Kategorientheorie

DieKategorientheorieoder diekategorielle Algebraist einZweig der Mathematik,der Anfang der1940erJahre zuerst im Rahmen derTopologieentwickelt wurde;Saunders MacLanenennt seine 1945 in Zusammenarbeit mitSamuel Eilenbergentstandene „General Theory of Natural Equivalences “(inTrans. Amer. Math. Soc.58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sindKategorie,Funktorundnatürliche Transformation.Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden ursprünglich eingeführt.

Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie dieuniverselle Algebra,alsallgemeine Theorie mathematischer Strukturenauffassen (klassischeStrukturensind z. B.Gruppen,Ringe,Modulnundtopologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht überRelationenzwischen Elementen derTrägermenge(n) definiert, sondern mittelsMorphismenund Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

Bedeutung

Diese Art derAbstraktionführt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen.
Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte derhomologischen Algebra,deren Methoden zuerst aufabelsche Gruppenbeschränkt waren, dann aufModulnüber Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, alsTheorie derabelschen Kategorien,auf abelscheGarbenübertragen wurden.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. So bildenTopoi,kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch (d. h. überMorphismen) formuliert werden, eine Alternative zumaxiomatischenmengentheoretischenAufbau der Mathematik. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in derLogik,derTheoretischen Informatik(SemantikvonProgrammiersprachen,Bereichstheorie,Graphgrammatiken) und dermathematischen Physik(topologische Quantenfeldtheorie) eine Rolle.

Aufgrund ihres hohen Grades an Abstraktion wird die Kategorientheorie gelegentlich – selbst von den Mathematikern, die sie entwickelten – alsallgemeiner Unsinnbezeichnet.

Definitionen

Kategorie

EineKategorie${\mathcal {C}}$besteht aus folgendem:

• EinerKlasse$\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$vonObjekten.
• Einer Klasse von sogenanntenPfeilenoderMorphismen.Ein Morphismus ist ein Element einer Klasse$\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y),$die es zu jedem Paar$(X,Y)$von Objekten gibt (auch mit$\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$,$[X,Y]_{\mathcal {C}}$,${\mathcal {C}}(X,Y)$oder$(X,Y)_{\mathcal {C}}$bezeichnet). Diese Klassen sindpaarweise disjunkt,d. h. kein Morphismus$f\in \operatorname {Mor} (X,Y)$,auch$f\colon X\to Y$geschrieben, ist Element einer anderen Morphismenklasse.$X$ist dieQuelleeines Morphismus$f\in \operatorname {Mor} (X,Y)$und wird auch mit$\operatorname {dom} (f)$bezeichnet (von englischdomain), dasZiel$Y$mit$\operatorname {cod} (f)$(vonco-domain).
• Verknüpfungsabbildungen

${\begin{aligned}\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(Y,Z)\times \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)&\longrightarrow \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Z)\\(g,f)&\longmapsto g\circ f,\end{aligned}}$

die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f),$sofern$\operatorname {cod} (f)=\operatorname {dom} (g)$und$\operatorname {cod} (g)=\operatorname {dom} (h)$.

(Gelegentlich wird das$\circ$weggelassen und$h\circ g$als$hg$angeschrieben.)

• einem Identitätsmorphismus$\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$zu jedem Objekt$X$,der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel$X$ist, d. h. es gilt$\operatorname {id} _{X}\circ f=f$,falls$\operatorname {cod} (f)=X$ist, und$f\circ \operatorname {id} _{X}=f$,falls$\operatorname {dom} (f)=X$.Anstelle$\operatorname {id} _{X}$ist auch die Form$1_{X}$gebräuchlich.

Die Klasse aller Morphismen wird auch mit$\operatorname {Ar} ({\mathcal {C}}),\operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})$oder$\operatorname {Pf} ({\mathcal {C}})$bezeichnet (von englischarrow,französischflèche,deutschPfeil).

