Gruppenoperation

In derMathematikgehört zu einerGruppenoperation, -aktionoder-wirkungeineGruppe$(G,*)$als „aktiver “Teil und eineMenge$X$als „passiver “Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements$g\in G$auf der Menge$X$ist eine Transformation (bijektiveSelbstabbildung) dieser Menge. Dabeioperierendie Elemente$g,h\in G$auf den Elementen der Menge$X$in der Weise, dass die Aktion des Produkts$g*h$derHintereinanderausführungder Einzelaktionen entspricht.

Die operierende Gruppe$G$wirdTransformationsgruppegenannt. Die Menge$X$zusammen mit der Operation von$G$auf$X$heißt$G$-Menge.

Ist bei der Menge$X$zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei esalgebraische,geometrische,topologische,wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.

Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, dieSymmetrienvon Objekten mit Hilfe vonSymmetriegruppenzu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in derGruppentheoriewichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und Raumdiagonalen

$ABCDEFGH$seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h.,$ABCD$und$EFGH$sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:

$A\;\,\mapsto \;\,B\;\,\mapsto \;\,C\;\,\mapsto \;\,D\;\,\mapsto \;\,A$und gleichzeitig

$E\;\,\mapsto \;\,F\;\,\mapsto \;\,G\;\,\mapsto \;\,H\;\,\mapsto \;\,E.$

Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

$AG\mapsto BH\mapsto CE\mapsto DF\mapsto AG.$

Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene$ABGH$(viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen$AG$und$BH$fest und vertauscht die anderen zwei:

$CE\mapsto DF$und$DF\mapsto CE.$

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

$A\mapsto G\mapsto A$und gleichzeitig

$B\mapsto H\mapsto B$und gleichzeitig

$C\mapsto E\mapsto C$und gleichzeitig

$D\mapsto F\mapsto D.$

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.

Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“)operiert aufder Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.

Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar$CE$und$DF$), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißtTransposition,und diese Transpositionenerzeugendie ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es$4!=24$dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

$24\cdot 2=48$

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur sieheOktaedergruppe.)

Definition

(Links-)Aktion

Eine(Links-)Operation, (Links-)Aktionoder(Links-)Wirkungeiner Gruppe$(G,*)$auf einer Menge$X$ist eineäußere zweistellige Verknüpfung

$\triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. $e\triangleright x=x$für alle$x\in X$,wobei$e$dasneutrale Elementvon$G$ist („Identität “),
2. $(g*h)\triangleright x=g\triangleright (h\triangleright x)$für alle$g,h\in G,x\in X$(„Verträglichkeit “).

Man sagt dann,$G$operiert (von links) auf$X$,und nennt$X$zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke)$G$-Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes$g\in G$die Transformation$\vartheta _{g\,\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g\triangleright x,$einebijektiveAbbildung ist (die Umkehrabbildung$\vartheta _{g\,\triangleright }^{-1}$ist$\vartheta _{g^{-1}\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g^{-1}\triangleright x$). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements$g$nicht nur eine Selbstabbildung, sondern einePermutationvon$X$,und eine Gruppenoperation von$G$auf$X$kann mit einemGruppenhomomorphismusvon$(G,*)$in diesymmetrische Gruppe$(\operatorname {Sym} (X),\circ )$gleichgesetzt werden.

Rechtsaktion

Analog zur Linksoperation ist eineRechtsoperation, -aktionoder-wirkungeine äußere zweistellige Verknüpfung

$\triangleleft \colon X\times G\to X;\qquad (x,g)\mapsto x\triangleleft g$

mit

1. $x\triangleleft e=x$für alle$x\in X$und das neutrale Element$e$von$G,$
2. $x\triangleleft (g*h)=(x\triangleleft g)\triangleleft h$für alle$g,h\in G,x\in X.$

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen$g*h$auf$X$operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst$h$und dann$g$,während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation derGegengruppeschreibt, oder auch, indem statt$g$von links$g^{-1}$von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation$\triangleleft$gibt es eine Linksoperation

$\triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x:=x\triangleleft g^{-1},$

denn

$e\triangleright x=x\triangleleft e^{-1}=x\triangleleft e=x$

und

${\begin{aligned}(g*h)\triangleright x&=x\triangleleft (g*h)^{-1}=x\triangleleft (h^{-1}*g^{-1})\\&=(x\triangleleft h^{-1})\triangleleft g^{-1}=(h\triangleright x)\triangleleft g^{-1}=g\triangleright (h\triangleright x).\end{aligned}}$

Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Weitere Begriffe

Bahn

Es sei$\triangleright$die (Links-)Operation einer Gruppe$(G,*)$auf einer Menge$X.$Für jedes$x\in X$nennt man dann

$G\triangleright x:=\{g\triangleright x\mid g\in G\}$

dieBahn,dasTransitivitätsgebiet,dasTransitivitätssystemoder denOrbit(engl.orbit) von$x.$Die Bahnen bilden einePartitionvon$X.$Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihreMächtigkeit) wird auch dieLängeder Bahn genannt. Für ein fest gewähltes$x_{0}\in X$nennt man die durch

$g\mapsto gx_{0}$

gegebene Abbildung$G\to X$die „Orbitabbildung “.

Die Bahnen sind dieÄquivalenzklassenbezüglich der Äquivalenzrelation:

$x\sim y$

genau dann, falls es ein$g\in G$gibt, für das$g\triangleright x=y$gilt.

Die Menge$G\backslash X:=\{G\triangleright x\mid x\in X\}$der Äquivalenzklassen wirdBahnenraumoderOrbitraumgenannt.

Für eine Rechtsoperation$\triangleleft$definiert man analog

$x\triangleleft G:=\{x\triangleleft g\mid g\in G\}$

und

$X/G:=\{x\triangleleft G\mid x\in X\}.$

Fundamentalbereich

→Hauptartikel:Fundamentalbereich

Seien$X$eine Menge und$G$eine Transformationsgruppe von$X$.Für einenPunkt$x\in X$bezeichne$G\triangleright x$dieBahnvon$x$.Dann heißt dieMenge$F\subset X$ein Fundamentalbereich von$X$,wenn derSchnitt$G\triangleright x\cap F$für jedes$x\in X$eine einelementige Menge ist.

Beispiel

Das Quadrat$[0,1)\times [0,1)$ist ein Fundamentalbereich von$\mathbb {R} ^{2}$bezüglich der Transformationsgruppe$\mathbb {Z} ^{2}$.Jeder Punkt$(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$lässt sich schreiben als$(u+m,v+n)$mit$(m,n):=(\lfloor x\rfloor,\lfloor y\rfloor )\in \mathbb {Z} ^{2}$und$(u,v):=(x-m,y-n)\in [0,1)\times [0,1)$.

Transitive und scharf transitive Operationen

Man bezeichnet die Gruppenoperation$\triangleright$von$G$auf$X$als(einfach) transitivoder sagt „die Gruppe$G$operiert (einfach) transitiv auf$X$“,wenn es zu je zwei Elementen$x,y\in X$ein$g\in G$gibt, so dass$g\triangleright x=y$gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzigeBahn,die ganz$X$umfasst. Ist das Gruppenelement$g$mit$g\triangleright x=y$darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente$x,y\in X$eindeutigbestimmt, so nennt man die Gruppenoperationscharf(einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedemPaarvon Urbildern$(x_{1},x_{2})\in X^{2}$mit$x_{1}\neq x_{2}$und jedem Paar von Bildern$(y_{1},y_{2})\in X^{2}$mit$y_{1}\neq y_{2}$ein Gruppenelement$g\in G$,für das$g\triangleright x_{1}=y_{1}$und$g\triangleright x_{2}=y_{2}$ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv undscharfzweifach transitiv, wenn es stetsgenauein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten “auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv “oder „die Gruppe ist kantentransitiv “(engl.edge-transitive) vorkommen.

Allgemein bestimmt eine Operation$\triangleright$der Gruppe$G$auf$X$für$k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$stets eine Operation

$\triangleright _{k}\colon G\times X^{k}\to X^{k}$

auf den geordneten Teilmengen von$X$mit$k$Elementen (k-Tupelmit paarweise verschiedenen Komponenten) durch

$g\triangleright _{k}(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{k})=(g\triangleright x_{1},g\triangleright x_{2},\dotsc,g\triangleright x_{k}).$

Ist$\triangleright _{k}$(scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation$\triangleright$(scharf)$k$-fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via$\triangleright$genau dann$k$-fach transitiv auf$X,$wenn$X^{k}$bezüglich$\triangleright _{k}$nur eine Bahn (nämlich$X^{k}$selbst) hat, scharf$k$-fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel)$t_{1},t_{2}\in X^{k}$dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement$g\in G$mit$g\triangleright _{k}t_{1}=t_{2}$gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in derGeometrie,siehe zum BeispielAffinität (Mathematik),Moufangebene,Affine Translationsebene.

