Magnetische Flussdichte

Physikalische Größe
Name	Magnetische Flussdichte
Formelzeichen	${\vec {B}}$
Größen-und Einheitensystem Einheit Dimension SI T M·I−1·T−2 Gauß,emE(cgs) Gs= 105·γ M½·L-½·T−1 esE(cgs) statT M½·L−3/2

Diemagnetische Flussdichte,auchmagnetische Induktion(nicht empfohlen),bisweilen in der fachlichen Umgangssprache nur „Flussdichte “, „Magnetfeld “oder „B-Feld “genannt, ist einephysikalische GrößederElektrodynamik.Sie ist dieFlächendichtedesmagnetischen Flusses,der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt.

Die magnetische Flussdichte${\vec {B}}$an einem Ort${\vec {r}}$ist eine gerichtete Größe, also einVektor,und wird aus demVektorpotential${\vec {A}}$hergeleitet.

Definition und Berechnung

Lorentzkraft auf einpositivgeladenes Teilchen der Geschwindigkeit v (links) bzw. das vom Strom I durchflossene Leiterstück der Länge s (rechts) im dazu senkrecht verlaufenden Magnetfeld der Flussdichte B.

Wie dieelektrische Feldstärke${\vec {E}}$ist auch die magnetische Flussdichte${\vec {B}}$historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung${\vec {F}}$aufbewegteelektrische Ladungen, definiert worden, die nach älterer Namenskonvention alsLorentzkraft,nach neuerer Konvention als magnetische Komponente der Lorentzkraft bezeichnet wird und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

${{\vec {F}}_{B}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}\quad {\text{bzw.}}\quad {{\vec {F}}_{B}}=I\cdot {\vec {s}}\times {\vec {B}}$

mit:

• ${{\vec {F}}_{B}}$– bewegungsbedingte Kraftwirkung auf die Ladung$q$im Magnetfeld
• $q\,$–elektrische Ladung,oder$I\,$–Stromstärke
• ${\vec {v}}$–Geschwindigkeitder Ladungsbewegung, oder${\vec {s}}$– Länge des Wegs des elektrischen Stroms$I$durch den untersuchten Leiter (Die Orientierung von${\vec {s}}$richtet sich nach dertechnischen Stromrichtung)
• ${\vec {B}}$– magnetische Flussdichte

Die erste der beiden oben aufgeführten Gleichungen wird vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen, z. B. Elektronen innerhalb einerBraunschen Röhre,benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen. Beide Gleichungen sind gleichwertig.

In den genannten Formeln ist${\vec {B}}$ein Vektor, der in Richtung der Feldlinien des erzeugenden Magnetfelds zeigt.

Verzichtet man auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung$F_{B}$aus demVektorproduktder beiden Vektoren${\vec {v}}$und${\vec {B}}$bzw.${\vec {s}}$und${\vec {B}}$zu bestimmen, kann$F_{B}$gemäß folgender Formel auch alsskalareGröße berechnet werden:

$F_{B}=|q\cdot v|\cdot B\sin \alpha \,\Leftrightarrow F_{B}=|I\cdot s|\cdot B\sin \alpha \,$

mit:

• $q\,$– elektrische Ladung, oder$I\,$– Stromstärke
• $v\,$– Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder$s\,$– Länge des Wegs des Stroms im Leiter
• $B\,$– Betrag der magnetischen Flussdichte
• $\alpha \,$– Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung und der Richtung des magnetischen Flusses, oder zwischen der Richtung des Stromflusses$I$und der Richtung des magnetischen Flusses.

Bewegt sich die elektrische Ladung$q$mit der Geschwindigkeit$v$senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da$\textstyle \sin \alpha$in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von$\textstyle B$gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung$\textstyle F_{B}$auf die Ladung bzw. den Leiter als Ganzes berechnet werden:

${B={\frac {F_{B}}{|q\cdot v|}}}\Leftrightarrow {B={\frac {F_{B}}{|I\cdot s|}}}$

Der Zusammenhang mit der magnetischenFeldstärke${\vec {H}}$ist:

${\vec {B}}=\mu \cdot {\vec {H}}$.

Dabei ist$\mu$diemagnetische Permeabilität.

Messung

Die magnetische Flussdichte kann mitMagnetometern,Hallsensorenoder Messspulen gemessen werden.

