Lp-Raum

Die$L^{p}$-Räume,auchLebesgue-Räume,sind in derMathematikspezielleRäume,die aus allenp-fach integrierbaren Funktionenbestehen. Das$L$in der Bezeichnung geht auf den französischen MathematikerHenri Léon Lebesguezurück, da diese Räume über dasLebesgue-Integraldefiniert werden. Im FallBanachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden allgemein für Vektorräume$E$dargestellt) bezeichnet man sie auch alsBochner-Lebesgue-Räume.Das$p$in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl$0<p\leq \infty$ist ein$L^{p}$-Raum definiert. In derWahrscheinlichkeitstheoriewird Konvergenz in zu einemWahrscheinlichkeitsmaßdefinierten$L^{p}$-Räumen alsKonvergenz imp-ten Mittelbezeichnet.

Definition

L^pmit Halbnorm

Sei$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$einMaßraum,$\mathbb {K} \in \{\,\mathbb {R},\mathbb {C} \,\}$und$0<p<\infty$.Dann ist die folgende Menge einVektorraum:

${\mathcal {L}}^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ):=\left\{f\colon \Omega \to \mathbb {K} \;{\Bigg |}\;f\mathrm {\ ist\ messbar},\,\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty \right\}\mathrm {.}$

Die durch

${\begin{aligned}\|\cdot \|_{{\mathcal {L}}^{p}}\colon {\mathcal {L}}^{p}&\longrightarrow \mathbb {R} \\f&\longmapsto \left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}\end{aligned}}$

gegebene Abbildung ist für alle$p\geq 1$eineHalbnormauf${\mathcal {L}}^{p}$.DieDreiecksungleichungfür diese Halbnorm wirdMinkowski-Ungleichunggenannt und kann mit Hilfe derHölder-Ungleichungbewiesen werden.

Genau dann ist$\|\cdot \|_{{\mathcal {L}}^{p}}$eine Norm auf${\mathcal {L}}^{p}$,wenn die leere Menge die einzigeNullmengein${\mathcal {A}}$ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge$N\neq \emptyset$,so ist diecharakteristische Funktion$1_{N}$ungleich derNullfunktion,aber es gilt$\left\|1_{N}\right\|_{{\mathcal {L}}^{p}}=0$.

L^pmit Norm

Um auch im Fall einer Halbnorm$\|\cdot \|_{{\mathcal {L}}^{p}}$zu einemnormierten Raumzu kommen, identifiziert man Funktionen miteinander, wenn siefast überallgleich sind. Formal bedeutet das: Man betrachtet den (von$p\geq 1$unabhängigen)Untervektorraum

${\mathcal {N}}:=\{\,f\in {\mathcal {L}}^{p}\mid \|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}}=0\,\}=\{\,f\in {\mathcal {L}}^{p}\mid f=0~\mu {\text{-fast }}\mathrm {{\ddot {u}}berall} \,\}$

und definiert den Raum$L^{p}$als denFaktorraum${\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}$.Zwei Elemente von$[f],[g]\in L^{p}$sind also genau dann gleich, wenn$f-g\in {\mathcal {N}}$gilt, also wenn$f$und$g$fast überall gleich sind.

Der Vektorraum$L^{p}$ist durch$\|[f]\|_{L^{p}}:=\|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}}$normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus$[f]$ab, das heißt, für Funktionen$f_{1},f_{2}\in [f]$in der gleichen Äquivalenzklasse gilt$\|f_{1}\|_{{\mathcal {L}}^{p}}=\|f_{2}\|_{{\mathcal {L}}^{p}}$.Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist.

Der normierte Vektorraum$L^{p}$istvollständigund damit einBanachraum,die Norm$\|\cdot \|_{L^{p}}$wirdL^p-Normgenannt.

Auch wenn man von sogenannten$L^{p}$-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem$\mathbb {R} ^{n}$zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichenÄquivalenzklasse,so dass der$L^{p}$-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfallp=∞

Auch für$p=\infty$kann man mithilfe deswesentlichen Supremums(in Zeichen:$\operatorname {ess~sup}$) einen$L^{p}$-Raum definieren, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber fürσ-endlicheMaßräumealle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

${\mathcal {L}}^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ):=\left\{\,f\colon \Omega \to \mathbb {K} \mid f\mathrm {\ ist\,messbar},\,\|f\|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}<\infty \,\right\}\mathrm {;}$

dabei ist

$\|f\|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}:=\operatorname {ess~sup} _{x\in \Omega }|f(x)|=\inf _{N\in {\mathcal {A}} \atop \mu (N)=0}\sup _{x\in \Omega \setminus N}|f(x)|\mathrm {.}$

Betrachtet man analog zu oben$L^{\infty }:={\mathcal {L}}^{\infty }/{\mathcal {N}}$,erhält man wieder einen Banachraum.

