Rotverschiebung

Illustration der Rotverschiebung derSpektrallinienfür einen weit entferntenSupergalaxienhaufenrechts im Vergleich zur Sonne links

DieRotverschiebungist in derAstronomieundKosmologiedie Lageveränderung des Spektrums und insbesondere identifizierterSpektrallinienimEmissions-undAbsorptionsspektrumastronomischer Objekte in Richtung der größerenWellenlängen.Die Rotverschiebung ist definiert als Verhältnis der Wellenlängenänderung zur ursprünglichen Wellenlänge:

$z:={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}-\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}}{\lambda _{0}}}-1$

Der Name bezieht sich auf das rote Licht am langwelligen Ende dessichtbaren Spektrums.BeiInfrarot-Emission verschieben sich die Spektrallinien entsprechend in die Richtung der noch längerwelligen Terahertzstrahlung. Eine Verschiebung zu kürzeren Wellenlängen wird alsBlauverschiebungbezeichnet.

Festgestellt wird die Rotverschiebung durch den Vergleich bekannter Atom- und Molekülspektren mit den mittelsSpektroskopiegemessenen Werten, d. h. nach Analyse der Spektrallinien derEmissionenoderAbsorptionenim Sternenlicht, beispielsweise des Wasserstoffs.

Ursachen

Ursachen der Rotverschiebung können sein:

1. Eine Relativbewegung von Quelle und Beobachter (Doppler-Effekt)
2. UnterschiedlicheGravitationspotentialevon Quelle und Beobachter (Relativität)
3. Das expandierende Universum zwischen Quelle und Beobachter (Kosmologie)

Diese zunächst verschieden erscheinenden und unterschiedlich hergeleiteten Effekte können im Rahmen derAllgemeinen Relativitätstheorieauf eingemeinsames geometrisches Konzeptzurückgeführt werden.

Messmethoden

Siehe auch:Tests der allgemeinen Relativitätstheorie

In derAstronomiewird die Rotverschiebung durch Methoden derSpektralanalysegemessen. Sie sind heute durch digitale statt fotografischer Erfassung wesentlich genauer geworden. Doch um Spektrallinien gut erfassen zu können, müssen die Galaxien eine gewisse Mindesthelligkeitaufweisen. Rotverschiebungen von Galaxien werden im Rahmen vonDurchmusterungenwie demSloan Digital Sky Surveyregelmäßig neu bestimmt.

Die gravitative Rotverschiebung konnte mit Hilfe desMößbauer-Effektsin Laborexperimenten wie demPound-Rebka-Experimentnachgewiesen werden.

Die Entwicklung vonAtomuhrenhat es möglich gemacht, den Einfluss der Gravitation auf die Zeit auch direkt zu messen. Im Prinzip ist diese Messung eine Variation der Nachweise der gravitativen Rotverschiebung. 1971 wurde beimHafele-Keating-ExperimentdurchJosef HafeleundRichard Keatingmit Caesiumuhren in Flugzeugen der durch die Gravitation verursachte Gangunterschied von Uhren in verschiedenen Höhen gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie mit etwa 10 % Genauigkeit eindeutig nachgewiesen. Durch ein ähnliches Experiment von C. Alley konnte imMaryland-Experimentdie Genauigkeit 1976 auf 1 % gesteigert werden.Robert VessotundMartin Levinepublizierten 1979 Ergebnisse eines ähnlichen Experiments mit Hilfe von Raketen und gaben eine Genauigkeit von 0,02 % an. Beim heutigen satellitengestütztenGPS-Navigationssystemmüssen Korrekturen sowohl gemäß der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt werden, wobei Effekte durch die allgemeine Relativitätstheorie überwiegen. Umgekehrt kann dies auch als Bestätigung dieser Theorien angesehen werden.