Maßeinheit

DieSI-Einheitder magnetischen Flussdichte ist dasTeslamit demEinheitenzeichenT:

$\left[B\right]=1\,\mathrm {T} =1\,{\mathrm {V\,s} \over \mathrm {m^{2}} }=1\,{\mathrm {N} \over \mathrm {A\,m} }$

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist außerdem dasGaußmit dem Einheitenzeichen G oder Gs, das in der Astronomie und der Technik noch verwendet wird. Es gilt 1 T = 10 000 G.

Spezialfälle

Im Folgenden werden der Einfachheit halber nur dieBeträgeder Flussdichten angegeben.

• magnetische Flussdichte im Abstand$r$von einem geraden stromdurchflossenen Leiter:

$B=\mu {\frac {I}{2\pi r}}$

(Die Richtung der Flussdichte ergibt sich aus derKorkenzieherregel.)

• im Inneren einer langen Spule:

$B=\mu {\frac {N\,I}{l}}$

(Hierbei sind$N$die Windungszahl und$l$die Länge der Spule. Streng genommen ist dies nur eine Näherungsformel, die nur unter folgenden Voraussetzungen gilt: Die Länge der Spule ist groß verglichen mit dem Radius der Spule, die Windungen sind sehr dicht und gleichmäßig und der betrachtete Ort befindet sich im Inneren der Spule und nicht in der Nähe der Spulenenden. Die Richtung der Flussdichte verläuft parallel zur Spulenachse. Für die Orientierung siehedort.Außerhalb der Spule ist die Flussdichte nahezu Null.)

• in der Mitte einerHelmholtz-Spulemit Radius$R$:

$B=\mu {\frac {8\,N\,I}{{\sqrt {125}}R}}$

• in einiger Entfernung${\vec {r}}$von einemmagnetischen Dipolmit dem Dipolmoment${\vec {m}}$:

${\vec {B}}({\vec {r}})\,=\,{\frac {\mu }{4\pi r^{2}}}\,{\frac {3{\vec {r}}({\vec {m}}\cdot {\vec {r}})-{\vec {m}}r^{2}}{r^{3}}}\.$

(Das Dipolmoment einer kreisförmigen Leiterschleife mit der orientierten Querschnittsfläche${\vec {A}}$ist${\vec {m}}=I{\vec {A}}$.)

Magnetische Flussdichteund magnetischer Fluss

Die magnetische Flussdichte${\vec {B}}$ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit demmagnetischen Fluss$\Phi \,$verknüpft:

$\Phi =\int {\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$.

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedesFlächenintegralvon${\vec {B}}$über eine beliebigegeschlosseneOberfläche$O$den Wert$0$annimmt:

$\oint _{\mathrm {O} }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$.

Diese Gleichung ist mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenenMaxwellschen Gleichung

${\mathrm {div} {\,{\vec {B}}}=0}$

sowie desGaußschen Satzes

$\oint _{\mathrm {O} }{\vec {\jmath }}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\int _{\mathrm {V} }{\mathrm {div} \,}{\vec {\jmath }}\cdot \mathrm {d} ^{3}r$

für ein beliebiges Vektorfeld${\vec {\jmath }}$und das von$O$eingeschlossene Volumen$V$.

Anschaulich gesprochen: Wenn man sich ein durch eine beliebig geformte geschlossene Fläche$O$eingeschlossenes Volumen$V$in einem magnetischen Feld vorstellt, fließt stets genauso viel „Magnetismus “aus$V$durch die Oberfläche$O$nach außen wie von außen hinein. Dies bezeichnet man als „Quellenfreiheitdes magnetischen Feldes “.

Größenbeispiele

Für Beispiele für verschiedene magnetische Flussdichten in der Natur und in der Technik → sieheListe von Größenordnungen der magnetischen Flussdichte

Literatur

Wikibooks: Der elektrische Strom – Eigenschaften und Wirkungen: Teil II– Lern- und Lehrmaterialien

• K. Küpfmüller, G. Kohn:Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung.16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Auflage. Springer, 2005,ISBN 3-540-20792-9.

Weblinks

• Online-Flussdichte-Berechnung von der Firma IBS Magnetsowie weitere Formeln und Downloads von Magnet-Berechnungstabellen.