Beispiele

Lebesgue-Räume bezüglich des Lebesgue-Maßes

Ein sehr wichtiges Beispiel von$L^{p}$-Räumen ist durch einen Maßraum$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$gegeben,${\mathcal {A}}$ist dann dieborelsche σ-Algebra${\mathcal {B}}(\Omega )$,und$\mu$dasLebesgue-Maß$\lambda$.In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation$L^{p}(\Omega ):=L^{p}(\Omega,{\mathcal {B}}(\Omega ),\lambda )$benutzt.

Der Folgenraum ℓ^p

→Hauptartikel:Folgenraum

Betrachtet man denMaßraum$(\mathbb {N},{\mathcal {A}},\mu )$,wobei hier also$\Omega$als die Menge$\mathbb {N}$dernatürlichen Zahlen,${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$derenPotenzmengeund$\mu$als dasZählmaßgewählt wurde, dann besteht der Raum$L^{p}(\mathbb {N},{\mathcal {A}},\mu )$aus allenFolgen$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$mit

$\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty$

für$0<p<\infty$bzw.

$\sup _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|<\infty$

für$p=\infty$.

Dieser Raum wird mit$\ell ^{p}$bezeichnet. Die Grenzfälle$\ell ^{1}$und$\ell ^{\infty }$sind der Raum der absolut summierbaren Zahlenfolgen und der Raum der beschränkten Zahlenfolgen. Für alle$1\leq p\leq q\leq \infty$gilt$\ell ^{p}\subseteq \ell ^{q}$.

Allgemeiner ℓ^p-Raum

Völlig analog kann man zu einer beliebigen Indexmenge$I$den Maßraum mit dem Zählmaß betrachten. In diesem Fall nennt man den$L^{p}$-Raum$\ell ^{p}(I)$,es gilt

$\ell ^{p}(I)=\left\{\,\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}\;{\Bigg |}\;\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<\infty \,\right\}$,

wobei die Konvergenz der Summe implizieren möge, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind (siehe auchunbedingte Konvergenz). Ist die Menge$I$abzählbar unendlich, so ist ein solcher Raum isomorph zum oben definierten Folgenraum$\ell ^{p}$.Im Falle einer überabzählbaren Indexmenge kann man den Raum$\ell ^{p}(I)$alslokalkonvexendirekten Limesvon$\ell ^{p}$-Folgenräumen auffassen.

Sobolev-Räume quadratintegrierbarer Funktionen

Wählt man$\Omega =\mathbb {R} ^{n}$,${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$als dieborelsche σ-Algebraund$\mu =\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda$,wobei$s\in \mathbb {R}$und$\lambda$das$n$-dimensionaleBorel-Lebesgue-Maßist, dann erhält man den Maßraum$\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)$.Der Lebesgue-Raum$L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)$der bezüglich dieses Maßes quadratintegrierbaren Funktionen ist ein echter Unterraum des Raums${\mathcal {S}}'$dertemperierten Distributionen.Er wird unter derFourier-Transformation${\mathcal {F}}$bijektiv auf den Raum$H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$der quadratintegrierbaren Sobolev-Funktionenzur Differentiationsordnung$s$,ebenfalls ein echter Unterraum von${\mathcal {S}}'$,abgebildet. Dabei überführt die Fourier-Transformation die entsprechenden Normen ineinander:

$\left\|{\mathcal {F}}\left(f\right)\right\|_{H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}=\left\|f\right\|_{L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)}$

Für$s\geq 0$sind obige Räume dichte Teilräume von$L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\lambda \right)$,sodass man in diesem Fall auch die Fourier-Transformation auf$L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\lambda \right)$statt auf${\mathcal {S}}'$betrachten kann.

Wichtige Eigenschaften

Vollständigkeit

Nach demSatz von Fischer-Rieszsind die$L^{p}$-Räume vollständig für alle$1\leq p\leq \infty$,alsoBanachräume.

Einbettungen

Ist$\mu$ein endliches Maß, gilt also$\mu (\Omega )<\infty$,so gilt$L^{q}\subseteq L^{p}\;$für$1\leq p\leq q$(folgt aus derUngleichung der verallgemeinerten Mittelwerte)

Für allgemeine Maße gilt für$1<p\leq q\leq r\leq \infty$stets${\mathcal {L}}^{q}\supseteq {\mathcal {L}}^{p}\cap {\mathcal {L}}^{r}$.Dies wird auch alskonvexeoderHölder-Interpolationbezeichnet.

