Orthogonalität

Die beiden Strecken$[AB]$und$[CD]$sind orthogonal, da sie miteinander einen rechten Winkel bilden.

Der BegriffOrthogonalitätwird innerhalb derMathematikin unterschiedlichen, aber verwandten Bedeutungen verwendet.

In derElementargeometrienennt man zweiGeradenoderEbenenorthogonal(bzw.senkrecht), wenn sie einenrechten Winkel,also einen Winkel von 90°, einschließen.

In derlinearen Algebrawird der Begriff auf allgemeinereVektorräumeerweitert: zweiVektorenheißen zueinander orthogonal, wenn ihrSkalarproduktnull ist.

Diese Bedeutung wird auch aufAbbildungenzwischen Vektorräumen übertragen, die das Skalarprodukt und damit die Orthogonalität zweier Vektoren unverändert lassen.

Bezeichnungen

Der Begrifforthogonal(griechischὀρθόςorthos„gerade, aufrecht, richtig “undγωνίαgonia„Ecke, Winkel “) bedeutet „rechtwinklig “. Gleichbedeutend zurechtwinkligsteht auchnormal(lateinischnorma„Maß “, im Sinne des rechten Winkels). Das Wort „normal “wird in der Mathematik aber auch mit anderen Bedeutungen verwendet.Senkrechtkommt vomSenkblei(Lot) und bedeutet ursprünglich nurorthogonal zur Erdoberfläche(lotrecht). Dieser Sachverhalt wird auch durchvertikal(lat.vertex„Scheitel “) ausgedrückt.

Man bezeichnet zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren$a$und$b$,die orthogonal bzw. nicht orthogonal zueinander sind, mit

$a\perp b$bzw.$a\not \perp b$.

Basierend auf der englischen Bezeichnungperpendicularwird das Orthogonalitätssymbol inHTMLmit⊥und inLaTeX(innerhalb der Mathematik-Umgebung) mit\perpkodiert. ImZeichenkodierungsstandardUnicodebesitzt das Symbol ⊥ die PositionU+22A5.

Orthogonalität in der Geometrie

Elementargeometrie

In der Elementargeometrie heißen zweiGeradenoderEbenenorthogonal,wenn sie einenrechten Winkel,d. h. einen Winkel von 90° einschließen. Dabei sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:

• Eine Gerade heißtOrthogonale (Normale)auf eine Ebene, wenn ihrRichtungsvektoreinNormalenvektorder Ebene ist.
• Eine Ebene heißtOrthogonale (Normalebene)einer Ebene, wenn ihr Normalenvektor in dieser Ebene liegt.
• Eine Gerade/Ebene heißtOrthogonale (Normale)an eineKurve,wenn sie zurTangente/Tangentialebeneim Schnittpunkt orthogonal ist.

In einemorthogonalen Polygon(beispielsweise einemRechteck) bilden je zwei benachbarte Seiten einen rechten Winkel, bei einemorthogonalen Polyeder(beispielsweise einemQuader) je zwei benachbarte Kanten und damit auch benachbarte Seitenflächen.

Analytische Geometrie

Vektoren

Den Winkel zweier Vektoren${\vec {v}}$und${\vec {w}}$imkartesischen Koordinatensystemkann man über dasSkalarprodukt

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}|\,|{\vec {w}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {v}},{\vec {w}})$

berechnen. Dabei bezeichnen$|{\vec {v}}|$und$|{\vec {w}}|$jeweils dieLängender Vektoren und$\cos \sphericalangle ({\vec {v}},{\vec {w}})$den Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Bilden zwei Vektoren${\vec {v}}$und${\vec {w}}$einen rechten Winkel, dann gilt

${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}|\,|{\vec {w}}|\,\cos 90^{\circ }=0$.

Zwei Vektoren sind somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. DerNullvektorist dabei zu allen Vektoren orthogonal.

Eine Menge von Vektoren$\{{\vec {v}}_{j}:j=1,\dots,N\}$wird alspaarweise orthogonalbezeichnet, wenn für alle$i\not =j$gilt, dass${\vec {v}}_{i}$und${\vec {v}}_{j}$orthogonal zueinander sind.

Geraden und Ebenen

Zwei Geraden in der Ebene sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Im Raum oder in höheren Dimensionen ist kein Schnittpunkt nötig. Zwei Geraden können auch dann orthogonal sein, wenn siewindschiefzueinander sind. Eine Gerade und eine Ebene im Raum sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zu jedem Vektor in der Ebene ist.

Zwei Ebenen im euklidischen Raum sind orthogonal, wenn es eine Gerade gibt, die in einer der beiden Ebenen enthalten und orthogonal zur zweiten ist.

Sind zwei Geraden in der euklidischen Ebene durch die Gleichungen

$y=m_{1}x+b_{1}$und$y=m_{2}x+b_{2}$

gegeben, so sind sie genau dann orthogonal, wenn$m_{1}m_{2}=-1$ist, oder äquivalent: wenn$m_{1}=-{\tfrac {1}{m_{2}}}$gilt, denn genau dann sind mit

${\begin{pmatrix}1\\m_{1}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\m_{2}\end{pmatrix}}=0$

ihreRichtungsvektorenorthogonal.

