Lebensdauer (Quantenphysik)

DieLebensdauer(genauer: mittlere Lebensdauer) als Fachbegriff derPhysikist die durchschnittliche Verweilzeit einesObjektsin einem bestehenden Zustand bis zu einer plötzlichen Änderung. Sie ist eine Kenngröße für einEnsemble,das aus vielen identischen Objekten besteht. Insbesondere wird sie an instabilenTeilchenbeobachtet und für diese hier beschrieben. Hierzu gibt es ein Modell, wonach jedes Objekt einzeln rein zufällig irgendwann ausscheidet. Entsprechendes gilt für einSystemin einemangeregten Zustand,das rein zufällig in seinen Grundzustand übergeht.

Steht einem Objekt kein Zustand niedrigererEnergiezur Verfügung als im gegenwärtig eingenommenen Zustand und wird ihm keine Energie zugeführt, so ist es stabil, und seine Lebensdauer ist unendlich. Können die Objekte jedoch spontan in einen Zustand niedrigerer Energie übergehen („zerfallen “), bildet ihre jeweilige Lebensdauer eineHäufigkeitsverteilung.Aus dem bisherigen Verlauf der Anzahl der verbliebenen Objekte lässt sich für das gesamte Ensemble eine repräsentative Verweilzeit angeben.

Das Modell besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für das „Überleben “eines Individuums weder von seinem Alter noch von einer gegenseitigen Beeinflussung abhängt, somit auch nicht von der Größe der verbleibenden Population. Wenn demnach der Zerfall spontan auftritt, also nach keinem bekannten Gesetz vorhersehbar, ergeben sich individuelle Lebensdauern über jede denkbare Zeitspanne. Für dieses Modell existiert die nachfolgend angegebene mathematische Beschreibung. Diese enthält eine charakterisierende Rechengröße, die sich als Lebensdauer im Sinne einermittleren Lebensdauer des Ensemblesbezeichnen lässt. Beispielsweise im Zusammenhang mitradioaktiven AtomkernenundElementarteilchenliefert das Modell mit der Beobachtung übereinstimmende Ergebnisse.

In denBiowissenschaftenhat der Begriff derLebenserwartungeine vergleichbare Bedeutung; hier liegt allerdings aufgrund der biologischen Alterungsprozesse eine Abhängigkeit von der Zeit vor.

Lebensdauer und Zerfallswahrscheinlichkeit

Unter der Annahme, dass von der Anzahl der existierenden Teilchen$N$in der Zeitspanne$\Delta t$ein zu$N$proportionaler Anteil$\Delta N$spontan zerfällt, so gilt

$\Delta N=-\lambda \,N\,\Delta t$

mit derZerfallskonstantenoderZerfallswahrscheinlichkeit$\lambda$.Daraus ergibt sich durch Integration

$N(t)=N_{0}\ \mathrm {e} ^{-\lambda t}$,

worin$N_{0}$die Anzahl der Teilchen zu Beginn des Beobachtungsprozesses ist.

Die Gleichung wird als das Gesetz des radioaktiven Zerfalls oder kurzZerfallsgesetzbezeichnet. Die Gleichung besagt, dass die Zahl der nichtzerfallenen Atomkerne mit jedem Zeitschritt exponentiell abnimmt.

Für die zeitliche Entwicklung der Anzahl der noch nicht zerfallenen Teilchen ergibt sich eineExponentialverteilung.

Als die Rechengröße „Lebensdauer “$\tau$wird derKehrwertder Zerfallskonstanten verwendet:

$\tau ={\frac {1}{\lambda }}$

Sie ist daher die Zeit, nach der die Anzahl der Teilchen auf den Bruchteil 1/e≈ 37 % abgefallen ist.

Partielle Lebensdauer

Wenn fürElementarteilchenverschiedeneZerfallskanäle,d. h. verschiedene Möglichkeiten des Zerfalls, bestehen, gibt es mehrere einzelne „partielle “Zerfallkonstanten, die sich zur Gesamtzerfallskonstanten addieren.Formal kann zu jeder der partiellen Zerfallskonstanten der Kehrwert als „partielle Lebensdauer “angegeben werden; dies geschieht manchmal aus Gründen der Anschaulichkeit. Die partielle Lebensdauer ist aber eine fiktive, nicht beobachtbare Größe: Sie wäre die Lebensdauer des Systems, wenn der betreffende Zerfallskanal der einzig mögliche wäre.Der beobachtbare Zerfall zeigt – unabhängig davon, welcher der Zerfallskanäle beobachtet wird – immer die Lebensdauer, die der totalen Zerfallskonstanten entspricht.

Halbwertszeit

Manchmal – insbesondere auf dem Gebiet der Radioaktivität – wird statt der Lebensdauer dieHalbwertszeit$T_{1/2}$verwendet, d. h. die Zeit, nach welcher die Hälfte des Ensembles noch vorhanden ist. Bei Vorliegen einer Exponentialverteilung errechnet sich die Halbwertszeit aus der Lebensdauer bzw. der Zerfallskonstante mit:

$T_{1/2}=\tau \ln 2={\frac {\ln 2}{\lambda }}$

Sie beträgt damit etwa 69 % der Lebensdauer. Im Fall mehrererZerfallskanälewerden gelegentlich der Anschaulichkeit zuliebe – wie bei der Lebensdauer – auch fiktive partielle Halbwertszeiten genannt.

Halbwertszeiten und Zerfallskanäle vonRadionuklidensind z. B. in derKarlsruher Nuklidkarteangegeben.Verzweigungsverhältnisseund weitere Daten finden sich in dem umfangreichen BuchTable of Isotopes.

Verbindung mit der Quantentheorie

Durch dieheisenbergsche Unschärferelationlässt sich folgender Zusammenhang zwischen der Unschärfe einer beliebigenObservablen$A$und ihrer zeitlichen Entwicklung finden:

$\Delta E\ \Delta A\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [H,A]\rangle \right|\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A\rangle \right|$

Daraus ergibt sich eine Verbindung zwischen der Energieunschärfe oderZerfallsbreite$\Gamma =2\ \Delta E$ eines Übergangs oder Zerfalls und seiner Lebensdauer:

$\Gamma \ \tau =\hbar$

wobei$\hbar$die reduzierte Planck-Konstante ist.

Zur Bestimmung sehr kurzer Lebensdauern wird die Breite der Energieverteilung, beispielsweise von emittiertenPhotonenoder einemPeakin einerAnregungsfunktion,gemessen und mittels dieser Formel die Lebensdauer berechnet. Eine doppelteStandardabweichungvon etwa 66 keV ergibt eine Lebensdauer von 10⁻²⁰Sekunden.

Siehe auch

• Exponentieller Prozess
• Energie-Zeit-Unschärferelation(zur quantentheoretischen Betrachtung)
• Lebensdauer (Technik)

Literatur

• Fritz W. Bopp:Kerne, Hadronen und Elementarteilchen.2. Auflage, Springer 2014,ISBN 978-3-662-43666-0

Weblinks

• Particle Data Group