Dichtheit und Separabilität

Sei$\left(\Omega,{\mathcal {A}}\right)$einseparabler Messraum,$\mu$ein Maß auf$\left(\Omega,{\mathcal {A}}\right)$und$1\leq p<\infty$,dann ist$L^{p}\left(\Omega,{\mathcal {A}},\mu \right)$separabel.Der Raum$L^{\infty }\left(\Omega \right)$ist hingegen im Allgemeinen nicht separabel.

Sei$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$offen.Für$1\leq p<\infty$liegt derTestfunktionenraum$C_{c}^{\infty }(\Omega )$dichtin$L^{p}(\Omega )$.

Kompaktheit

DerSatz von Kolmogorow-Rieszbeschreibtpräkompaktebzw.kompakte Mengenin L^p-Räumen.

Dualräume und Reflexivität

→Hauptartikel:Dualität von Lp-Räumen

Für$1<p<\infty$sind dieDualräumeder$L^{p}$-Räume wieder Lebesgue-Räume. Konkret gilt

$L^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )'\cong L^{q}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu ),$

worin$q$durch${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$definiert ist, außerdem ist der kanonische,isometrischeIsomorphismus

$L^{q}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )\to L^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )'$

gegeben durch

$f\mapsto \left(g\mapsto \int _{\Omega }g(\omega )f(\omega )\,\mathrm {d} \mu (\omega )\right)\mathrm {.}$

Daraus folgt, dass für$1<p<\infty$die$L^{p}$-Räumereflexivsind.

Für$p=1$ist$L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )'$zu$L^{\infty }(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$σ-endlichoder allgemeinerlokalisierbarist. Ist$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$nicht$\sigma$-endlich, so lässt sich$L^{1}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )'$(wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum derlokal messbarenlokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.

Die Räume$L^{1}$und$L^{\infty }$sind nicht reflexiv.

Der HilbertraumL²

Definition

Der Raum$L^{2}$hat eine besondere Rolle unter den$L^{p}$-Räumen. Dieser ist nämlich selbst-dual und lässt sich als einziger mit einemSkalarproduktversehen und wird somit zu einemHilbertraum.Sei dazu wie oben$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$ein Maßraum,$(H,\langle \cdot,\cdot \rangle _{H})$ein Hilbertraum (häufig$\mathbb {C}$mit dem Skalarprodukt$\langle w,z\rangle ={\overline {w}}z$) und

$f\,,g\in L^{2}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;H)$.

Dann definiert

$\langle f,g\rangle _{L^{2}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;H)}:=\int _{\Omega }{\langle f(x),g(x)\rangle }_{H}\,\mathrm {d} \mu (x)$

ein Skalarprodukt auf$L^{2}$.Die von diesem Skalarproduktinduzierte Normist die oben definierte$L^{p}$-Norm mit$p=2$

$\|f\|_{L^{2}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;H)}={\sqrt {\int _{\Omega }\|f(x)\|_{H}^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)}}={\sqrt {\int _{\Omega }{\langle f(x),f(x)\rangle }_{H}\,\mathrm {d} \mu (x)}}\mathrm {.}$

Da diese Funktionen der Norm nach zum Quadrat integrierbar sind, werden die$L^{2}$-Funktionen auchquadratintegrierbarebzw.quadratisch integrierbare Funktionengenannt. Handelt es sich hierbei speziell um dieElemente des Folgenraums$\ell ^{2}$,so spricht man in der Regel von denquadratisch summierbarenFolgen.Dieser Hilbertraum spielt eine besondere Rolle in derQuantenmechanik.

Beispiel

Die Funktion$f\colon [1,+\infty ]\to \mathbb {R}$,welche durch$\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}$definiert ist, ist eine$L^{2}$-Funktion mit$L^{2}$-Norm:

$\left(\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\int _{1}^{\infty }x^{-2}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\lim _{b\to \infty }\left[{\frac {x^{-1}}{-1}}\right]_{1}^{b}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\lim _{b\to \infty }-{\frac {1}{b}}+1\right)^{\frac {1}{2}}=1<\infty$

Die Funktion ist aber keine$L^{1}$-Funktion, weil

$\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|^{1}\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left[\ln(x)\right]_{1}^{b}=\lim _{b\to \infty }\ln(b)=\infty \mathrm {.}$

Andere Beispiele für$L^{2}$-Funktionen sind dieSchwartz-Funktionen.