Rot- und Blauverschiebung durch relative Bewegung

Bewegung einer Lichtquelle relativ zum Beobachter

Rot- und Blauverschiebung sind Begriffe aus derSpektroskopie,bei der manSpektrallinienvonAtomkernen,AtomenundMolekülenuntersucht. Diese können inAbsorptionoderEmissionauftreten, je nachdem, obEnergieaufgenommen oder abgegeben wird. Die Energie wird durchelektromagnetische Strahlungin Form von Photonen ausgetauscht, ist alsogequantelt. Wo sich die Spektrallinien im Spektrum befinden, hängt nicht nur von den Einzelheiten des Quantenübergangs ab, sondern auch vom Bewegungszustand der Strahlungsquelle relativ zum Beobachter (Dopplereffekt) und von derKrümmung der Raumzeit.

Befindet man sich imRuhesystemdes Emitters (Relativgeschwindigkeit null zwischen Emitter und Beobachter), so misst man die Spektrallinie bei ihrer Ruhewellenlänge. Nun kann aber auch eineRelativbewegungzwischen Strahlungsquelle undDetektorvorliegen. Wesentlich ist nur diejenige Geschwindigkeitskomponente, die in Richtung des Detektors zeigt. Diese Komponente heißtRadialgeschwindigkeit.IhrBetragist die Relativgeschwindigkeit zwischen Emitter und Beobachter. Elektromagnetische Strahlung bewegt sich sowohl bei der Emission als auch bei der Absorption mit derLichtgeschwindigkeit,gleichgültig wie schnell sich Quelle und Ziel relativ zueinander bewegen.

Bewegt sich die Strahlungsquelle vom Beobachter weg, so wird die Spektrallinie zu größeren, roten Wellenlängen hin verschoben. Die Welle wird gewissermaßen auseinandergezogen. Dies nennt man Rotverschiebung. Bewegt sich die Strahlungsquelle auf den Beobachter zu, so wird die Spektrallinie zu kleineren Wellenlängen hin verschoben. Dies ist gerade die Blauverschiebung, weil die Linie zum blauen Teil des Spektrums verschoben wird. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass die elektromagnetische Welle gestaucht wird.

Die ganze atomare und molekulare Welt ist aufgrund derThermodynamikin Bewegung. Bei endlicher Temperatur bewegen sich diese Strahler geringfügig um eine Ruhelage. Spektrallinien haben deshalb eine natürliche Breite aufgrund atomarer Bewegung und Molekularbewegung, weil sie sich relativ zum Detektor immer ein wenig vor und zurück bewegen. Dieses Phänomen nennen Physiker thermischeDopplerverbreiterung.Die Ruhewellenlänge ist also nicht beliebig scharf. Das kann sie aufgrund derHeisenbergschen UnschärfederQuantentheorieauch nicht sein.

Diespezielle Relativitätstheoriegibt für den Zusammenhang zwischen Radialgeschwindigkeitvund Dopplerverschiebungzden folgenden Zusammenhang (mit der Lichtgeschwindigkeit$c$):

$z={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}-1$

und umgekehrt

${\frac {v}{c}}={\frac {(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}}$

Bei niedrigen Geschwindigkeiten ($v/c\ll 1$) kann dieser Zusammenhang durch$z\approx v/c$genähert werden.

Gravitative Rot- und Blauverschiebung

Diegravitative RotverschiebungoderGravitations-Rotverschiebungim Rahmen derallgemeinen Relativitätstheorieist eine Wellenlängenvergrößerung für abgestrahltes Licht, also für Licht, das sich von einem Gravitationszentrum entfernt. Bei dergravitativen BlauverschiebungoderGravitations-Blauverschiebunghandelt es sich um den umgekehrten Effekt einer Wellenlängenverkürzung für einfallendes Licht, also für Licht, das sich auf ein Gravitationszentrum zubewegt.