Unterkategorie

EineUnterkategorieeiner Kategorie${\mathcal {C}}$ist eine Kategorie${\mathcal {D}}$,so dass$\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$eine Teilklasse von$\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ist und für je zwei Objekte$X$und$Y$in${\mathcal {D}}$die Morphismenmenge$\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,Y)$Teilmenge von$\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ist. Sind die Morphismenmengen von${\mathcal {D}}$gleich denen von${\mathcal {C}}$,ist${\mathcal {D}}$einevolleUnterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Duale Kategorie

Dieduale Kategorie${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$zu einer Kategorie${\mathcal {C}}$ist die Kategorie mit$\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$und

$\operatorname {Mor} _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(Y,X)$.

Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in${\mathcal {C}}$. Anschaulich gesagt, zeigen in${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie$({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }$ist gleich${\mathcal {C}}$.

Produktkategorie

DieProduktkategorie${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$zu zwei Kategorien${\mathcal {C}}$und${\mathcal {D}}$ist die Kategorie, deren Objekte genau die Paare$(X,Y)$mit$X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$und$Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$sind und deren Morphismen gegeben sind durch

$\operatorname {Mor} _{{\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}{\bigl (}(X,Y),(X',Y'){\bigr )}=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,X')\times \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(Y,Y')$.

Die Verknüpfung von Morphismen geschieht komponentenweise, d. h.$(f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ g')$,und es ist$\operatorname {id} _{(X,Y)}=(\operatorname {id} _{X},\operatorname {id} _{Y})$.

Funktor

→Hauptartikel:Funktor (Mathematik)

Ein(kovarianter) Funktorist einestrukturverträglicheAbbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor$F$von einer Kategorie${\mathcal {C}}$in eine Kategorie${\mathcal {D}}$besteht aus den folgenden Daten:

• eine Zuordnung$F\colon \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$
• Abbildungen$F\colon \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$für je zwei Objekte$X$,$Y$von${\mathcal {C}}$.

Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:

• Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d. h.$F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$.
• Sie erhalten Identitätsmorphismen:$F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$.

Einkontravarianter Funktor(oderKofunktor) von${\mathcal {C}}$nach${\mathcal {D}}$ist ein Funktor${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {D}}$.Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

• Die Abbildungen auf den Morphismenmengen gehen von$\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$nach$\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(Y),F(X))$.
• Die Kompatibilität mit den Verknüpfungen lautet$F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$.

Ein Funktor$F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$von einer Kategorie in sie selbst heißtEndofunktor.

Sind${\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}$Kategorien und$F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$sowie$G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}$ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung$G\circ F$(auch$GF$geschrieben), die formal durch

$(G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))$

für Objekte$X$und Morphismen$f$definiert ist, ein Funktor${\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}$.$G\circ F$ist genau dann kovariant, wenn$F$und$G$beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche Transformation

→Hauptartikel:Natürliche Transformation

Natürliche Transformationensind eine Art Abbildung zwischen „parallelen “Funktoren. Es wird von Funktoren$F$und$G$ausgegangen, die beide von derselben Kategorie${\mathcal {C}}$in dieselbe Kategorie${\mathcal {D}}$gehen. Eine natürliche Transformation$t$von$F$nach$G$enthält für jedes Objekt$X$von${\mathcal {C}}$einen Morphismus$t_{X}\colon F(X)\to G(X)$,genannt Komponente von$t$bei$X$.Dabei muss für jeden Morphismus$f\colon X\to Y$zwischen Objekten von${\mathcal {C}}$das folgende Diagrammkommutieren:

${\begin{array}{rcl}F(X)&{\xrightarrow[{}]{F(f)}}&F(Y)\\t_{X}\!\downarrow &&\downarrow \!t_{Y}\\G(X)&{\xrightarrow[{G(f)}]{}}&G(Y)\\\end{array}}$

Als Formel bedeutet das:$t_{Y}\circ F(f)=G(f)\circ t_{X}$.