Beispiele

• DieVierergruppe$V_{1}:=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge$M:=\{1,2,3,4\}$,da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe$V_{2}:=\{e,(12),(34),(12)(34)\}$,die isomorph zu$V_{1}$ist.
• DieGaloisgruppeeines über$\mathbb {Q}$irreduziblenPolynomsmit rationalen Koeffizienten operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.

Intransitive Permutationsgruppe

Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sieintransitiv.Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.

Homogene Operationen

Eine Verallgemeinerung der$k$-fach transitiven Operation ist die$k$-fach homogeneOperation. Eine Gruppe$G$operiert$k$-fachhomogen auf der Menge$X$mit$k\in \mathbb {N} \setminus \{0\},$wenn es für zwei beliebige Teilmengen$U,V\subseteq X$mit je genau$k$Elementen stets mindestens ein Gruppenelement$g\in G$gibt, das$U$auf$V$abbildet, also mit$g\triangleright U=V.$Jede$k$-fach transitive Operation ist auch$k$-fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die$k$vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Stabilisator

Für ein$x\in X$nennt man

$G_{x}=\{g\in G\mid g\triangleright x=x\}$

denStabilisator,dieIsotropiegruppe,dieFixgruppeoder dieStanduntergruppevon$x.\;(G_{x},*)$ist eine Untergruppe von$(G,*)$,die auf$G$operiert. Durch die Operation$\triangleright$ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von$x$gegeben:

$G/G_{x}\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;G\triangleright x,\quad g*G_{x}\mapsto g\triangleright x.$

$G_{x}$operiert (durch Einschränkung von$\triangleright$) auf$X\setminus \{x\}.$Ist diese Operation$k$-fach transitiv und$G_{x}\neq G,$so ist die Operation von$G$auf$X$sogar$(k+1)$-fach transitiv.

Ist$Y\subseteq X$eine Teilmenge und$H\subseteq G$eine Untergruppe, und gilt

$H\triangleright Y\subseteq Y$mit$H\triangleright Y:=\{h\triangleright y\mid h\in H,y\in Y\},$

so sagt man, dass$Y$stabilunter$H$ist oder dass$Y$von$H$stabilisiertwird. Es gilt dann stets sogar$H\triangleright Y=Y.$Der Stabilisator eines Punktes$x\in X$ist also die maximale Untergruppe von$G,$die$\{x\}$stabilisiert.

Freie und treue Operationen

Die Operation heißtfrei,falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h.$G_{x}=\{e\}$für alle$x\in X.$

Die Operation heißttreubzw.effektiv,falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus$G\to \operatorname {Sym} (X)$trivialenKernhat, alsoinjektivist. Für treue Operationen kann$G$als Untergruppe von$\operatorname {Sym} (X)$aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge$X$sagt man auch: „$G$operiert alsPermutationsgruppeauf$X.$“

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Homomorphismen zwischenG-Mengen

Wenn$Y$eine weitere Menge mit einer$G$-Linksoperation$\star$ist und$\varphi \colon X\to Y$eine Abbildung, so dass füralle$g\in G$und füralle$x\in X$gilt:

$\varphi (g\triangleright x)=g\star \varphi (x),$

dann wird$\varphi$alsG-äquivariantoder auch als Homomorphismus von$G$-Mengenbezeichnet.

Eigenschaften

DieÄquivalenzklassenderobeneingeführten Äquivalenzrelation$\sim$sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung:DieMächtigkeitvon$X$ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Genauer gilt (mit$G_{x}$als derFixgruppevon$x$) der

Bahnensatz:Ist$x\in X,$dann ist die Abbildung$i\colon G_{x}\backslash G\to G\triangleright x;\quad G_{x}*g\mapsto g\triangleright x,$eineBijektion.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe$G$die Bahnformel

$|G\triangleright x|\cdot |G_{x}|=|G|.$

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von$G.$

Beispiele

Operation einer Gruppe auf sich selbst

Operation durch Multiplikation

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe$(G,*)$auf sich selbst:$*$ist stets eine Operation auf$G$,denn$(g*h)*x=g*(h*x)$und$e*g=g.$

