Normierbarer Raum

Einnormierbarer Raumodernormierbarer Vektorraumist in derMathematikeintopologischer Vektorraum,dessen Topologie durch eineNormerzeugt werden kann. Normierbare Räume werden insbesondere in derTopologieund in derFunktionalanalysisuntersucht.

Definition

Eintopologischer Vektorraum$(V,{\mathcal {T}})$heißtnormierbar,wenn es eineNorm$\|\cdot \|$auf$V$gibt, sodass das Mengensystem$(U_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}$mit

$U_{\varepsilon }:=\{v\in V:\|v\|\leq \varepsilon \}$

eineUmgebungsbasisdesNullvektorsbezüglich der Topologie${\mathcal {T}}$bilden.Das ist äquivalent dazu, dass die Topologie auf$V$durch die Norm$\|\cdot \|$induziert wird.

Eigenschaften

Im Allgemeinen kann die Topologie eines normierbaren Raums durch mehrere Normen erzeugt werden. Sind$\|\cdot \|_{a}$und$\|\cdot \|_{b}$zwei Normen, die die gleiche Topologie erzeugen, so sind diese beiden Normen zueinanderäquivalent.Wird eine der möglichen Normen ausgewählt, dann wird$V$zu einemnormierten Raum,dessenNormtopologiemit${\mathcal {T}}$übereinstimmt.

Normierbarkeit bleibt unter folgenden Operationen erhalten:

• JederUntervektorraumeines normierbaren Raums ist wieder normierbar.
• DerFaktorraumeines normierbaren Raums nach einemabgeschlossenenUntervektorraum ist wieder normierbar.
• DasdirekteProdukt einerFamilienormierbarer Räume ist genau dann wieder normierbar, wenn nur endlich viele dieser Räume ungleich demNullvektorraumsind.
• DieVervollständigungeines normierbaren Raums ist wieder normierbar.

Kriterien für Normierbarkeit

Nach demNormierbarkeitskriterium von Kolmogoroffist einhausdorffschertopologischer Vektorraum genau dann normierbar, wenn er einebeschränkteundkonvexeNullumgebung besitzt. Insbesondere ist jeder hausdorffschelokalkonvexe Raummit beschränkter Nullumgebung normierbar.

Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume sind alle nicht lokalkonvexen Räume, insbesondereL^p([0,1]) mit 0 <p< 1,sowie alle unendlichdimensionalenMontel-Räume,insbesondere die Räume${\mathcal {D}}\left(\Omega \right)$,${\mathcal {S}}\left(\Omega \right)$,${\mathcal {E}}\left(\Omega \right)$,${\mathcal {E}}'\left(\Omega \right)$,${\mathcal {S}}'\left(\Omega \right)$und${\mathcal {D}}'\left(\Omega \right)$derDistributionentheorie.Weitere Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume liefert dieschwache Topologie$\sigma$auf unendlichdimensionalen normierten Räumen$E$,denn der Raum$\left(E,\sigma \right)$ist genau dann normierbar, wenn$E$endlichdimensional ist.

Siehe auch

• Quasinormierbarer Raum
• Metrisierbarer Raum

Literatur

• Jürgen Heine:Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen.2. Auflage. de Gruyter, 2012,ISBN 978-3-486-71968-0.
• John Leroy Kelley, Isaac Namioka:Linear Topological Spaces.Springer, 2013,ISBN 978-3-662-41914-4.
• Helmut H. Schaefer:Topological Vector Spaces(=Graduate Texts in Mathematics.Band3). Springer, 2013,ISBN 978-1-4684-9928-5.

Weblinks

• Norm.In:Michiel Hazewinkel(Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics.Springer-Verlag undEMSPress, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7(englisch,encyclopediaofmath.org).