Erweiterter Hilbertraum

Wie weiter oben schon erwähnt, sind die$L^{p}$-Räume vollständig. Also ist der Raum$L^{2}$mit dem Skalarprodukt wirklich ein Hilbertraum. DerRaum der Schwartz-Funktionen${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$und derRaum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger(ein Teilraum des Schwartz-Raums)${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$liegendichtin$L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).$Daher erhält man die Inklusionen

${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$

und

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).$

Dabei wird mit$'$der entsprechendetopologische Dualraumbezeichnet, insbesondere heißt${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$Raum derDistributionenund${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$Raum dertemperierten Distributionen.Die Paare

$({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n}))$und$({\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n}))$

sind Beispiele fürerweiterte Hilberträume.

Bochner-Lebesgue-Räume

Die Bochner-Lebesgue-Räume sind eine Verallgemeinerung der bisher betrachteten Lebesgue-Räume. Sie umfassen im Gegensatz zu den Lebesgue-Räumen banachraumwertige Funktionen.

Definition

Sei$(E,\|{\cdot }\|)$einBanachraumund$(\Omega,{\mathcal {A}},\mu )$einMaßraum.Für$0<p<\infty$definiert man

${\mathcal {L}}^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;E,\|\cdot \|):=\left\{\,f\colon \Omega \to E\;{\Bigg |}\;f\mathrm {\ ist\ messbar},\,\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty \,\right\}$,

wobei sich „messbar “auf dieborelsche σ-AlgebraderNormtopologievon$E$bezieht. Das Integral wird auchBochner-Integralgenannt. Die Abbildung

$\|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}}:=\left(\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}$

ist ebenfalls eineHalbnormauf${\mathcal {L}}^{p}$,wenn$1\leq p$gilt. Die Bochner-Lebesgue-Räume$L^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;E,\|\cdot \|)$sind nun genauso wie die Lebesgue-Räume als Faktorraum definiert.

Eigenschaften

Für die Bochner-Lebesgue-Räume gelten ebenfalls die Aussagen, die unterEigenschaftenaufgeführt sind. Nur bei den Dualräumen gibt es einen Unterschied. Für alle$1<p<\infty$gilt nämlich

$L^{p}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;E)'\cong L^{q}(\Omega,{\mathcal {A}},\mu;E'),$

wobei$q$durch${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$definiert ist und$E'$den Dualraum von$E$bezeichnet. Entsprechend sind Bochner-Lebesgue-Räume nur dann reflexiv, wenn der Banachraum$E$reflexiv ist.Ebenso sind die Bochner-Lebesgue-Räume nur separabel, wenn der Zielraum$E$separabel ist.

Beispiel: Zufallsvariable

In derStochastikbetrachtet man$L^{p}$-Räume, die mit einemWahrscheinlichkeitsmaß$P$ausgestattet sind. Unter einerZufallsvariableversteht man dann eine messbare Funktion$X\colon \Omega \rightarrow K$.Weiter ist derErwartungswertfürquasiintegrierbare$X$als

$E(X):=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P\in K$

definiert. Zufallsvariablen, die$L^{1}$-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Des Weiteren sind Zufallsvariablen genau dann in$L^{2}$,wenn man ihnen eineVarianzzuweisen kann. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind$L^{p}$-Räume gerade in der Stochastik wichtig.

Den Lebesgue-Räumen verwandte Räume

Oftmals betrachtet man auch$L^{p}$-Funktionen für$p<1.$Außerdem werden in der Funktionalanalysis die Sobolev-Räume und die Hardy-Räume untersucht, welche man als Spezialfälle der$L^{p}$-Räume verstehen kann und in derDifferentialgeometriegibt es auf Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung der$L^{p}$-Räume.

L^pfürp< 1

Ein Kreis bzgl.(2/3)-Quasinormin zwei Dimensionen, d. h. in$L^{\frac {2}{3}}\left(\left\{0,1\right\},{\mathcal {P}}\left(\left\{0,1\right\}\right),\mu \right)$,mit$\mu$Zählmaß, ist eineAstroide.Die Kreisscheibe ist nichtkonvex.