Die Abbildung$\Theta \colon G\to \operatorname {Sym} (G)$ordnet jedem Gruppenelement$g$dieLinkstranslation$\vartheta _{g*}$mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist${\Theta }$eininjektiverGruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley:Jedeendliche Gruppeder Ordnung$n$ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe$\operatorname {Sym} _{n\!}.$

Analoges gilt auch für dieRechtstranslation$\vartheta _{*g}.$

Betrachtet man eine Untergruppe$H$von$G,$dann operiert auch$H$auf$G.$Die Bahn$H*g$eines Elements$g\in G$heißt dann auchRechtsnebenklasseund$g*H$Linksnebenklassevon$g.$Man beachte, dass im Allgemeinen nicht$g*H=H*g$sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

$G:H:=|H\backslash G|.$

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt$|H*g|=|H|$für jedes$g\in G.$Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange:Für jede Untergruppe$H$einer endlichen Gruppe$G$gilt:

$|G|=(G:H)\cdot |H|.$

Insbesondere ist die Ordnung von$H$ein Teiler der Ordnung von$G.$

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

$G:H=|H\backslash G|=|G/H|.$

Eine Untergruppe$H$von$G$heißtNormalteiler,wenn$g*H=H*g$für alle$g\in G$gilt. Ist$H$ein Normalteiler von$G,$dann wird durch

$(g_{1}*H)\circledast (g_{2}*H):=(g_{1}*g_{2})*H$

eine Verknüpfung auf$G/H$definiert, mit der$(G/H,\circledast )$eine Gruppe ist, man nennt sie dieFaktorgruppevon$(G,*)$modulo$H.$

Operation durch Konjugation

Eine Gruppe$(G,*)$operiert auf sich durch dieKonjugation,also$g\triangleright h:=g*h*g^{-1}.$

Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang alsKonjugationsklassen,die Stabilisatoren alsZentralisatorenbezeichnet. Aus derBahnformelerhält man in diesem Fall dieKlassengleichung.

Die Automorphismen$\varphi _{g}\colon h\mapsto g*h*g^{-1}$heißeninnere Automorphismen,die Menge aller inneren Automorphismen wird mit$\mathrm {Inn} (G)$bezeichnet.

Eine elegante Anwendung derKlassengleichunglieferteErnst Wittmitseinem kurzen Beweis(1931) des (kleinen)Satzes von Wedderburn (1905):„Endliche Schiefkörper sind kommutativ. “

Automorphismengruppe einer Körpererweiterung

Ist$L/K$eineKörpererweiterung,dann bezeichnet man mit$\mathrm {Aut} (L/K)$die Gruppe aller Automorphismen von$L,$die$K$punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf$L$durch$\varphi \triangleright x:=\varphi (x).$Jede Bahn besteht aus den in$L$liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in$K,$das über$K$irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über$K,$sie haben dasselbeMinimalpolynomüber$K.$

Moduln und Vektorräume

Ein$G$-(Links-)Modulist eineabelsche Gruppe$(M,+),$auf der eine Gruppe$(G,*)$(von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation$\triangleright \colon G\times M\to M$linksverträglichmit$+$ist, d. h., es gilt

$g\triangleright (x+y)=(g\triangleright x)+(g\triangleright y)$für alle$g\in G$und alle$x,y\in M.$

Die Transformationen$\vartheta _{g\,\triangleright }$mit$g\in G$bilden dann die Gruppe$(\operatorname {Aut} (M),\circ )$derAutomorphismenauf$(M,+)$und die Abbildung$G\to \operatorname {Aut} (M);\quad g\mapsto \vartheta _{g\,\triangleright }$ist einGruppenisomorphismus.

Ist insbesondere$\odot$die skalare Multiplikation einesVektorraums$(V,\oplus,\odot )$über dem Körper$(K,+,\cdot ),$dann operiert die multiplikative Gruppe$(K\setminus \{0\},\cdot )$auf$V.$

Kategorien

Ist allgemeiner$X$ein Objekt einer beliebigenKategorie,so kann einestrukturverträglicheOperation einer (abstrakten) Gruppe$G$auf$X$definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

$G\to \operatorname {Aut} X,$

dabei ist$\operatorname {Aut} X$die Gruppe der Automorphismen von$X$im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Siehe auch

• G-Raumfür stetige Gruppenwirkungen
• Lemma von Burnside

Weblinks

Commons:Group actions– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Gruppenoperation bei MathWorld(englisch)