätzten sie mittels derMethode der kleinsten Quadratefür– die so genannteProduktionselastizitätder Arbeit – einen Wert von;das Ergebnis konnte später auch vomNational Bureau of Economic Researchmit einem Wert vonapproximativ repliziert werden.[3]

AlsCobb-Douglas-Funktionbezeichnet man allgemein eineFunktion,gegeben durch:

mit;undfür alle.[5][6]

Der Niveauparameterbewirkt, je nach Größe, eine Skalierung der Funktion nach oben oder unten. Somit kann der Niveauparameter als eine Art Effizienzparameter der Firma oder Volkswirtschaft betrachtet werden. Regelmäßig wird in der Literatur auf den Niveauparameter verzichtet oder dieser gleich Eins gesetzt, da er bei entsprechender Skalierung der anderen Faktoren obsolet wird.[7]

Eine weitere Einschränkung sieht vor, dass sich die Exponenten gerade zu eins aufsummieren, dass also mithin

.

Diese Annahme gewährleistet konstanteSkalenerträge.[8]BeiProduktionsfunktionenbedeuten konstante Skalenerträge, dass ein vermehrter/verminderter Einsatz der Produktionsfaktoren zu einer im gleichen Verhältnis erhöhten/verminderten Produktion führt. Eine Verdopplung aller Faktoreinsätze der Produktionsfaktoren führt somit zu einer Verdopplung des Gesamtproduktions. Bei ordinalenNutzenfunktionenist die Annahme konstanter Skalenerträge gleichbedeutend mitHomothetie;sie induziert lineareEngelkurven.

Unterschiedliche Verwendungszwecke
Produzierte Menge in Abhängigkeit vom Kapital- und Arbeitseinsatz

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit(statt), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Diestehen dann für die Menge des eingesetzten Produktionsfaktors,wobei esProduktionsfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion(bisweilen vereinfacht zumit), wobeifür den Kapital- undfür den Arbeitseinsatz steht.

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel;von englisch utility für Nutzen) bezeichnetdie Menge des konsumierten Gutes.Für den Zwei-Güter-Fall verwendet man zumeist die Form;wegen der monotonen Transformierbarkeit von ordinalen Nutzenfunktionen wäre der Faktorohnehin obsolet. Die Exponenten ergeben auch hier eins, um die Eigenschaft der konstanten Skalenerträge zu bewahren (die wie oben beschrieben auch durch die Transformierbarkeit der Nutzenfunktion gerechtfertigt ist).

Elastizitätsinterpretation

Die zentrale Eigenschaft von Funktionen des Cobb-Douglas-Typs ist, dass die Exponenten einer unmittelbaren Interpretation zugänglich sind, handelt es sich doch beigerade um dieElastizitätvonbezüglich.Betrachtet man zum Beispiel die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, so handelt es sich beium die so genannteProduktionselastizitätdes Produktionsfaktors– sie gibt approximativ an, um wie viel Prozent der Gesamtproduktionsteigt, wenn die eingesetzte Menge des Faktorsum ein Prozent erhöht wird. Es sei beispielsweise für eine Volkswirtschaft folgende Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

mit

maßgebend. Zu jedem Zeitpunkt () wird in der Volkswirtschaft unter dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit () und Kapital () mithilfe eines gegebenen Technologielevels () die Gesamtproduktion (Y) produziert. Dann bezeichnet vorliegend

die Produktionselastizität des Kapitals, die bei dieser Produktionsfunktion dem Exponentenentspricht, der wiederum die Kapitaleinkommensquote repräsentiert. Folglich steigt der Gesamtproduktion bei einer (infinitesimal) kleinen Erhöhung des Kapitals, um die Kapitaleinkommensquote.

Analog gilt für die Produktionselastizität der Arbeit

dass sie dem Exponenten () entspricht, der wiederum die Lohneinkommensquote repräsentiert. Diese Resultate finden vor allem in derWachstumstheorieAnwendung.

