Ganze Funktion

In derFunktionentheorieist eineganze FunktioneineFunktion,die in der gesamtenkomplexen Zahlenebene$\mathbb {C}$holomorph(alsoanalytisch) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sindPolynomeoder dieExponentialfunktionsowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon, etwa dietrigonometrischen Funktionenund dieHyperbelfunktionen.

Eigenschaften

Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierendePotenzreiheum ein beliebiges Zentrum dargestellt werden. Weder derLogarithmusnoch dieWurzelfunktionsind ganz.

Eine ganze Funktion kann eineisolierte Singularität,insbesondere sogar einewesentliche Singularitätim komplexenPunkt im Unendlichen(und nur da) besitzen.

Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist derSatz von Liouville:Beschränkte ganze Funktionen sindkonstant.Damit lässt sich recht elegant derFundamentalsatz der Algebrabeweisen. Derkleine Satz von Picardist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville: Einenichtkonstanteganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen. Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise dieExponentialfunktion,die nicht den Wert 0 annimmt.

Weitere Beispiele

Die Airy-Funktion$\operatorname {Bi} (x+iy)$(hier der Realteil) ist eine ganze Funktion.

• der Kehrwert derGammafunktion$1/\Gamma (z)$
• dieFehlerfunktion$\operatorname {erf} (z)$
• derIntegralsinus$\operatorname {Si} (z)$
• dieAiry-Funktionen$\operatorname {Ai} (z)$und$\operatorname {Bi} (z)$
• dieFresnelschen Integrale$S(z)$und$C(z)$
• dieRiemannsche Xi-Funktion$\xi (z)$
• dieBesselfunktionenerster Art$J_{n}(z)$für ganzzahlige$n$
• dieStruve-Funktionen$H_{n}(z)$für ganzzahlige$n>-2$
• dergrößte gemeinsame Teilerbezüglich einer natürlichen Zahl$n$in der verallgemeinerten Form
  • $\textstyle \operatorname {ggT} (n,z)=\sum \limits _{m=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {m}{n}}z}\sum \limits _{d|n}{\frac {c_{d}(m)}{d}}\quad {\text{mit}}\quad c_{d}(m)=\!\!\!\!\sum \limits _{k=1 \atop \operatorname {ggT} (k,d)=1}^{d}\!\!\!\!e^{2\pi i{\frac {k}{d}}m}$(Ramanujansumme)

Literatur

• Klaus Jänich:Funktionentheorie. Eine Einführung.6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2004
• Reinhold Remmert:Funktionentheorie I.3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992
• Eberhard Freitag,Rolf Busam:Funktionentheorie 1.3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000

Weblinks

• Eric W. Weisstein:Entire Function.In:MathWorld(englisch).