Punkt (Geometrie)

EinPunkt(alsRaumpunkt) ist ein grundlegendes Element derGeometrie.Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor. BeimaxiomatischenZugang zur Geometrie (Synthetische Geometrie) existieren gleichberechtigt neben den Punkten auch andere Klassen von geometrischen Objekten, wie zum Beispiel dieGeraden.In deranalytischen Geometrieund derDifferentialgeometriewerden dagegen alle anderen geometrischen Objekte alsMengenvon Punkten definiert. In derFunktionalanalysiskönnenFunktionenals Punkte einesFunktionenraumesbetrachtet werden. In derHöheren Geometriewerden zum BeispielEbeneneines dreidimensionalenprojektiven Raumesals Punkte des zugehörigenDualraumsaufgefasst.

Der Punkt zählt als speziellerKreismit einemRadiusvon null zu denKegelschnitten.Früher wurde ein solcher Punkt auch mathematischer Punkt genannt.

Antike Geometrie bis zur synthetischen Geometrie

NachProkloswarPythagorasder Erste, der eine Definition eines Punktes anbot, alsEinheit (monas), die eine Position hat.Der griechische MathematikerEuklidbezeichnet um 300 v. Chr. in seinem WerkDie Elementein der ersten Definition den Punkt als „etwas, das keine Teile hat “und verwendet die Bezeichnungsemeion(altgriechischσημεῖονeigentlich „Zeichen “, in der Mathematik speziell „Punkt “).Es handelt sich um eine abstrakte Bezeichnung, die wohl als Antwort auf in der platonischen Schule ausgiebig diskutierten Schwierigkeiten zu verstehen ist, den Zusammenhang zwischen Punkten, die keine Ausdehnung haben und den aus ihnen zusammengesetzt vorgestellten Linien, die eine Ausdehnung haben, zu erfassen; beispielsweise in Aristoteles’De generatione et corruptione.

FürSätzeund ihreBeweisein der synthetischen Geometrie spielt die wahre Natur von Punkten und Linien jedoch keine Rolle, sondern lediglich die durch Axiome festgelegte Beziehung der Objekte untereinander.David Hilbertwird der Ausspruch zugeschrieben, man könne statt „Punkte, Geraden und Ebenen “jederzeit auch „Tische, Stühle und Bierseidel “sagen; es komme nur darauf an, dass die Axiome erfüllt sind.

Ein Punkt ist in diesem Fall ein Begriff, auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom ausHilberts Axiomensystem:

Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

Die Bedeutung des BegriffsPunktergibt sich aus der Gesamtheit des Axiomensystems. Eine Interpretation als Objekt ohne Ausdehnung ist nicht zwingend.

In derprojektiven Ebenesind die BegriffePunktundGeradesogar vollständig austauschbar. Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

Analytische Geometrie

→Hauptartikel:Analytische Geometrie

In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als$n$-dimensionalerVektorraumüber einem Körper$K$dargestellt. Jedes Element dieses Vektorraums wird als Punkt bezeichnet. EineBasislegt einKoordinatensystemfest und die Komponenten eines Vektors bezüglich dieser Basis werden als die Koordinaten des Punktes bezeichnet. Ein Punkt hat dabei dieDimensionnull.

Alle anderen geometrischen Objekte werden als Mengen von Punkten definiert. So wird etwa eineGeradeals eindimensionaleraffiner Unterraumund eineEbeneals zweidimensionaler affiner Unterraum definiert. EineSphärewird als die Menge der Punkte definiert, welche zum Mittelpunkt einen bestimmten Abstand haben.

Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie werden die Elemente einerMannigfaltigkeitals Punkte bezeichnet. Dies sind in diesem Fall keine Vektoren, ein Punkt kann aber mit Hilfe einer lokalen Karte mit Koordinaten versehen werden.

Zitate

VonOskar Perronstammt die folgende Bemerkung:

„Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt. “

Literatur

• Manon Baukhage:Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her – so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt;in: "P.M. – Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58–65.

Weblink

• Definition des Punktes nach Euklid (Leipzig 1549)[2]