Es gibt auch die Verallgemeinerung der$L^{p}$-Räume$L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$bzw.$L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu;E\right)$für$0<p<1$.Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert. Immerhin sind diese Räumevollständigetopologische Vektorräumemit derQuasinorm

${\begin{aligned}N_{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\f&\longmapsto \left(\int _{X}\|f\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\end{aligned}}$

bzw. derPseudonormoderFréchet-Metrik

${\begin{aligned}\varrho _{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\f&\longmapsto (N_{p}(f))^{p}=\int _{X}\|f\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \end{aligned}}$

oder dertranslationsinvariantenMetrik

${\begin{aligned}d_{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\times L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\(f,g)&\longmapsto \varrho _{p}(f-g)=\int _{X}\|f-g\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \mathrm {.} \end{aligned}}$

Für die Quasinorm wird dieDreiecksungleichungabgeschwächt, diepositive Homogenitätbleibt erhalten:

$N_{p}(f+g)\leq 2^{{\frac {1}{p}}-1}\cdot (N_{p}(f)+N_{p}(g)),\quad N_{p}(\lambda f)=|\lambda |N_{p}(f)\mathrm {.}$

Für die Fréchet-Metrik wird hingegen die positive Homogenität abgeschwächt, die Dreiecksungleichung bleibt erhalten:

${\begin{aligned}\varrho _{p}(f+g)&\leq \varrho _{p}(f)+\varrho _{p}(g),\\\varrho _{p}(\lambda f)&=|\lambda |^{p}\cdot \varrho _{p}(f){\stackrel {|\lambda |\leq 1}{\leq }}|\lambda |\varrho _{p}(f),\\\varrho _{p}(-f)&=\varrho _{p}(f)\mathrm {.} \end{aligned}}$

Diese Räume sind im Allgemeinen nichtlokalkonvex,derSatz von Hahn-Banachalso im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige “lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass dieschwache Topologieauf$L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$Punktetrennenkann. Ein derartiges Beispiel liefert$L^{p}([\,0,1\,])$mit$(L^{p}([\,0,1\,]))'=\{\,0\,\}$.

Siehe auch:Abschnitt „Der Fall 0 < p < 1 “in Dualität von Lp-Räumen

Raum der lokal integrierbaren Funktionen

→Hauptartikel:Lokal integrierbare Funktion

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine messbare Funktion, die nicht notwendigerweise auf ihrem kompletten Definitionsbereich integrierbar sein muss, jedoch muss sie für jedesKompaktum,das im Definitionsbereich enthalten ist, integrierbar sein. Sei also$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$offen. Dann heißt eine Funktion$f$lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum$K\subset \Omega$dasLebesgue-Integral

$p_{K}(f):=\int _{K}|f(x)|\,\mathrm {d} x<\infty$

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit${\mathcal {L}}_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$bezeichnet. Analog zu den${\mathcal {L}}^{p}$-Räumen bildet man auch hier Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, und erhält dann den Raum$L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$als Faktorraum. Mit der Familie aller Halbnormen$p_{K}$(für kompakte Mengen$K\subset \Omega$) wird dieser zu einemhausdorffschen,lokalkonvexenundvollständigentopologischen Vektorraum;durch Auswahl abzählbar vieler Kompakta, die$\Omega$geeignet approximieren, sogar einFréchet-Raum.Dieser Raum kann als Raum derregulären Distributionenverstanden werden und lässt sich daher stetig in den Raum derDistributioneneinbetten. Analog zu$L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$lassen sich auch die Räume$L_{\operatorname {loc} }^{p}(\Omega )$der lokal p-integrierbaren Funktionen definieren.

Sobolev-Räume

→Hauptartikel:Sobolev-Raum

Neben den schon angeführten Sobolev-Räumen mit quadratintegrierbaren Funktionen, gibt es noch weitere Sobolev-Räume. Diese werden mithilfe derschwachen Ableitungendefiniert und umfassen$p$-integrierbare Funktionen. Verwendet werden diese Räume insbesondere zur Untersuchung vonpartiellen Differentialgleichungen.

Hardy-Räume

→Hauptartikel:Hardy-Raum

Untersucht man statt der messbaren Funktionen nur dieholomorphenbeziehungsweise dieharmonischenFunktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden$L^{p}$-Räume Hardy-Räume genannt.

Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten

Auf einer abstrakten differenzierbarenMannigfaltigkeit,die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet ist, existiert zwar kein kanonisches Maß und somit kann man keine$L^{p}$-Funktionen definieren. Es ist aber trotzdem möglich, ein Analogon zum$L^{p}$-Raum zu definieren, indem man statt Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sogenannte 1-Dichten untersucht. Weitere Informationen sind im ArtikelDichtebündelzu finden.

Quellen

• Herbert Amann,Joachim Escher:Analysis.Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001,ISBN 3-7643-6613-3.