Gesetz der Nachfrage

AlsGesetz der Nachfrage(englischlaw of demand) bezeichnet man in derVolkswirtschaftslehreein häufig benutztesTheorem,das in der einfachsten Version besagt, dass dieNachfragenach einemnormalen Gutabnimmt, wenn sich seinPreiserhöht. Dabei bezeichnet man ein Gut als normal, wenn eine Erhöhung desEinkommensdazu führt, dass mehr von dem Gut nachgefragt wird. Pendant ist dasGesetz des Angebots.

Allgemeines

Außerhalb derRechtswissenschaft(formalesGesetz) spricht man in denWissenschaftenvon einem Gesetz, wenn aus einerTheorieorts- und zeitunabhängig allgemeingültige Aussagen abgeleitet werden, die weltweit gelten (Gesetzmäßigkeiten). Das Gesetz der Nachfrage wurde ausempirischenBeobachtungenund logischen Ableitungen entwickelt und mündet in demGrundsatz,dass im Regelfall bei einem niedrigen Preis eines Gutes eine größere und bei einem hohen Preis eine kleinere Angebotsmenge nachgefragt wird.Dabei ist es ohne Bedeutung, ob dasKonsumverhaltenderVerbraucherrationalenoderirrationalenÜberlegungen folgt, weil das für die Nachfrage verfügbareEinkommenbegrenzt ist.

Implikationen

NachGerhard Scherhornberuht das Gesetz der Nachfrage auf folgenden Implikationen:

• Bei Verknappung eines Gutes passt sich dieGüternachfragean, weil sein steigender Preis für geringere Nachfrage sorgt.
• Umgekehrt passt sich die Nachfrage bei erhöhtemGüterangebotebenfalls an, weil der sinkende Preis für eine höhere Nachfrage sorgt.
• Bei Entknappung sinkt diePreiselastizitätder Nachfrage.
• Gleichzeitig verringert sich auch die prozentuale Gesamtnachfrage.
• Der Effekt der Verringerung der Preiselastizität tritt auch ein, wenn das durchschnittliche Einkommen der Nachfrager steigt.

Formale Definition und Herleitung

Theorem

Sei$x_{i}(\mathbf {p},y)$dieMarshallsche Nachfragenach einem Gut$i$in Abhängigkeit von einem Preisvektor$\mathbf {p} =(p_{1},\ldots,p_{n})$und dem individuellen Einkommen$y$.(Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen$y$ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

Gesetz der Nachfrage:Seiiein normales Gut, das heißt sei$\partial x_{i}(\mathbf {p},y)/\partial y>0$,dann gilt:

${\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p},y)}{\partial p_{i}}}<0$

Beweis

Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach

$\underbrace {\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p},y)}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Gesamteffekt} }=\underbrace {\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p},{\overline {u}})}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Substitutionseffekt} }\underbrace {-x_{j}(\mathbf {p},y){\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p},y)}{\partial y}}} _{\mathrm {Einkommenseffekt} }$

(Für eine Erläuterung wird auf den ArtikelSlutsky-Gleichungverwiesen.) Im Eigenpreisfalli=jgeht aus dieser unmittelbar hervor, dass derEinkommenseffektnegativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). DerSubstitutionseffektist jedoch ebenfalls negativ, da dieHicks’sche Nachfragenach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt ausShephards Lemma:Wegen$x_{i}^{h}(\mathbf {p},{\overline {u}})=\partial e(\mathbf {p},{\overline {u}})/\partial p_{i}$auch$\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p},{\overline {u}})/\partial p_{i}=\partial ^{2}e(\mathbf {p},{\overline {u}})/\partial p_{i}^{2}$.Da dieAusgabenfunktion$e$aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung$\leq 0$.

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

Gesetz der kompensierten Nachfrage

Definition

Gesetz der kompensierten Nachfrage:Betrachte zwei beliebige Preistupel$\mathbf {p} ^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots,p_{n}^{0}\right)$und$\mathbf {p} ^{1}=\left(p_{1}^{1},\ldots,p_{n}^{1}\right)$,wobei$\mathbf {p} ^{1}$aus$\mathbf {p} ^{0}$durch eine Slutsky-kompensierte Preisänderung hervorgegangen ist. Dann erfüllt die marshallsche Nachfragefunktion$\mathbf {x} (\mathbf {p},y)$das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann, wenn gilt:

$\left(\mathbf {p} ^{1}-\mathbf {p} ^{0}\right)\cdot \left(\mathbf {x} ^{1}-\mathbf {x} ^{0}\right)\leq 0$.

Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen

Vorüberlegung

Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise$\mathbf {p} ^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots,p_{n}^{0}\right)$und das Haushaltseinkommen$y^{0}$ein optimales Güterbundel$\mathbf {q} ^{0}=\left(q_{1}^{0},\ldots,q_{n}^{0}\right)$wählt. Nun falle der Preis von Gutivon$p_{i}^{0}$auf$p_{i}^{1}$,woraus ein neues Preistupel$\mathbf {p} ^{1}$resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel,$\mathbf {q} ^{0}$,auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus$\mathbf {q} ^{0}$also gleich dem aus$\mathbf {q} ^{1}$.Da der Haushalt beim Preissystem$\mathbf {p} ^{0}$das Güterbündel$\mathbf {q} ^{0}$und nicht$\mathbf {q} ^{1}$gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen(weak axiom of revealed preferences – WARP)das Güterbündel$\mathbf {q} ^{1}$zu Preisen$\mathbf {p} ^{0}$mindestens so teuer gewesen sein als$\mathbf {q} ^{0}$,da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre,$\mathbf {q} ^{1}$zu wählen.Formal:

1)$\mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}$.

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem$\mathbf {p} ^{1}$der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel$\mathbf {q} ^{1}$dem Bündel$\mathbf {q} ^{0}$vorzuziehen – sonst hätte er nicht$\mathbf {q} ^{1}$gewählt. Das Güterbündel$\mathbf {q} ^{1}$kann also zu Preisen$\mathbf {p} ^{1}$nicht teurer sein als das Bündel$\mathbf {q} ^{0}$,das heißt

2)$\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}$.

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort

$\mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}\quad \Leftrightarrow \quad \left(\mathbf {p} ^{1}-\mathbf {p} ^{0}\right)\cdot \left(\mathbf {q} ^{1}-\mathbf {q} ^{0}\right)\leq 0$,

was zu zeigen war.

Äquivalenz zu WARP

In derVorüberlegungwird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.

Äquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage:Sei die Marshallsche Nachfragefunktion$\mathbf {x} (\mathbf {p},y)$homogen vom Grade null und genüge sie demWalras-Gesetz.Dann genügt$\mathbf {x} (\mathbf {p},y)$demschwachen Axiom offenbarter Präferenzengenau dann (und nur dann), wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfüllt ist.

Literatur

• Richard Cornes:Duality and modern economics.Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1992,ISBN 0-521-33601-5.
• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny:Advanced Microeconomic Theory.3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011,ISBN 978-0-273-73191-7.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green:Microeconomic Theory.Oxford University Press, Oxford 1995,ISBN 0-195-07340-1.
• Nolan H. Miller:Notes on Microeconomic Theory.online(Mementovom 15. Dezember 2011 imInternet Archive) (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015. [Hier S. 23 ff.]
• Hal Varian:Intermediate Microeconomics.A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010,ISBN 978-0-393-93424-3.