Natürlich äquivalentsind zwei Funktoren$F$und$G$von${\mathcal {C}}$nach${\mathcal {D}}$,wenn es natürliche Transformationen$t\colon F\to G$und$u\colon G\to F$gibt, so dass$tu$und$ut$jeweils die Identität sind. Anders formuliert: Natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in derFunktorkategorie.Eine natürliche Transformation$t$ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn jede Komponente$t_{X}$ein Isomorphismus ist, man nennt$t$daher auch einennatürlichen Isomorphismus.

Äquivalenz von Kategorien:Ein Funktor$F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$heißt eineÄquivalenz von Kategorien,wenn es einen Funktor$G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$gibt, so dass$FG$und$GF$jeweils natürlich äquivalent zur Identität von${\mathcal {D}}$bzw.${\mathcal {C}}$sind. Äquivalenzen von Kategorien sind genau dievolltreuen,wesentlich surjektivenFunktoren.

Beispiele

Kategorien

Hinweis: Die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z. B. (Gruppen), oder unterstrichen.

• Die KategorieSet,Ensbzw.Me(von engl.set,franz.ensemble,deutschMenge) ist die Kategorie derMengen.Die Kategorie besteht aus der Klasse$\operatorname {Ob} (\mathbf {Set} )$,die alle Mengen enthält, und die Morphismenmenge enthält genau die Abbildungen von$X$nach$Y$,d. h.$\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(X,Y)=Y^{X}.$Die Verknüpfung zweier Morphismen ist dieVerkettungder Abbildungen.

• PoSetoderPoswird die Kategorie derhalbgeordneten Mengen(Objekte) und monotonen Abbildungen (Morphismen) genannt.

• Topbezeichnet die Kategorie dertopologischen Räume(Objekte) und stetigen Abbildungen (Morphismen). Eine interessante Unterkategorie ist beispielsweise die volle UnterkategorieKHausderkompaktenHausdorffräume.

• die KategorieGrpoderGrderGruppenmit denGruppenhomomorphismenals Morphismen; weiter die volle UnterkategorieAbGrpderabelschen Gruppen,die sehr konsequent auch mitAbbezeichnet wird.

• die KategorieNLinSpder normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z. B. dieBanachräumemit stetigen linearen Abbildungen (BanSp₁), die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen (BanSp₂), oder kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen (CBanAlg).

• Die Kategorie der kleinen KategorienCatoderKat:Eine Kategorie heißtklein,wenn die Klasse ihrer Morphismen eine Menge ist. Die Objekte vonCatsind die kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. (Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist ausmengentheoretischen Gründennötig.)

• Eine Menge mit einer Halbordnung$(X,\leq )$bestimmt eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, und$\operatorname {Mor} (a,b)$habe genau ein Element (z. B. das geordnete Paar$(a,b)$), falls$a\leq b$,und sei andernfalls leer.

• Ist hierbei$X$leer, ergibt sich eine Kategorie ganz ohne Objekte und Morphismen. Sie wird mit$\mathbf {0}$bezeichnet und heißt die initiale oder leere Kategorie. Die Benennung rührt daher, dass$\mathbf {0}$initiales Objekt inCatist.

• Ist dagegen$X$einelementig, ergibt sich eine Kategorie$\mathbf {1}$,die aus genau einem Objekt und dessen Identitätsmorphismus besteht. Sie wird finale oder terminale Kategorie genannt, was dadurch motiviert ist, dass$\mathbf {1}$finales Objekt inCatist.

• Sind${\mathcal {C}}$und${\mathcal {D}}$Kategorien, so kann man dieFunktorkategorie$\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$bilden: Objekte sind Funktoren von${\mathcal {C}}$nach${\mathcal {D}}$,Morphismen sind natürliche Transformationen.