Substitutionselastizität

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion beträgt dieSubstitutionselastizität– das heißt das Verhältnis der relativen Änderung des Verhältnisses des Faktoreinsatzes zur relativen Änderung derGrenzrate der Substitution– stets eins. Für die o. g. Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gilt also für die Substitutionselastizität

Korrespondierende Nachfragefunktionen

Nachfragefunktionen, die aus einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gewonnen werden, haben die Eigenschaft, dass die Haushalte für die Güterimmer einen konstanten Anteilvon ihrem Einkommen ausgeben. Diese Anwendung stellt ein Beispiel dafür dar, weshalb die im überstehenden Abschnitt angesprochene Eigenschaftoftmals den Umgang mit der Funktion erleichtert; dann nämlich lässt sich der Exponent direkt als der gesuchte konstante Anteil interpretieren.

Skalenerträge und Skalenelastizität

DieSkalenerträgesind fürkonstant (das heißt für den Fall einer Produktionsfunktion beispielsweise, dass sich der Gesamtproduktion verdoppelt, wenn man die Einsatzmengen der Produktionsfaktoren verdoppelt), fürabnehmend (eine Verdoppelung der Einsatzmenge der Produktionsfaktoren führt zu weniger als einer Verdoppelung des Gesamtproduktions) und fürzunehmend (eine Verdoppelung der Einsatzmenge der Produktionsfaktoren führt zu mehr als einer Verdoppelung des Gesamtproduktions).

Die Skalenelastizität – also die approximative Änderung der Produktion in Prozent infolge einer einprozentigen Erhöhung aller Produktionsfaktoren – entspricht der Summe der Exponenten,.

Homogenität und (Quasi-)Konkavität

Allgemein gilt darüber hinaus, dass die Cobb-Douglas-Funktion im definierten Sinnehomogenvom Gradeist. Weiter ist siequasikonkavfür alle;konkav,wennund sogar strikt konkav, falls.[9]

Strikte Essentialität

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion weist weiterhin die Eigenschaft der strikten Essentialität auf d. h., dass die Ausbringungsmenge 0 beträgt, wenn von einem Produktionsfaktor nichts eingesetzt wird.[10]Diese Eigenschaft impliziert, dass die Funktion stets durch den Ursprung verläuft. Formal,

.

Beispielsweise kann eine Volkswirtschaft, dessen Produktion sich mit einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit den Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital modellieren lässt, keinerlei Gesamtproduktion generieren, wenn einer der Faktoren nicht eingesetzt wird.

Linear-homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

In der Abbildung ist eine linear homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion als „Produktionsgebirge “dargestellt. Die Fläche des Gebirges setzt sich aus Geraden zusammen, die vom Ursprungausgehen. Hält man einen Produktionsfaktor konstant und erhöht den anderen Produktionsfaktor (ceteris-paribus-Analyse), dann erhöht sich auch der Gesamtproduktion, aber in immer geringerem Maße, die partielle Grenzproduktivität eines Faktors nimmt mit steigender Einsatzmenge dieses Faktors ab. Die partielle Grenzproduktivität ist die Steigung des Produktionsgebirges, wenn man sich auf ihm senkrecht zur Achse des konstant gehaltenen Produktionsfaktors bewegt.

Bewegt sich die Volkswirtschaft entlang einer „Höhenlinie “, dann wird der Einsatz eines Produktionsfaktors durch den des anderensubstituiert.Es gilt das Gesetz von der abnehmendenGrenzrate der technischen Substitution.

Folgende dreidimensionale Darstellung zeigt eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion der Form.Die Höhenlinien, die in Form vonIndifferenzkurvenvorliegen, können durch einen waagerechten Schnitt durch das Nutzengebirge und anschließender Projektion auf-Ebene dargestellt werden.

„Projektion “der Höhenlinien in die-Ebene (Animation)

Geltungsbereich der Produktionsfunktion

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Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion eignet sich vor allem zur Modellierung größerer wirtschaftlicher Systeme (von größeren Unternehmen bis hin zu ganzen Volkswirtschaften). Empirische Studien über die deutsche Chemieindustrie zwischen 1960 und 1975 ergaben beispielsweise folgende Schätzung:[11]

  • Beiersdorf AG:
  • BASF:

Dabei ist derRegressionskoeffizientdurch einen Parameter ersetzt worden, der im Zeitablaufsteigt und den technischen Fortschritt anzeigt.

