Parsevalsche Gleichung

Dieparsevalsche Gleichung(nachMarc-Antoine Parseval), auch bekannt alsAbgeschlossenheitsrelation,aus dem Gebiet derFunktionalanalysisist die allgemeine Form desSatzes des PythagorasfürInnenprodukträume.Zugleich ist sie wichtig für Orthogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für dieverallgemeinerte Fouriertransformation.

Formulierung

Es seien einPrähilbertraum$V$undOrthonormalsystem$S\subset V$gegeben – d. h. alle Elemente von$S$sind zueinanderorthogonalund haben zudem dieNorm$1$.$S$ist genau dann ein vollständiges Orthonormalsystem (Orthonormalbasis) von$V$,wenn für alle$v\in V$die parsevalsche Gleichung

$\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle =\sum _{s\in S}|\langle v,s\rangle |^{2}$

erfüllt ist. Hierbei bezeichnet$\langle \cdot,\cdot \rangle$das Innenprodukt und$\|\cdot \|$diezugehörige Normvon$V$.

Ist$S$ein unvollständiges Orthonormalsystem, so gilt immerhin noch diebesselsche Ungleichung.

Anwendungen

Die Gleichung hat die physikalische Aussage, dass dieEnergieeinesSignalsimImpulsraumbetrachtet mit der Energie des Signals imOrtsraumidentisch ist.

Eine andere Formulierung der Gleichung ist die Aussage, dass dieL²-Normeiner Funktion gleich der $\ell ^{2}$- beziehungsweise$L^{2}(\mathbb {Z} )$-Norm der Koeffizienten derFourierreihedieser Funktion ist. Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist derSatz von Plancherel.

Spezialfall der Fourierreihe

→Hauptartikel:Satz von Parseval

Falls$a_{k},b_{k}$die Fourierkoeffizienten der (reellen)Fourierreihenentwicklungder$2\pi$-periodischen reellwertigen Funktion$f$sind, das heißt

$f(x)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\,\cos(kx)+b_{k}\,\sin(kx)\right)$,

dann gilt die Gleichung

${\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}).$

Diese Identität ist ein Spezialfall der oben beschriebenen allgemeinen parsevalschen Gleichung, wenn man als Orthonormalsystem die trigonometrischen Funktionen${\tfrac {1}{\sqrt {2}}},\,\cos(nx),\,\sin(nx)$,$n=1,2,\dotsc$,nimmt, mit dem Skalarprodukt

$\langle f,\,g\rangle ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\;dx$.

Satz von Plancherel

→Hauptartikel:Satz von Plancherel

Der parsevalschen Gleichung für die Fourierreihe entspricht eine Identität derFouriertransformation,die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird:

Falls${\hat {f}}(\xi )$die Fouriertransformierte von$f(x)$ist, dann gilt die Gleichung

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\mathrm {d} \xi$

Die Fouriertransformation ist damit eineIsometrieim HilbertraumL².Diese Gleichung entspricht der parsevalschen, da der Fouriertransformation das Orthogonalsystem derHermiteschen Funktionenzugeordnet ist.

Literatur

• Dirk Werner:Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin,ISBN 978-3-540-72533-6