Dirichlet-Bedingung

DieDirichlet-Bedingung,auchSatz von Dirichletgenannt, ist nachPeter Gustav Lejeune Dirichletbenannt und gibt an, wann dieFourierreihepunktweisegegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei$f$eine im Intervall$[-T/2,T/2]$definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall$[-T/2,T/2]$lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen$f$stetig und monoton ist.
2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von1. Art,das heißt, es existieren rechts- und linksseitigerGrenzwert,$f(t_{0}+)$und$f({t_{0}}-)$.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem$t\in [-T/2,T/2]$gegen

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))={\begin{cases}f(t),&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t stetig}}\\(f(t+)+f(t-))/2,&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t unstetig}}\end{cases}}$.

Quellen

• Konrad Königsberger:Analysis 2.Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000,ISBN 3-540-43580-8.