• Ist${\mathcal {C}}$eine Kategorie und$S$ein Objekt von${\mathcal {C}}$,so ist die Kategorie${\mathcal {C}}/S$der Objekteüber$S$wie folgt definiert: Objekte von${\mathcal {C}}/S$sind Morphismen in${\mathcal {C}}$mit Ziel$S$,und Morphismen von${\mathcal {C}}/S$sind Morphismen von${\mathcal {C}}$,die mit den „Strukturmorphismen“nach$S$verträglich sind, d. h. sind$f\colon X\to S$und$g\colon Y\to S$zwei Objekte von${\mathcal {C}}/S$,so sind Morphismen von$(X,f)$nach$(Y,g)$in${\mathcal {C}}/S$die Morphismen$h$von$X$nach$Y$,für die$gh=f$gilt.

• Umgekehrt sei * ein fester einpunktiger topologischer Raum. Dann ist die Kategorie der topologischen Räume unter * isomorph zur KategorieTop^*derpunktierten topologischen Räume.

Die meisten der oben genannten Beispiele sind so geartet (oder lassen sich leicht dahingehend anpassen), dass die Objekte Mengen zusammen mit einer Zusatzstruktur sind, die Morphismen Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, und die Verknüpfung von Morphismen die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einerkonkreten Kategorie. Es ist jedoch nicht jede Kategorie konkret oder auch nur äquivalent zu einer konkreten Kategorie (d. h.konkretisierbar). Nicht konkretisierbar sind beispielsweise (ohne Beweis):

• DieHomotopie-KategorieHoTopbzw.hTopmit topologischen Räumen als Objekten undHomotopieklassenstetiger Abbildungen als Morphismen.

• Die Kategorie der kleinen Kategorien, allerdings mit dennatürlichen Äquivalenzklassenvon Funktoren als Morphismen.

Funktoren

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.

• Für ein Objekt$T$einer Kategorie${\mathcal {C}}$ist die Zuordnung

$X\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(T,X)$

ein (kovarianter) Funktor${\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$.Der Funktor

$X\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,T)$

ist kontravariant. Hierzu siehe auchHom-Funktor.

• Es sei$K$einKörperund$\mathrm {Vekt} _{K}$die Kategorie derVektorräumeüber$K$mit den$K$-linearen Abbildungenals Morphismen. Es sei nun ein kontravarianter Funktor

$D\colon \mathrm {Vekt} _{K}\to \mathrm {Vekt} _{K}$

wie folgt definiert:

• Für ein Objekt$V$ist$D(V)=V^{*}=\mathrm {Hom} _{K}(V,K)$derDualraumvon$V.$
• Für eine lineare Abbildung$f\colon V\to W$ist

$D(f)\colon W^{*}\to V^{*},\quad \lambda \mapsto \lambda \circ f.$

Man überprüft leicht, dass$D(f\circ g)=D(g)\circ D(f)$und$D(\mathrm {id} _{V})=\mathrm {id} _{V^{*}}$gilt.