Aus Sicht derBetriebswirtschaftslehreist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion zu starkaggregiert.Bei sehr großen Betrieben kann man zwar näherungsweise davon ausgehen, dass die Faktoren Arbeit und Kapital beliebig teilbar sind, für die meisten Unternehmen ist dies jedoch nicht der Fall. Beliebige Teilbarkeit ist jedoch eine implizite Annahme der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion die dazu führt, dass sie differenzierbar ist. Daher wurde in der Betriebswirtschaftslehre dieGutenberg-Produktionsfunktionentwickelt, die der betrieblichen Praxis näher kommt.

Ökonometrisches Modell

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Die Cobb-Douglas-Funktion lässt sich durch einige Transformationen einfach alsökonometrischesModell darstellen.[12]Man gehe von folgender Cobb-Douglas-Funktion aus:

mit

Als ersten Schritt berechnet man für die bessere Handhabung die Pro-Kopf-Version der Funktion:

Um ein lineares Modell zu gewinnen, erfolgt eine Linearisierung der Funktion durch Logarithmieren:

Somit erhält man schließlich das ökonometrische Modell:

wobei

Die unbekannten Parameter dieses Modells können mithilfe derlinearen Einfachregressiongeschätzt werden. Durch die Logarithmierung ergibt sich, dass der Fehlerterm einerlogarithmischen Normalverteilungfolgt (). Verallgemeinert kann ein ökonometrische Modell mit den Produktionsfaktoren I und dem Gesamtproduktionfaktor Y wie folgt dargestellt werden:

.
  • Charles W. Cobb undPaul H. Douglas:A Theory of Production.In:The American Economic Review.18, Nr. 1 (Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association), 1928, S. 139–165 (JSTOR:1811556).
  • Paul H. Douglas:The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values.In:Journal of Political Economy.84, Nr. 5, 1976, S. 903–916. [Übersichtsdarstellung zur Geschichte und unterschiedlichen Funktionsspezifikationen in der Literatur.]
  • Alfred Endres und Jörn Martiensen:Mikroökonomik.Eine integrierte Darstellung traditioneller und moderner Konzepte in Theorie und Praxis. Kohlhammer, Stuttgart 2007,ISBN 978-3-17-019778-7.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny:Advanced Microeconomic Theory.3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011,ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Knut Sydsæter u. a.:Further mathematics for economic analysis.2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008,ISBN 978-0-273-71328-9.
  • Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck:Economists’ mathematical manual.4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005,ISBN 978-3-540-26088-2(auch als E-Book:doi:10.1007/3-540-28518-0).
  • Johann Heinrich von Thünen:Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie.3. Aufl. Hrsg. von H. Schumacher-Zarchlin. Zweiter Theil. II. Abtheilung. Berlin 1875.
  • Hal Varian:Intermediate Microeconomics.A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010,ISBN 978-0-393-93424-3.
  • Hal Varian:Microeconomic Analysis.W. W. Norton, New York und London 1992,ISBN 0-393-95735-7.
  • Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott:Grundlagen der Mikroökonomik.Springer, Heidelberg u. a. 2007,ISBN 978-3-540-73868-8.
  1. Bo Sandlein in: John Cunningham Wood:Kurt Wicksell: Critical Assessments.S. 176.
  2. Bo Sandlein:The early use of the Wicksell-Cobb-Douglas Function: A Comment on Weber.In:Journal und the History of Economic Thought.Band 21, Nummer 2, 1999. S. 191.
  3. abVgl. Peter H. Douglas:The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values.In:Journal of Political Economy.84, Nr. 5, 1976, S. 903–916 (JSTOR:1830435), hier S. 904; siehe auchWicksell-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion– Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
  4. Charles W. Cobb und Paul H. Douglas:A Theory of Production.In:The American Economic Review.18, Nr. 1 (Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association), 1928, S. 139–165 (JSTOR:1811556).
  5. Die hiesige Definition folgt unter anderem Sydsæter u. a. 2008, S. 72; Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 121; Endres/Martiensen 2007, S. 227.
  6. Isidro Soloaga:The Treatment of Non-essential Inputs in a Cobb-douglas Technology,S. 2
  7. So beispielsweise Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
  8. nur Varian 1992, S. 4; Jehle/Reny 2011, S. 68.
  9. Sydsæter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
  10. Isidro Soloaga:The Treatment of Non-essential Inputs in a Cobb-douglas Technology,S. 2
  11. Steven:ProduktionstheorieS. 60–62
  12. Marno Verbeek:A Guide to Modern Econometrics,S. 94