„Photons climbing out of a gravitating object become less energetic. This loss of energy is known as a “redshifting”, as photons in the visible spectrum would appear more red. Similarly, photons falling into a gravitational field become more energetic and exhibit a blueshifting. […] Note that the magnitude of the redshifting (blueshifting) effect is not a function of the emitted angle or the received angle of the photon – it depends only on how far radially the photon had to climb out of (fall into) the potential well. “

„Photonen, die von einer gravitierenden Masse aufsteigen, werden energieärmer. Dieser Energieverlust ist als „Rotverschiebung “bekannt, da Photonen im sichtbaren Spektrum mehr rot erscheinen würden. In ähnlicher Weise werden Photonen, die in einem Gravitationsfeld fallen, energiereicher und zeigen eine Blauverschiebung. […] Dabei ist zu beachten, dass die Größe des Effektes der Rotverschiebung (Blauverschiebung) keine Funktion des Abstrahl- oder Empfangswinkels des Photons ist – sie hängt nur davon ab, wieweit das Photon im Potentialfeld radial aufgestiegen (gefallen) ist. “

–R. J. Nemiroff:Gravitational Principles and Mathematics.

Diegravitative Rotverschiebungist eine direkte Folge dergravitativen Zeitdilatation.Sie ist streng genommen kein Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie, sondern folgt bereits aus derspeziellen Relativitätstheorieund demÄquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie.Licht, das von einer Lichtquelle mit einer gegebenen Frequenz nach oben (also vom Gravitationszentrum weg) ausgestrahlt wird, wird dort mit einer geringeren Frequenz gemessen. Das bedeutet also insbesondere, dass bei einem Lichtsignal mit einer bestimmten Anzahl von Schwingungen der zeitliche Abstand zwischen dem Beginn und dem Ende des Signals beim Empfänger größer ist als beim Sender. Dies wird durch die gravitative Zeitdilatation verständlich.

Gravitative Rotverschiebung einer Lichtwelle

Aufgrund der gravitativen Zeitdilatation ist das Zeitintervall zwischen Anfang und Ende der Lichtwelle umso länger, je weiter nach oben man sich im Gravitationsfeld bewegt, weil die Zeit zunehmend schneller verstreicht. Das bedeutet, dass die Welle bei ihrer Bewegung nach oben immer länger gemessen wird. Daher muss auch der Abstand zwischen den einzelnen Wellenbergen immer mehr wachsen, sodass das Licht immer langwelliger, also energieärmer erscheint.

Die gravitative Rotverschiebung wurde von Einstein bereits 1907, also lange vor Fertigstellung der allgemeinen Relativitätstheorie vorausgesagtund kann bereits aus der Energieerhaltung hergeleitet werden, sodass ihre experimentelle Bestätigung zwar notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie ist, aber andererseits nicht sehr große Aussagekraft hat. Im Sonnenspektrum war eine Rotverschiebung bereits um 1896 von L.E. Jewell und H.A. Rowland in Präzisionsmessungen des Sonnenspektrums mit einem Rowlandschen Konkavgitter gefunden worden, aber dann zunächst anders, nämlich als Doppler- oder Druckverschiebung, interpretiert worden.Versuche von Erwin Freundlich in Potsdam, Leonard Grebe und Albert Bachem in Bonn sowie von Charles E. St. John am Mt. Wilson Observatory in den USA, die Gravitationsrotverschiebung im Sonnenspektrum nachzuweisen, führten auf uneindeutige Ergebnisse.VonW. S. Adamswurde 1925 die Rotverschiebung amWeißen ZwergSirius Bnachgewiesen. Die Messung der gravitativen Rotverschiebung an Weißen Zwergen ist aber schwierig von der Rotverschiebung durch die Eigenbewegung zu unterscheiden, und die Genauigkeit ist begrenzt.Robert PoundundGlen Rebkawiesen 1960 im erstenPound-Rebka-Experimentmit Hilfe des Mößbauer-Effektes die gravitative Rotverschiebung der Strahlung einer Gammaquelle im Erdgravitationsfeld bei einem Höhenunterschied von nur 25 m mit ausreichender Genauigkeit nach.Spätere Verbesserungen erreichten beim Pound-Rebka-Snider-Experiment eine Genauigkeit von etwa 1,5 %. Die gravitative Rotverschiebung wurde mittels Raumsonden auch für dieSonneund denSaturnnachgewiesen. Der geplante SatellitOPTISsoll, neben anderen Tests zur speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, die gravitative Rotverschiebung mit einer Genauigkeit von 10⁻⁵testen. 2018 wurde die gravitative Rotverschiebung beim SternS2bei dessen größter Annäherung an das Schwarze Loch in Sagittarius A im Zentrum der Milchstraße nachgewiesen.