• $\mathrm {G} _{m}\colon \mathrm {(Ringe)} \to \mathrm {(Gruppen)}$:ordnet einem unitären Ring seineGruppe der Einheitenzu. Allgemeiner:$\mathrm {GL} _{n}\colon \mathrm {(Ringe)} \to \mathrm {(Gruppen)}$:ordnet einem Ring dieGruppe der invertierbaren$(n\times n)$-Matrizenzu.
• DieFundamentalgruppeist ein Funktor$\mathbf {Top} ^{*}\to \mathbf {Grp}$,von der Kategorie derpunktierten topologischen Räume(die Punktierung gibt den Basispunkt an) in die Kategorie der Gruppen; die höherenHomotopiegruppensind Funktoren$\mathbf {Top} ^{*}\to \mathbf {Ab}$;dieHomologiegruppensind Funktoren$\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}$;dieKohomologiegruppensind kontravariante Funktoren$\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}$.
• Vergissfunktoren:Es gibt offensichtliche Funktoren$\mathbf {Ab} \to \mathbf {Set}$,$\mathbf {Ab} \to \mathbf {Grp}$,$\mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$usw., die einfach einen Teil der Struktur „vergessen “, d. h. einer abelschen Gruppe die zugrundeliegende Menge, einer abelschen Gruppe sich selbst (aber ohne die Information, dass sie abelsch ist), einem topologischen Raum die zugrundeliegende Menge usw. zuordnen.
• „Freie“Konstruktionen, hierfreie abelsche Gruppe:Jeder Menge$S$kann man die abelsche Gruppe$F(S):=\{a\colon S\to \mathbb {Z} ~|~a(s)\neq 0~{\text{fuer hoechstens endlich viele}}~s\in S\}$(mit punktweiser Addition) zuordnen. Zusammen mit offensichtlichen Zuordnungen für Abbildungen, nämlich$F(f)\colon a\mapsto t\mapsto \sum _{s\in f^{-1}(t)}a(s)$,ergibt sich ein Funktor von$\mathbf {Set}$nach$\mathbf {Ab}$.Es gibt dann eine kanonische Isomorphie$\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(S,V(A))\cong \operatorname {Mor} _{\mathbf {Ab} }(F(S),A)$,wobei$V$der Vergissfunktor ist. Man sagt,$F$ist (links-)adjungierter Funktorzu$V$.Ähnliche Konstrukte existieren für viele Vergissfunktoren.
• Funktoren zwischen Kategorien, die von halbgeordneten Mengen bestimmt werden (s. o.), sind gerademonotone Abbildungen.

Natürliche Transformationen

• Die Bezeichnungen seien wie im Beispiel des Funktors „Dualraum “oben. Die Abbildungen

$\tau _{V}\colon V\to V^{**},\quad v\mapsto (\lambda \mapsto \lambda (v))$

eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation

$\tau \colon \mathrm {id} _{\mathrm {Vekt} _{K}}\to D\circ D.$

Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist$\tau$eine natürliche Äquivalenz.

• $\det \colon \mathrm {GL} _{n}\to \mathrm {G} _{m}$:Für einen Ring$R$ist$\det _{R}$der Gruppenhomomorphismus$\mathrm {GL} _{n}(R)\to R^{\times }$,dieDeterminante.
• DieHurewicz-Abbildung

$\pi _{k}(X)\to H_{k}(X,\mathbb {Z} )$

• DasCupproduktin derKohomologie.
• DieAbelisierungeinerGruppe

$G\to G^{\mathrm {a} b}:=G/[G,G]$

Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-Lemma

→Hauptartikel:Lemma von Yoneda

Es sei${\mathcal {C}}$eine Kategorie. Der Funktor

$h\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Mor} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} ),$

der einem Objekt$X$den Funktor

$h_{X}\colon T\mapsto \mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(T,X)$

zuordnet, istvolltreu.Allgemeiner gilt für Objekte$X$von${\mathcal {C}}$und$F$von$\mathrm {Mor} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathrm {Set} )$:

$\mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}(h_{X},F)=F(X)$;

einer natürlichen Transformation$t\colon h_{X}\mapsto F$wird dabei$t_{X}(\operatorname {id} _{X})$zugeordnet (man beachte$h_{X}(X)=\mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(X,X)$).

Strukturtransfer

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man einProduktvon Objekten$X_{i}$definieren als ein Objekt$P$,für das$h(P)$objektweise das kartesische Produkt der$h(X_{i})$ist, d. h., dass

$\mathrm {Mor} (T,P)\cong \prod \mathrm {Mor} (T,X_{i})$

gilt; dabei meint$\cong$eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in$T$.Diese Äquivalenz liefert für$T=P$als Entsprechung von$\operatorname {id} _{P}$auch Morphismen$\operatorname {pr} _{i}\colon P\to X_{i}$. Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass$P$bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind$\mathrm {Mor} (\_,P)$und$\mathrm {Mor} (\_,Q)$via$t$natürlich äquivalente Funktoren, so sind$P$und$Q$via$t_{P}(\operatorname {id} _{P})$isomorph.

