Frequenzgang

DerFrequenzgangist der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eineslinearen zeitinvarianten Systems(LZI-System) bei einer sinusförmigen Anregung bezüglich der Amplitude und der Phase. Er ist daher einekomplexe FunktionderFrequenz.

Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal. Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in derAmplitudeund in derPhase.Das Verhältnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist derAmplitudengang,bisweilen auchBetragsfrequenzganggenannt. Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist derPhasengang.

Der Frequenzgang kann auch aus derFourier-TransformiertenderImpulsantwortdes Systems bestimmt werden.

Allgemeines

Der Frequenzgang beschreibt den Zusammenhang zwischensinusförmigenSchwingungen am Ein- und Ausgang eines Systems (Übertragungsgliedes) als Funktion der Frequenzfoder derKreisfrequenzω.

Das System hat dabei folgende Eigenschaften:

• Linearität
• Zeitinvarianz
• Stabilität(die Ausgangs-Schwingung klingt bei gleichbleibender Eingangs-Anregung nicht auf, z. B. wegen Resonanz)

Frequenzantwort einesPT1-Gliedes:
Die Ausgangsamplitude ist bei höherer Frequenz kleiner.

Bode-Diagramm:
Amplituden- und Phasen-Frequenzgang eines passivenTiefpassesoderPT1-Gliedes

Ortskurveeines passivenTiefpassesoderPT₁-Glieds

Ein solches System hat bei harmonischem Eingangssignal

$x(t)={\hat {x}}\sin(\omega t+\phi _{x})$

ein harmonisches Ausgangssignal:

$y(t)={\hat {y}}(\omega )\sin(\omega t+\phi _{y}(\omega ))\;$.

Auf Grund der Linearität wird die Kreisfrequenz$\omega$nicht beeinflusst. LediglichAmplitude$({\hat {x}}\rightarrow {\hat {y}})$undPhase$(\phi _{x}\rightarrow \phi _{y})$werden verändert.

Der Amplituden-Frequenzgang ist das Verhältnis

$A(\omega )={\frac {{\hat {y}}(\omega )}{\hat {x}}}$.

Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz

$\phi (\omega )=\phi _{y}(\omega )-\phi _{x}\;$.

Graphische Darstellung

Bode-Diagramm

Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient dasBode-Diagramm(siehe Abbildung). In je einem Graph ist der Amplituden-Frequenzgang und der Phasen-Frequenzgang dargestellt. Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt (außer der für die Phasenverschiebung), was denGebrauch des Diagrammserleichtert. So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgänge eine einfache Streckenaddition, und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an derf- oderω-Achse im Diagramm.

Ortskurve

Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seineOrtskurve.DiesesZeigerbildenthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm beide Informationen: Die Zeigerlänge entspricht dem Amplitudenverhältnis, seinArgumentφist die Phasenverschiebung.

Diese Ortskurve wird auchNyquist-Diagrammgenannt. Mit der Vorstellung, dass in der (komplexen) Ebene lediglich die Spitzen eingefrorener Zeiger zur Ortskurve verbunden sind, kann der Frequenzgang ohne Kenntnis der komplexen Mathematik und der mathematischen Transformationen aus dem Zeit- in den Frequenzbereich anschaulich gemacht werden.

Fourier-Transformation

LZI-Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden werden durch die lineareDifferentialgleichungn-ter Ordnung im Zeitbereich (Zeit als Variable) beschrieben:

$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=b_{m}x^{(m)}+\ldots +b_{1}x^{(1)}+b_{0}x$.

Die Anwendung derFourier-Transformationauf die Differentialgleichung führt zum Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Frequenzgang$H(\mathrm {j} \omega )$ist der Quotient aus den Fouriertransformierten$Y(\mathrm {j} \omega )$des Ausgangs-Signals und$X(\mathrm {j} \omega )$des Eingangs-Signals:

$H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {b_{m}(\mathrm {j} \omega )^{m}+\ldots +b_{1}(\mathrm {j} \omega )+b_{0}}{(\mathrm {j} \omega )^{n}+a_{n-1}(\mathrm {j} \omega )^{n-1}+\ldots +a_{1}(\mathrm {j} \omega )+a_{0}}}$.

Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist dieGewichtsfunktionoder Impulsantwort:

$g(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }H(\mathrm {j} \omega )e^{\mathrm {j} \omega t}\mathrm {d} \omega$.

Schreibweisen des Frequenzgangs:

• mit Real- und Imaginärteil

$H(\mathrm {j} \omega )=\operatorname {Re} H(\mathrm {j} \omega )+\mathrm {j} \,\operatorname {Im} H(\mathrm {j} \omega )$.

• mit Betrag und Phase

$H(\mathrm {j} \omega )=\left|H(\mathrm {j} \omega )\right|e^{\mathrm {j} \varphi (\mathrm {j} \omega )}$.

$\left|H(\mathrm {j} \omega )\right|={\sqrt {(\operatorname {Re} H(\mathrm {j} \omega ))^{2}+(\operatorname {Im} H(\mathrm {j} \omega ))^{2}}}$Betrag

$\varphi (\mathrm {j} \omega )=\arctan \left({\frac {\operatorname {Im} H(\mathrm {j} \omega )}{\operatorname {Re} H(\mathrm {j} \omega )}}\right)$Phase

Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion

sieheHauptartikel:Übertragungsfunktion

Mit$\sigma =0$in$s=\sigma +j\omega$geht die Laplace-Übertragungsfunktion$F(s)$in den Frequenzgang$F(\omega )$über.

Der Frequenzgang beschreibt daher keine Übergangsvorgänge (Einschwingvorgänge durch Zeitkonstanten). Und er ist auch nicht geeignet zur Beschreibung von instabilen aufklingenden Systemen.

Die Laplace-Übertragungsfunktion ist in diesen Aspekten durch den zusätzlichen Parameter$\sigma$allgemeiner.

Experimentelle Bestimmung

Die Bedeutung des Frequenzgangs für LZI-Systeme beruht auf der Einfachheit seiner experimentellen Gewinnung. Dazu wird das System mit einemSignalgeneratormit verschiedenen Frequenzen angeregt und die Systemantwort gemessen.

Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer (kleinen) Frequenzänderung kann die Messung mittels einesWobbelgeneratorserfolgen, wie zum Beispiel in derNachrichtentechnik.Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator, der seine Ausgangs-Frequenz kontinuierlich ändert.

Frequenzgang-Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner Messung

Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwendiger.

In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise über die Messung derImpulsantwortzu bestimmen.

In jedem Fall benötigt die experimentelle Frequenzgang-Bestimmung eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals$x$und des Ausgangssignal$y$des Systems.

Wortbedeutung im weiteren Sinn

In einem allgemeineren Sinn kann mit „Frequenzgang “auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein, wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz.Gebräuchlicher als z. B. „Frequenzgang einer Leistung “ist allerdings die Ausdrucksweise „Frequenzabhängigkeit einer Leistung “. Einer Quelle zufolge bezeichnet „Frequenzgang “im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannteFrequenzspektrumvon speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen.

Literatur

• Heinz Unbehauen:Regelungstechnik I.Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997,ISBN 3-528-83332-7.
• Jan Lunze:Regelungstechnik 1.6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007,ISBN 978-3-540-70790-5.
• Wilfried Weißgerber:Elektrotechnik für Ingenieure 2.Vieweg, 2007,ISBN 978-3-8348-0191-3.
• Günther Schmidt:Grundlagen der Regelungstechnik.Springer Verlag, 1987,ISBN 3-540-17112-6.

Weblinks

• Kennen Sie den Frequenzgang des Gehörs?(PDF; 112 kB)