Synthetische Geometrie

→Hauptartikel:Präeuklidische Ebene

In dersynthetischen Geometriekann eineOrthogonalitätdurch dieaxiomatischeBeschreibung einerOrthogonalitätsrelationzwischen Geraden auf gewissenaffinen Inzidenzebeneneingeführt werden.

Orthogonalität in der linearen Algebra

Orthogonale und orthonormale Vektoren

In der linearen Algebra werden in einer Erweiterung des Begriffseuklidischer Raumauch mehrdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen einbezogen, für die einSkalarproduktdefiniert ist. Das Skalarprodukt zweier Vektoren$v$und$w$ist dabei eine Abbildung, diegewisse Axiomeerfüllen muss und typischerweise in der Form$\langle v,w\rangle$geschrieben wird. Allgemein gelten dann zweiVektoren$v$und$w$aus einem solchenSkalarproduktraumalsorthogonal zueinander,wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null ist, das heißt, wenn

$\langle v,w\rangle =0$

gilt. Beispielsweise sind im Raum$\mathbb {R} ^{2}$die beiden Vektoren$v=(2,1)^{T}$und$w=(1,-2)^{T}$orthogonal bezüglich desStandardskalarprodukts,da

$\langle v,w\rangle =2\cdot 1+1\cdot (-2)=2-2=0$

ist. Eine Menge von Vektoren nennt man dann orthogonal oderOrthogonalsystem,wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren dieNormeins besitzen, nennt man die Menge orthonormal oder einOrthonormalsystem.Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immerlinear unabhängigund bildet deshalb eineBasisderlinearen Hülledieser Menge. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren wird dementsprechendOrthonormalbasisgenannt. Für je zwei Vektoren$v_{i},v_{j}$einer Orthonormalbasis gilt dabei

$\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$,

wobei$\delta _{ij}$dasKronecker-Deltabezeichnet. Endlichdimensionale Skalarprodukträume undHilberträumebesitzen immer eine Orthonormalbasis. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen und beiseparablenHilberträumen kann man eine solche mit Hilfe desGram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrenfinden. Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis ist dieStandardbasis(oder kanonische Basis)$\{e_{1},e_{2},e_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$des dreidimensionalen Raumes$\mathbb {R} ^{3}$.

Orthogonale Funktionen

Der Begriff Vektorraum kann dahingehend verallgemeinert werden, dass auch gewisseFunktionenräumeals Vektorräume behandelt werden können, und Funktionen werden dann als Vektoren angesehen. Zwei Funktionen$f$und$g$eines Skalarproduktraums heißen dann zueinander orthogonal, wenn

$\langle f,g\rangle =0$

gilt. Zum Beispiel ist dasL²-Skalarproduktfür stetige reellwertige Funktionen auf einem Intervall$[a,b]$durch

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx$

definiert. Bezüglich dieses Skalarprodukts sind beispielsweise auf dem Intervall$[-1,1]$die beiden Funktionen$f(x)=x$und$g(x)=x^{2}$zueinander orthogonal, denn es gilt

$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}x\cdot x^{2}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{3}\,dx=0$.

InvollständigenSkalarprodukträumen, sogenanntenHilberträumen,lassen sich soorthogonale Polynomeund Orthogonalbasen bestimmen. Allerdings sind viele interessante Räume, wie etwa dieL²-Räume,unendlichdimensional, siehe dazuHilbertraumbasis.In derQuantenmechanikbilden auch dieZuständeeines Systems einen Vektorraum und entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

Orthogonale Matrizen

→Hauptartikel:Orthogonale Matrix

Eine quadratische, reelleMatrix$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$heißt orthogonale Matrix, wenn sie mit dem Skalarprodukt verträglich ist, das heißt wenn

$\langle Av,Aw\rangle =\langle v,w\rangle$

für alle Vektoren$v,w\in \mathbb {R} ^{n}$gilt. Eine Matrix$A$ist genau dann orthogonal, wenn ihre Spalten (oder ihre Zeilen), als Vektoren aufgefasst, zueinander orthonormal (nicht nur orthogonal) sind. Äquivalent dazu ist die Bedingung$A^{T}A=I$bzw.$A^{T}=A^{-1}$.Orthogonale Matrizen beschreibenDrehungenundSpiegelungenin der Ebene oder im Raum. Die Menge aller orthogonalen Matrizen der Größe$n\times n$bildet dieorthogonale Gruppe$\mathrm {O} (n)$.Die Entsprechung bei Matrizen mit komplexen Einträgen heißtunitäre Matrix.

