Rechteckfunktion

Rechteckfunktion

DieRechteckfunktion,auchrect-Funktion, ist eineunstetigemathematische Funktionmit folgender Definition:

$\operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich derSignalverarbeitungüblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:

$\operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

Allgemeines

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe derHeaviside-Funktion$\Theta (x)$ausgedrückt werden als:

$\operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

Dabei ist$\Theta (0)={\tfrac {1}{2}}$gesetzt.

DieFourier-Transformationder Rechteckfunktion ergibt diesinc-Funktion$\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$:

${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)$

Das gilt auch für$\operatorname {rect_{d}} (t)$.Umgekehrt gilt allerdings formal nicht

${\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)$.

Denn es ist$\operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$,und somit darf die Fouriertransformation nicht angewendet werden.

Verschiebung und Skalierung

Eine Rechteckfunktion, die bei$t_{0}$zentriert ist und eine Dauer von$T$hat, wird ausgedrückt durch

$\operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.$

Ableitung

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sieschwach differenzierbar.Allerdings ist eineDistributionenableitungdurch die diracscheDelta-Distribution$\delta$möglich:

$\operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

Weitere Zusammenhänge

DieFaltungzweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt dieDreiecksfunktion,die Integration eineRampenfunktion.Eine Form mitperiodischer Fortsetzungder Rechteckfunktion sind dieRademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit$n\in \mathbb {N}$Faltungen

$\underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}$

ergibt für$n\to \infty$mit einer geeigneten Skalierung dieGaußsche Glockenkurve.

Siehe auch

• Rechteckschwingung:Anwendung in der Signaltheorie und Elektrotechnik

Weblinks

• Eric W. Weisstein:Rectangle Function.In:MathWorld(englisch).