Imaginäre Zahl

Eine (rein)imaginäre Zahl(auchImaginärzahl,lat.numerus imaginarius) ist einekomplexe Zahl,deren Quadrat eine nichtpositivereelle Zahlist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, derenRealteilnull ist.

Die Bezeichnung „imaginär “wurde zuerst 1637 vonRené Descartesbenutzt, allerdings für nichtreelleLösungenvonalgebraischen Gleichungen.

Allgemeines

Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene

Imaginäre Einheit i

Wie die reellen Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen, basieren die imaginären Zahlen auf derimaginären Einheit$\mathrm {i}$,einer nichtreellen Zahl mit der Eigenschaft

$\mathrm {i} ^{2}=-1$.

Gelegentlich wird auch die Formulierung${\textstyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}}$verwendet. Hier muss man allerdings Vorsicht walten lassen: Eine naive, aber inadäquate, Übertragung derWurzelgesetzevon reellen auf komplexe Zahlen führt mit dieser Bezeichnung zum Widerspruch

$-1=\mathrm {i} ^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$.

Durch Anwendung der Definition derQuadratwurzeln aus komplexen Zahlenlässt sich dieser Widerspruch vermeiden.

Imaginäre Zahlen

Das Produkt der imaginären Einheit$\mathrm {i}$mit einemreellenFaktor$b$

$b\cdot \mathrm {i}$

ist stets eine imaginäre Zahl. Und auch umgekehrt ist jede imaginäre Zahl ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit. In derGaußebene(siehe Bild) bilden die imaginären Zahlen die mit „$\operatorname {Im}$“beschriftete Gerade, die die reelleZahlengerade„$\operatorname {Re}$“bei der gemeinsamen Zahl 0rechtwinkligschneidet.

Anwendung

In den imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, die keine reellen Lösungen haben können. Zum Beispiel hat die Gleichung

$x^{2}-4=0$

als Lösung zwei reelle Zahlen, nämlich$+2$und$-2$.Aber die Gleichung

$x^{2}+4=0$

kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, sodass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −4 wäre. Die Lösung dieser Gleichung sind zwei imaginäre Zahlen,$+2\mathrm {i}$und$-2\mathrm {i}$.

Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde bei der Lösung vonkubischen Gleichungenim Fall desCasus irreducibilisnötig.

In derkomplexen Wechselstromrechnungwird als Symbol für die imaginäre Einheit statt$\mathrm {i}$ein$\mathrm {j}$benutzt, um Verwechslungen mit demMomentanwert$i(t)$derelektrischen Stromstärkezu vermeiden. Diese Bezeichnung geht aufCharles P. Steinmetzzurück.Sie ist gemäß DIN 1302, DIN 5483-3 undISO 80000-2als Symbol erlaubt.

Rechenregeln

Summenoder Differenzen zweier imaginärer Zahlen sind stets imaginär, und es gilt dasDistributivgesetz:

$b\mathrm {i} -c\mathrm {i} =(b-c)\cdot \mathrm {i}$

ProdukteoderQuotientenzweier imaginärer Zahlen sind stets reell:

$b\mathrm {i} \cdot c\mathrm {i} =bc\cdot \mathrm {i} ^{2}=-bc$

Potenzen

${\begin{aligned}\mathrm {i} ^{-1}&={\frac {1}{\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {\mathrm {i} }{-1}}=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{0}&=1\\\mathrm {i} ^{1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{2}&=-1\\\mathrm {i} ^{3}&=\mathrm {i} ^{2}\cdot \mathrm {i} =-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4}&=\mathrm {i} ^{2}\cdot \mathrm {i} ^{2}=(-1)^{2}=1\end{aligned}}$

Allgemein gilt:

${\begin{aligned}\mathrm {i} ^{4n}&=1\\\mathrm {i} ^{4n+1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4n+2}&=-1\\\mathrm {i} ^{4n+3}&=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{2n}&=(\mathrm {i} ^{2})^{n}=(-1)^{n}\end{aligned}}$

für alle$n\in \mathbb {Z}$.

Komplexe Zahlen

→Hauptartikel:Komplexe Zahl

Die imaginäre Einheit$\mathrm {i}$erlaubt die Erweiterung desKörpersder reellen Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen.

Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit$\mathrm {i}$.

Algebraischwird$\mathrm {i}$definiert als eineNullstelledesPolynoms$x^{2}+1$und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugteKörpererweiterung.Die zweite Nullstelle ist dann$-\mathrm {i}$.Man kann die beiden Nullstellen erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit$\mathrm {i}$bezeichnet hat. Für die beiden Nullstellen hat man hierbei keine Unterscheidungsmerkmale. Es spielt so keine Rolle, „welche “Nullstelle man nun mit$\mathrm {i}$bezeichnet. (Wird jedoch, wie üblich, der komplexe Zahlenbereich auf der Struktur des$\mathbb {R} ^{2}$definiert statt nur mit seiner Hilfe dargestellt, so kann man die möglichen Nullstellen sehr wohl unterscheiden und wählt naheliegenderweise$\mathrm {i}:=(0,1)^{\mathrm {T} }$statt des ebenso möglichen$\mathrm {i}:=(0,-1)^{\mathrm {T} }$.)

Alle komplexen Zahlen lassen sich in derGaußebenedarstellen, einer Erweiterung der reellenZahlengeraden.Die komplexe Zahl$a+\mathrm {i} \cdot b$mitreellenZahlen$a,b$hat denRealteil$a$und den Imaginärteil$b$.Aufgrund der Rechenregeln komplexer Zahlen ist das Quadrat einer Zahl, deren Realteil gleich 0 ist, eine nichtpositive reelle Zahl:

$(b\mathrm {i} )^{2}=-b^{2}$

Weiteres

Erweiterungen stellen diehyperkomplexen Zahlendar, die über die komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten aufweisen. Beispielsweise treten bei den vierdimensionalenQuaternionendrei imaginäre Einheiten auf, bei den achtdimensionalenOktonionengibt es sieben imaginäre Einheiten.

In dereulerschen Identitätwird ein prägnanter, einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit$\mathrm {i}$mit drei anderen grundlegendenmathematischen Konstantenhergestellt, nämlich mit dereulerschen Zahl$\mathrm {e}$,derKreiszahl$\mathrm {\pi }$sowie der reellen Einheit 1:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1$

Literatur

• Ilja N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Muehlig:Taschenbuch der Mathematik.7. Auflage. Harri Deutsch, 2008,ISBN 978-3-8171-2007-9.

Weblinks

Wikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen– Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Komplexe Zahlen– Lern- und Lehrmaterialien