„Universell “ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen$f_{i}\colon T\to X_{i}$gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen$\operatorname {pr} _{i}\colon P\to X_{i}$her, d. h. es gibt eine Abbildung$c\colon T\to P$,so dass$f_{i}=\operatorname {pr} _{i}~c$gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe „Ko “gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist dasKoproduktvon Objekten$X_{i}$in einer Kategorie${\mathcal {C}}$dasselbe wie das Produkt derselben Objekte$X_{i}$in der dualen Kategorie${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$.

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus$X\to Y$einMonomorphismus,wenn$h(X)\to h(Y)$objektweise injektiv ist.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

• Produkt und Koprodukt
• AnfangsobjekteundEndobjekte
• DifferenzkernundDifferenzkokern
• FaserproduktundPushout
• allgemeinLimitesbzw.Kolimites
• injektiveundprojektive Objekte
• adjungierte Funktoren
• 2-Kategorie

Siehe auch

• Kategorie (Philosophie)

Literatur

Einführungen:

• F. W. Lawvere,Stephen Schanuel:Conceptual Mathematics. A first introduction to categories.Cambridge 1997,ISBN 0-521-47817-0.
• Steve Awodey:Category Theory.Clarendon Press, Oxford 2006,ISBN 0-19-856861-4.
• Michael Arbib,Ernest G. Manes:Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative.Academic Press, 1975.
• Martin Brandenburg:Einführung in die Kategorientheorie.Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015,ISBN 978-3-662-47067-1,doi:10.1007/978-3-662-47068-8.
• Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik und Informatik:Kategorien und Automaten.Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972,ISBN 3-11-003902-8.(Das Buch gibt in den Kapiteln 1, 3 und 5 eine in sich abgeschlossene Einführung in die allgemeine Kategorientheorie und in den Kapiteln 2, 4 und 6 wird die Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt.)
• Samson Abramsky,Nikos Tzevelekos:Introduction to Categories and Categorical Logic.

Klassische Lehrbücher:

• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker:Abstract and concrete categories.The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
• Horst Herrlich, George E. Strecker:Category Theory: An Introduction.Boston 1973.
• Saunders MacLane:Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie.Berlin 1972,ISBN 3-540-05634-3.
• Saunders MacLane:Categories for the Working Mathematician.2. Auflage. Springer, 1998,ISBN 0-387-98403-8.
• Bodo Pareigis:Kategorien und Funktoren.B. G. Teubner, Stuttgart 1969.
• Horst Schubert:Kategorien I/II.Springer, 1970.

Ein Nachschlagewerk:

• Francis Borceux:Handbook of categorical algebra.3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). – Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52)ISBN 0-521-44178-1,ISBN 0-521-44179-X,ISBN 0-521-44180-3.

Ein Sammelband:

• W. Gähler, G. Preuss:Categorical Structures and their Applications.World Scientific, 2004,ISBN 981-256-053-X.

Weblinks

• Eintragin Edward N. Zalta (Hrsg.):Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• PlanetMath Übersichtsartikel(englisch)
• Eine „sanfte Einführung “in die Kategorientheorie, die nur mit Beispielen aus der Algorithmik arbeitet(englisch; 80 S.; PDF)
• nLab,Wiki mit vielen Einträgen über Kategorientheorie und den Bezug zu anderen Disziplinen
• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker:Abstract and concrete categories.The Joy of Cats. Online ed. 2004(PDF; 4,4 MB)
• Theory and Applications of Categories,Zeitschrift
• Categories,moderierte Liste von Kategorientheoretikern über Kategorientheorie
• Manon Bischoff:Abstrakter Unsinn oder mathematische Wunderwaffe?inSpektrum.devom 7. November 2023

Einzelnachweise

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