Schlussregel

EineSchlussregel(oderInferenzregel) bezeichnet eine Transformationsregel (Umformungsregel) in einemKalkülderformalen Logik,d. h. einesyntaktischeRegel, nach der es erlaubt ist, von bestehenden Ausdrücken einer formalen Sprache zu neuen Ausdrücken überzugehen. Dieser regelgeleitete Übergang stellt eineSchlussfolgerungdar.

Allgemeines

Eine gültige Schlussregel soll nur den Übergang zu solchen Ausdrücken erlauben, deren Aussagen auchsemantischaus der Aussage der bestehenden Ausdrücke folgt (siehelogische Ableitung).

Die genaue Beschaffenheit der Schlussregeln hängt davon ab, für welches logische System der Kalkül aufgestellt wird. Für die traditionelle und die klassische Logik, die demPrinzip der Zweiwertigkeitgenügen, müssen Schlussfolgerungenwahrheitserhaltendsein („aus Wahrem folgt nur Wahres “). Aufgrund dieser Eigenschaft verstehen sich moderneAussagenkalküleundprädikatenlogischeSysteme alsBeweiskalküle,obwohl Schlussregelnper senoch keine Beweisregeln sind. Schlussregeln unterscheiden sich innerhalb der klassischen Logik vonAxiomenoder Axiomenschemata, insofern sie keine konkreten semantischen Voraussetzungen an dasDiskursuniversumstellen.

Moderne Logikkalküle verwenden insbesondere denModus ponenssowie Einführungs- und Eliminationsregeln für bestimmte logischeJunktoren.

Fünf traditionelle Schlussregeln

Die folgenden fünf Regeln stammen aus der traditionellen Aussagenlogik, deren Tradition spätestens in derStoa(megarische Aussagenlogik) beginnt. Über dem Querstrich stehen jeweils eine oder zwei Aussagen, aus denen die Aussage unter dem Querstrich folgt.

1)Modus ponendo ponens(lat.das zu Setzende setzend,auchAbtrennungsregel) gilt als Grundform des direktenBeweises:

$p\rightarrow q\qquad p \over q$

In Worten: Wennp eine hinreichende Bedingung für q istundp wahr ist,dann ist auchq wahr.(semantisch)

Wirdpbehauptet, kann auch q behauptet werden. Nun wirdpbehauptet, also:q.(syntaktisch)

2)Modus tollendo tollens(lat.das Aufzuhebende aufhebend): der indirekte Beweis

$p\rightarrow q\qquad \neg q \over \neg p$

In Worten: Wennp eine hinreichende Bedingung für q istundq nicht wahr ist,dann ist auchp nicht wahr.

3)Kettenschluss(gelegentlich – eigentlich falsch, weil nach einer anderen Bedeutung des Wortes „Kettenschluss “–Modus Barbaragenannt)

$p\rightarrow q\qquad q\rightarrow r \over p\rightarrow r$

In Worten: Wennp eine hinreichende Bedingung für q istundq eine hinreichende Bedingung für r ist,dannist p eine hinreichende Bedingung für r.

4)Modus tollendo ponens(gelegentlich falschDisjunktiver Syllogismusgenannt)

$p\lor q\qquad \neg p \over q$

In Worten: Wennp oder qgilt undp nicht wahrist, dann istq wahr.

5)Indirekter Beweisdurchreductio ad absurdum

$\neg p\rightarrow (q\land \neg q) \over p$

In Worten: Wennnicht-p eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Widerspruch (q und nicht-q) wahr wird,dann istnicht-pfalsch (denn ein Widerspruch kann ja nicht wahr sein, also darf auch seine hinreichende Bedingung nicht wahr sein), also istpwahr.

Weitere Schlussregeln

Andere bekannte Schlussregeln sind u. a.

• Modus ponendo tollens

$\neg (p\land q)\qquad p \over \neg q$

In Worten: Wennnicht p und q wahrsind, aberp wahrist, dann istq nicht wahr.

• Kontraposition

$p\rightarrow q \over \neg q\rightarrow \neg p$

In Worten: Wennp eine hinreichende Bedingung für q ist,dann istnicht q eine hinreichende Bedingung für nicht p.

• Einsetzungsregel
• Ersetzungsregel

Kalküle des natürlichen Schließens umfassen üblicherweise eine größere Zahl von Schlussregeln; für weitere Beispiele üblicher Schlussregeln siehe daher den ArtikelSysteme natürlichen Schließens.

Logische Aussagen lassen sich auch durchResolutionsregelnumformulieren. Auf diese Weise lassen sich bestimmte Typen von Schlussfolgerungen als Widerspruchsbeweise automatisieren.

Keine gültige Schlussregel ist dieAbduktion.Sie wird dennoch in derKünstlichen IntelligenzundWissensrepräsentationeingesetzt, um „gesunden Menschenverstand“zu simulieren.

Ein regelgerechter Schluss, der nur eine seiner Prämissen als Folgerung hat, ist einZirkelschlussund stellt zwar eine Schlussfolgerung, aber keinen Beweis oder kein Argument für die Folgerung dar (siehe auchpetitio principii).