Duale Paarung

Dieduale Paarungist in derMathematikeineAbbildung,die einemVektorund einem linearenFunktionaleineZahlzuweist. Sie stellt eine Verallgemeinerung desSkalarproduktesdar.

Das Ziel ist es, mathematische Begriffe, die von einem Skalarprodukt herrühren (wie etwa die Frage, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind), in Räumen zu verwenden, in denen man kein Skalarprodukt definieren (und daher auch keineWinkelmessen) kann. Der Nachteil, der sich dabei ergibt, liegt darin, dass die beiden Vektoren, deren Skalarprodukt man berechnet (um beispielsweise ihren Winkel zu erhalten), aus unterschiedlichen Vektorräumen stammen.

In derPhysiktauchen Ansätze der dualen Paarung beispielsweise imBra-Ket-Formalismus auf.

Definition

Es seien$X$ein$K$-Vektorraumund$X^{\prime }$der zugehörigeDualraum.Die Abbildung

$\langle \cdot,\cdot \rangle:X\times X^{\prime }\rightarrow K,\quad (x,l)\mapsto \langle x,l\rangle:=l(x)$

wird duale Paarung genannt.

Wenn der betrachtete Vektorraum einetopologischeStruktur besitzt, so meint man mit$X^{\prime }$in der Regel den topologischen Dualraum, das heißt den Raum der stetigen linearen Funktionale.

Eigenschaften

Die duale Paarung auf normierten Räumen

Ist$X$einnormierter Raum,so gilt

$(\forall x\in X:\langle x,l\rangle =0)\Rightarrow l=0$

$(\forall l\in X^{\prime }:\langle x,l\rangle =0)\Rightarrow x=0$,

wobei die zweite Aussage ein Korollar aus demSatz von Hahn-Banachfür normierte Räume ist. In diesem Fall ist die duale Paarung eine nicht entartetebilineare Abbildung.

In normierten Räumen gilt eine Ungleichung, die eine Verallgemeinerung derCauchy-Schwarzschen Ungleichungdarstellt. Sind$x\in X,l\in X^{\prime }$und$\|l\|_{Op}$dieOperatornormvon$l$,dann ist

${\Big |}{\Big \langle }{\frac {x}{\|x\|}},l{\Big \rangle }{\Big |}={\Big |}l{\Big (}{\frac {x}{\|x\|}}{\Big )}{\Big |}\leq \|l\|_{Op}$

und daher

$|\langle x,l\rangle |\leq \|x\|\cdot \|l\|_{Op}.$

Die duale Paarung auf Hilberträumen

Ist$X$einHilbertraum,so ist wegen desDarstellungssatzes von Fréchet-Riesz$X\cong X^{\prime }$.Ist$X$zudem ein reeller Vektorraum, dann ist die duale Paarung in diesem Fall identisch mit dem Skalarprodukt des Hilbertraums. Für komplexe Hilberträume ist zu beachten, dass die duale Paarung bilinear ist, im Gegensatz zum Skalarprodukt, das lediglichsesquilinearist.

Um Verwechslung mit einem (womöglich sesquilinearen) Skalarprodukt zu vermeiden, wird in der Literatur manchmal die Schreibweise$\langle \cdot,\cdot \rangle$für die duale Paarung reserviert, und für das Skalarprodukt dafür$(\cdot,\cdot )$verwendet. Man erhält dann die Beziehung

$\langle x,y\rangle =(x,{\overline {y}}).$

Die Notation der dualen Paarung ist verträglich mit gewissen Rechenregeln, die man füradjungierte Operatorenauf Hilberträumen kennt. Ist$X$ein Hilbertraum, $T\colon X\rightarrow X$einlinearer Operatorund$T^{*}\colon X\rightarrow X$der adjungierte Operator, so ist

$(Tx,y)=(x,T^{*}y)$

für alle$x$im Definitionsbereich von$T$und alle$y$im Definitionsbereich von$T^{*}$.Ist nun$X$kein Hilbertraum mehr, so erhält man (da in diesem Fall kein Analogon zum Riesz-Isomorphismus existiert) als Adjungierte zu$T$einen Operator auf den Dualräumen$T^{\prime }\colon X^{\prime }\rightarrow X^{\prime }$und es gilt

$\langle Tx,y\rangle =y(Tx)=(T^{\prime }y)(x)=\langle x,T^{\prime }y\rangle$

für alle$x$im Definitionsbereich von$T$und alle$y$imDefinitionsbereichvon$T^{\prime }$.

Gelfand-Tripel

→Hauptartikel:Gelfand-Tripel

Definition

Ein Nebeneinander von dualer Paarung und Skalarprodukten erhält man beispielsweise in folgender Situation. Betrachte einen Hilbertraum$H$und einenTeilraum$N$,wobei$N$mit einer Topologie versehen ist, die feiner als die induzierteTeilraumtopologieist, sodass die Inklusionsabbildung$i\colon N\rightarrow H$stetig ist.

