Principia Mathematica

Titelseite derPrincipia Mathematica(Kurzausgabe bis *56)

Principia Mathematica(„mathematische Prinzipien “bzw. „Mathematische Grundlagen “) ist ein Werk in drei Bänden über dieGrundlagen der MathematikvonBertrand RussellundAlfred North Whitehead,erstmals erschienen zwischen 1910 und 1913. DiePrincipia Mathematicastellen den Versuch dar, alle mathematischen Wahrheiten aus einemwohldefiniertenSatz vonAxiomenundSchlussregeln(Inferenzregelndersymbolischen Logik) herzuleiten (Logizismus). Auf mehreren Hundert Seiten wird zunächst ein Repertoire aus Begriffen und Symbolen dargelegt, welches das Fundament zur späteren Herleitung der Arithmetik bildet. Die Herleitung der Mathematik aus der Logik sollte einige bis dahin verbreitete Anschauungen über das Wesen mathematischer Erkenntnisse widerlegen, nämlich, dass diese weder empirisch nochsynthetisch apriorischseien (Letzteres hatte Kant angenommen), sondern sprachlicher Natur und damit formallogisch begründbar, alsoanalytischapriorisch.

Behandelte Themengebiete

Principia Mathematicahatte laut seiner Einführung drei Ziele: (1) die Ideen und Methoden dermathematischen Logikso weit wie möglich zu analysieren und die Anzahl der primitiven Begriffe, Axiome und Schlussregeln zu minimieren; (2) mathematische Sätze in der symbolischen Logik präzise auszudrücken und dabei die bequemsteNotationzu verwenden, die einen präzisen Ausdruck erlaubt; (3) die Paradoxa zu lösen, die die Logik und dieMengenlehrean der Wende zum 20. Jahrhundert plagten, wie z. B. dieRussellsche Antinomie.

DiePrincipia Mathematicabehandeln nur dieMengentheorie,dieKardinalzahlen,dieOrdinalzahlenund dieReellen Zahlen;tiefergehende Sätze aus der reellenAnalysissind nicht enthalten, aber gegen Ende des dritten Bandes wird klar, dass die gesamte bekannte Mathematik im Prinzip aus dem vorgestellten Formalismus entwickelt werden kann.

Vorläufer

Eine wichtige Inspiration und Grundlage derPrincipia MathematicabildetGottlob FregesArithmetik von 1893, deren Basis ein Mengenkalkül ist, in dem Russell dieRussellsche Antinomieentdeckte, die sich aus derMenge aller Mengen, die sich nicht selbst enthaltenergibt. Diesen Widerspruch und andere Widersprüche dernaiven Mengenlehreversuchte er durch seineTypentheorievon 1908 zu lösen, die er dann zur Grundlage derPrincipia Mathematicamachte.

Das zweite wichtige Fundament derPrincipia Mathematicaist die Formelsammlung (Formulaire) vonGiuseppe Peanoin den Fassungen von 1897/98 und 1903; von dort übernahm Russell diesymbolische Notationund viele Formeln, bereits auch schon in seiner Typentheorie.

Auszug ausPrincipia Mathematicazur Beweisführung für 1+1=2

Principia Mathematicaist nicht zu verwechseln mit RussellsThe Principles of Mathematicsvon 1903.Principia Mathematicawar ursprünglich als Folgeband zu Russells Principles von 1903 gedacht, aber wiePrincipia Mathematicafeststellt, wurde dies aus praktischen und philosophischen Gründen ein undurchführbarer Vorschlag: „Das vorliegende Werk sollte ursprünglich in einem zweiten Band derPrinciples of Mathematicsenthalten sein… Aber als wir vorankamen, wurde es immer offensichtlicher, dass das Thema sehr viel umfangreicher ist, als wir angenommen hatten; außerdem sind wir in vielen grundlegenden Fragen, die in der früheren Arbeit unklar und zweifelhaft geblieben waren, nun zu Lösungen gelangt, die wir für zufriedenstellend halten. “

Folgen

Die offene Frage, ob dieses System von Axiomen und Ableitungsregeln widerspruchsfrei ist und ob sichallewahren Sätze auf diese Weise herleiten ließen, versuchte dasHilbertprogrammab 1922 positiv zu entscheiden. Logiker, die sich daran beteiligten, legten in der Regel diePrincipia Mathematicazugrunde, etwaPaul BernaysundKurt Gödel,die für Teilsysteme die Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit nachwiesen. Gödel bewies dann aber 1931 in seiner ArbeitÜber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.einenUnvollständigkeitssatz,der zeigte, dass diese Erwartung, die man in diePrincipia Mathematicasetzte, nicht erfüllbar ist.

Ausgaben und Teilübersetzungen

• Russell, Whitehead:Principia Mathematica.Cambridge University Press, 3 Bände, 1910 bis 1913, 2. Auflage 1925 bis 1927, Reprint 1962,ISBN 978-0-521-06791-1,Reprint 1997ISBN 978-0-521-62606-4
  • Die erste Auflage hatte 666, 742 und 491 Seiten und erschien in 750 (Band 1) bzw. je 500 Exemplaren (Band 2,3). Die zweite Auflage hatte 674, 772 und 491 Seiten.
• Russell, Whitehead:Einführung in die Mathematische Logik,München, Berlin: Drei Masken 1932 (Übersetzung der Einleitungen)
• Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, Kurt Gödel:Principia Mathematica. Vorwort und Einleitungen.Suhrkamp 2008.ISBN 978-3-518-28193-2

Literatur

• A. Garciadiego:Bertrand Russell and the origin of set-theoretic paradoxes,Birkhäuser 1992
• Ivor Grattan-Guinness:A. N. Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica, First Edition (1910-1913),in: I. Grattan-Guinness (Hrsg.),Landmark writings in western mathematics (1640-1940),Elsevier, 2005, S. 784–794
• I. Grattan-Guinness:The search for mathematical roots, 1870–1940. Logics, set theories and the foundations of mathematics from Cantor through Russell to Gödel,Princeton University Press 2000
• Bernard Linsky:The Evolution of Principia Mathematica: Bertrand Russell's Manuscripts and Notes for the Second Edition,Cambridge University Press 2011
• Esther Ramharter, Georg Rieckh:Principia Mathematica auf den Punkt gebracht.öbvhpt 2007.ISBN 978-3-209-05547-7
• F. Rodriguez-Consuegra:The mathematical philosophy of Bertrand Russell: origin and developments,Birkhäuser 1991

Weblinks

Commons:Principia Mathematica– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Principia Mathematica, 1. Auflage 1910–1913, in der Onlineversion der University of Michigan
• Bernard Linsky:Principia Mathematica.In: Edward N. Zalta (Hrsg.):Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• A. D. Irvine:The Notation inPrincipia Mathematica.In: Edward N. Zalta (Hrsg.):Stanford Encyclopedia of Philosophy.