Orthogonale Abbildungen

→Hauptartikel:Orthogonale Abbildung

Sind$V$und$W$zwei reelleSkalarprodukträume,dann heißt eineAbbildung$f\colon V\to W$orthogonal, wenn

$\langle f(v),f(w)\rangle =\langle v,w\rangle$

für alle Vektoren$v,w\in V$gilt. Eine orthogonale Abbildung erhält damit das Skalarprodukt zweier Vektoren und bildet so orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren ab. Eine Abbildung zwischen endlichdimensionalen Skalarprodukträumen ist genau dann orthogonal, wenn ihreMatrixdarstellungbezüglich einer Orthonormalbasis eine orthogonale Matrix ist. Weiter ist eine orthogonale Abbildung eineIsometrieund erhält somit auch Längen und Abstände von Vektoren.

Orthogonale Abbildungen sind nicht zu verwechseln mitzueinanderorthogonalen Abbildungen. Dabei handelt es sich um Abbildungen, die selbst als Vektoren aufgefasst werden und deren Skalarprodukt gleich null ist. Abbildungen zwischen komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhalten, werden alsunitäre Abbildungenbezeichnet.

Orthogonale Projektionen

→Hauptartikel:Orthogonalprojektion

Ist$V$ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so gibt es zu jedemUntervektorraum$U$die Projektion entlang des orthogonalen Komplements von$U$,welche Orthogonalprojektion auf$U$genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung$P\colon V\to V$mit der Eigenschaft, dass für alle$v\in V$

• $P(v)\in U$und
• $\langle P(v),u\rangle =\langle v,u\rangle$für alle$u\in U$

gilt. Ist$V$ein unendlichdimensionalerHilbertraum,so gilt diese Aussage mit demProjektionssatzentsprechend auch fürabgeschlosseneUntervektorräume$U$.In diesem Fall kann$P$stetig gewählt werden.

Orthogonalität in normierten Räumen

In einemSkalarproduktraumist$\langle v,w\rangle =0$äquivalent zu$\|v\|\leq \|v+\lambda w\|$für alleSkalare$\lambda$.Das motiviert folgende Definition:

Für$v,w$aus einem normierten Raum$(V,\|\cdot \|)$sei$v\perp w:\Leftrightarrow \|v\|\leq \|v+\lambda w\|$für alle$\lambda$

Dieser Orthogonalitätsbegriff in normierten Räumen ist wesentlich schwächer als in Skalarprodukträumen. Im Allgemeinen ist Orthogonalität weder symmetrisch noch additiv, das heißt aus$v\perp w$folgt im Allgemeinen nicht$w\perp v$und aus$v\perp w_{1}$und$v\perp w_{2}$folgt im Allgemeinen nicht$v\perp (w_{1}+w_{2})$.

Dieser Umstand führt zu weiteren Begriffsbildungen, denn man wird sich für solche normierten Räume interessieren, in denen die Orthogonalität additiv ist. Es stellt sich heraus, dass das genau dieglatten normierten Räumesind.

Orthogonale Koordinatensysteme

Bei orthogonalenKoordinatensystemenschneiden sich an jedem Punkt dieKoordinatenliniensenkrecht, d. h. die Tangentenvektoren an diese Kurven stehen paarweise aufeinander senkrecht. Neben den kartesischen Koordinaten gibt es auch orthogonalekrummlinige Koordinaten.Die wichtigsten Beispiele hierfür sind diePolarkoordinatenin der Ebene sowie dieZylinder-undKugelkoordinatenim dreidimensionalen Raum. Im Gegensatz zu den kartesischen Koordinaten gibt es bei den krummlinigen Koordinaten keine globaleBasisfür den gesamten Raum, sondern lokale Basisvektoren an jedem einzelnen Punkt. Diese können als Tangentenvektoren zu den Koordinatenlinien berechnet werden:siehe Beispiel für Polarkoordinaten.

Anwendungen

Orthogonalität wird in vielen Anwendungen genutzt, weil dadurch Berechnungen einfacher oder robuster durchgeführt werden können. Beispiele sind:

• dieFourier-Transformationund dieWavelet-Transformationin derSignalverarbeitung
• QR-Zerlegungenvon Matrizen zur Lösung vonEigenwertproblemen
• dieGauß-Quadraturzur numerischen Berechnung vonIntegralen
• orthogonale Felderin derstatistischen Versuchsplanung
• orthogonale Codes, etwa derWalsh-Code,in derKanalkodierung
• dasOrthogonalverfahrenzur Vermessung in derGeodäsie

Siehe auch

• Parallelität (Geometrie)
• Orthogonalitätsrelationenin der Gruppentheorie

Literatur

• Elemente der Mathematik. Lineare Algebra/Analytische Geometrie Leistungskurs.Schroedel Verlag GmbH, 2004, S. 64.
• W. Werner:Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik.Band1.Springer Vieweg,ISBN 978-3-658-25271-7.

Weblinks

Wiktionary: orthogonal– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Video:Skalarprodukt Teil 2, Orthogonalität.Jörn Loviscach2011, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek(TIB),doi:10.5446/10213.