Wieder kann man aufgrund des Riesz-Isomorphismus$H$mit seinem topologischen Dualraum identifizieren. Zur Inklusionsabbildung gibt es auch eine duale Abbildung

$i^{\prime }:H^{\prime }\rightarrow N^{\prime }.$

Oft fordert man, dass$N$ein dichter Teilraum von$H$ist, da dann die Abbildung$i^{\prime }$injektiv ist und zu einerEinbettungwird. Man schreibt daher die Inklusionskette

$N\subset H=H^{\prime }\subset N^{\prime }$,

was man als Gelfand-Tripel bezeichnet, benannt nachI. M. Gelfand.Auch hier kann man eine duale Paarung für$N,N^{\prime }$betrachten, die jedoch nur dann mit dem Skalarprodukt auf$H$in der Beziehung

$\langle x,y\rangle =(x,{\overline {y}})$

stehen kann, wenn$y$ein Element von$H^{\prime }$ist.

Beispiel

Ein wichtiges Gelfand-Tripel aus derWhite-Noise-Analysisist das Tripel

${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime },$

wobei${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$der Raum der schnell fallenden Funktionen (Schwartz-Raum) ist und${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime }$sein topologischer Dualraum, der Raum dertemperierten Distributionen.$L^{2}(\mathbb {R} )$ist der Hilbertraum derquadratisch integrierbaren Funktionenbezüglich des Lebesguemaßes. Der Schwartz-Raum ist ein dichter Teilraum und er ist ein vollständiger metrischer Raum, jedoch lässt sich auf ihm kein Skalarprodukt definieren, das seine Topologie erzeugt.

Man kann nun jedes Element$f$in$L^{2}$als temperierte Distribution auffassen, indem man die Abbildung

${\overline {f}}\colon {\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {R},\quad g\mapsto \int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)dx$

definiert (die Endlichkeit des Integrals ist eine Konsequenz derCauchy-Schwarz-Ungleichung). Man sieht rasch, dass mit dieser Definition Skalarprodukt und duale Paarung für alle Elemente${\overline {f}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime },g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$übereinstimmen, wenn${\overline {f}}$durch eine quadratisch integrierbare Funktion$f$induziert werden kann. Für andere temperierte Distributionen (so genannte singuläre Distributionen) ist das nicht möglich, zum Beispiel für dieDeltadistribution,da der Ausdruck

$\int _{\mathbb {R} }g(x)\delta (x)dx$

rein formal ist und kein Lebesgueintegral darstellt.

Der Annihilatorraum

Mit Hilfe der Dualen Paarung lässt sich für beliebige Vektorräume$X$eine Verallgemeinerung desorthogonalen Komplementseiner Menge$S\subset X$definieren, der so genannteAnnihilatorraum

$S^{0}=\lbrace f\in X^{\prime }\mid f(S)=\lbrace 0\rbrace \rbrace.$

Die duale Paarung in der Physik

In der Physik wird die duale Paarung gewöhnlich anders definiert, so dass die Reihenfolge von Vektorraum und Dualraum vertauscht ist. Man erhält

$\langle \cdot,\cdot \rangle:X^{\prime }\times X\rightarrow K,(l,x)\mapsto \langle l,x\rangle =l(x).$

Ein Grund, der für diese Definition spricht, mag die Ähnlichkeit zum euklidischen Skalarprodukt sein. Dort kann man nämlich Vektoren als Spaltenvektoren auffassen und die zugehörigen Funktionale als Zeilenvektoren. Dann gilt mit den Rechenregeln derMatrizenmultiplikation

$\langle \cdot,\cdot \rangle:(\mathbb {R} ^{n})^{\prime }\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R},(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle =(x_{1},\ldots,x_{n}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.$

Bra-Ket-Schreibweise

Im Bra-Ket-Formalismus, der in derQuantenmechanikhäufig benutzt wird, werden Vektoren als Ket-Vektoren in der Form$|y\rangle$und Elemente des Dualraums als Bra-Vektoren in der Form$\langle x|$geschrieben. Vergleicht man diese Notation mit der obigen Bemerkung über das euklidische Skalarprodukt, so erkennt man, dass hier dieselbe Idee zugrunde liegt, nämlich dass man ein Skalarprodukt formal als Produkt aus einem Funktional und einem Vektor schreiben kann.

Allerdings sei angemerkt, dass hier keine duale Paarung zugrunde liegt, da die Vektorräume in der Quantenmechanik häufig komplexe Räume sind und das Skalarprodukt daher sesquilinear ist. Dennoch ist diese der dualen Paarung verwandte Notation nützlich, da sie ein intuitives Rechnen mit Vektoren, Funktionalen und Skalarprodukten ermöglicht.

Literatur

• Nobuaki Obata:White Noise Calculus and Fock Space(„Lecture notes in mathematics; 1577 “). Springer Verlag, Berlin 1994,ISBN 3-540-57985-0.