Pauli-Prinzip
DasPauli-Prinzip(auchPauli-VerbotoderPaulisches Ausschließungsprinzip) ist einphysikalisches Gesetz,das sich in derQuantenphysikauswirkt. Es wurde 1925 vonWolfgang Paulizur quantentheoretischen Erklärung desAufbaus der Atomeformuliert und besagte in seiner ursprünglichen Fassung, dass je zweiElektronenin einem Atom nicht in allenQuantenzahlenübereinstimmen können. In der modernen Formulierung besagt das Pauli-Prinzip, dass dieWellenfunktioneines Quantensystems in Bezug auf Vertauschung von identischenFermionenantisymmetrischist. Da auch dieQuarksals Bausteine vonProtonenundNeutronenzu den Fermionen zählen, gilt das Pauli-Prinzip für die gesamte Materie im allgemein verstandenen Sinne: Identische Fermionen „schließen sich gegenseitig aus “, können also nicht zur selben Zeit am selben Ort (Raumzeitpunkt) existieren. Nur so lässt sich der differenzierte Aufbau der Materie mit Atomen und Molekülen verstehen.[1]Das Pauli-Prinzip bestimmt demnach nicht nur den Aufbau desAtoms(z. B. imSchalenmodell der Atomhülleund desAtomkerns), sondern auch den größerer Strukturen. Eine Folge ist der Widerstand, denkondensierte Materieweiterer Kompression entgegensetzt.[2]
Das Pauli-Prinzip ist nicht zu verwechseln mit demPauli-Effekt.
Vereinfachte Darstellung
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]In der Quantenmechanik sind identische Teilchenununterscheidbar.Das bedeutet, dass etwa der Verlauf eines Experiments oder ganz allgemein die Entwicklung eines physikalischen Systems sich nicht ändern, wenn zwei identische Teilchen vertauscht werden. In der Quantentheorie hängen die Messwerte, die ein System erzeugt, vomBetragsquadratder Gesamt-Wellenfunktion des Systems ab. Dieses Betragsquadrat muss also nach der Vertauschung zweier identischer Teilchen gleich bleiben – was in diesem Fall bedeutet, dass sich durch die Vertauschung nur derPhasenanteilder Wellenfunktion ändern darf. In einer Welt mit drei Raumdimensionen kann dieser Phasenfaktor nurodersein. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion unter Vertauschung gleich bleibt, heißenBosonen,Teilchen mit einem Vorzeichenwechsel in der Wellenfunktion heißenFermionen.Der Vorzeichenwechsel wird alsAntisymmetrieder Wellenfunktion bezüglich Teilchenvertauschungbezeichnet.[3]
In seiner speziellen und zuerst beobachteten Form besagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung imOrbitalmodellnotwendig sind, übereinstimmen. Wenn zwei Elektronen beispielsweise gleiche Haupt-, Neben- und magnetische Quantenzahlen haben, müssen sie sich in der vierten Quantenzahl, in diesem Fall der Spin-Quantenzahl, unterscheiden. Da diese nur die Werteundannehmen kann, können sich in einem einzigenAtomorbitalmaximal zwei Elektronen aufhalten. Diese Tatsache bestimmt maßgeblich den Aufbau der chemischen Elemente (siehePeriodensystem).
Als Berechnungsbeispiel kann die Lösung derSchrödingergleichungfür das einfachste vom Pauli-Prinzip „betroffene “Atom, dasHeliumatom,dienen.
Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Formulierung
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]DieGesamtwellenfunktioneines Systems vonidentischenFermionenmuss total antisymmetrisch bezüglich jeder VertauschungPzweier Teilchen sein:
Dabei istder Ort,derSpindes-ten Fermions undjederPermutationsoperator,der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:
Anschauliche Deutung
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion
Fürergibt sich daraus,d. h..Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ortmit demselben Spinfindet, null sein.
In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohneSpin-Bahn-Kopplungstets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktionals Produkt von Ortswellenfunktionund Spinwellenfunktiondarstellbar, also
Wegen der Antisymmetrie ist dann.Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also,so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionenoderäquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand,dann istsymmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.
Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.
Gültigkeit
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]In der Natur kommen Teilchen mithalbzahligemSpin (Fermionen) und Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) vor. DasSpin-Statistik-Theoremliefert die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin derFermi-Dirac-Statistikfolgen, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin derBose-Einstein-Statistikfolgen.
Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt für alleTeilchenmit halbzahligem Spin und nur für diese. Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegennicht.Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zumBose-Einstein-Kondensat.
Permutations- und Drehverhalten
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligenSpinoren.In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von,mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).
Konsequenzen
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]Das Pauli-Prinzip führt zurAustauschwechselwirkungund erklärt die Spinordnung inAtomen(Hundsche Regeln) undFestkörpern(Magnetismus).
In der Astrophysik wird durch das Pauli-Prinzip erklärt, dass alte Sterne mit Ausnahme derSchwarzen Löcher– zum BeispielWeiße ZwergeoderNeutronensterne– nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Die Fermionen erzeugen einen Gegendruck, denEntartungsdruck,der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt.
Bei Streuprozessen zweier identischer Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei verschiedene, aber von außen nicht unterscheidbare Möglichkeiten. Dies muss bei der theoretischen Berechnung vonWirkungsquerschnittundStreuwellenfunktionberücksichtigt werden.
Einzelnachweise
[Bearbeiten|Quelltext bearbeiten]- ↑Eintrag zuPauli-Prinzip.In:Römpp Online.Georg Thieme Verlag, abgerufen am 28. Dezember 2014.
- ↑Pauli-Prinzip.In:Lexikon der Physik,Spektrum.de, abgerufen am 28. Dezember 2014.
- ↑Peter W. Atkins:Quanten - Begriffe und Konzepte für Chemiker.VCH,ISBN 3-527-28423-0