Gravitative Rotverschiebung verschiedener Himmelsobjekte für einen Beobachter im Unendlichen

Planet/Stern	Rotverschiebung		Stern	Rotverschiebung
Erde	7,0 ⋅ 10−10		Naos	6,2 ⋅ 10−6
Jupiter	2,0 ⋅ 10−80		Sirius B	2,4 ⋅ 10−4
Mira	6,4 ⋅ 10−90		BPM 37093	8,0 ⋅ 10−4
Beteigeuze	4,3 ⋅ 10−80		Neutronensternmit 1,4 M☉	0,24
Pollux	4,3 ⋅ 10−70		Neutronenstern mit 1,8 M☉	0,34
Sonne	2,1 ⋅ 10−60		Schwarzes Loch,Ereignishorizont	unendlich

Bei starken Gravitationsfeldern, wie sie beispielsweise von Neutronensternen erzeugt werden, gilt für$z$

$z=\left(1-{\frac {2\;\!GM}{r_{0}c^{2}}}\right)^{\!-1/2}-1=\left(1-{\frac {r_{S}}{r_{0}}}\right)^{\!-1/2}-1$

mit derGravitationskonstante$G$,der Masse des Objekts$M$,derLichtgeschwindigkeit$c$und demSchwarzschildradius$\textstyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$.Das Licht wird im Abstand$r_{0}$vom Zentrum des Objekts ausgesandt.

Für die Beispiele von Neutronensternen mit dem jeweils gleichen Radius$r_{0}=12\ \mathrm {km}$ergeben sich die Tabellenwerte von$z=0{,}24$für den masseärmeren und$z=0{,}34$für den massereicheren Neutronenstern.

Entwickelt man die Formel für die Rotverschiebung in eine Reihe

$z\simeq {\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {5}{2}}\left({\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}\right)^{3}+\dots$,

dann erhält man für schwache Gravitationsfelder (kleine Massen oder große Radien) die Näherungsformel:

$z={\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}$

Für das Beispiel Erde und$r_{0}=6378\ \mathrm {km}$ergibt sich der Tabellenwert von$z=7{,}0\cdot 10^{-10}$.

Ein Beobachter, der sich relativ zum Schwerpunkt einer nichtrotierenden Masse auf der radialen Koordinate$r_{2}$befindet, erhält ein Signal, das von einem sich auf$r_{1}$befindlichen Beobachter gesendet wird, um den Faktor

$1+z={\frac {f_{\text{gesendet}}}{f_{\text{empfangen}}}}={\frac {\lambda _{\text{empfangen}}}{\lambda _{\text{gesendet}}}}={\sqrt {\frac {1-r_{\mathrm {s} }/r_{2}}{1-r_{\mathrm {s} }/r_{1}}}}$

rot- bzw. blauverschoben. Die$r$-Koordinate ist inSchwarzschild-Koordinatengegeben, mit dem Schwarzschildradius$\textstyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$.

Kosmologische Rotverschiebung

Im Standardmodell derKosmologiewird zwischen der sogenanntenPekuliargeschwindigkeitund der Bewegung der Galaxien aufgrund derExpansion des Universumsunterschieden. Beide Bewegungen bestimmen die Verschiebung des Spektrums von Galaxien und auch von einzelnen Sternen, wobei immer eine Rotverschiebung weit entfernter Galaxien vorliegt und bei nahen Galaxien manchmal auch eine Blauverschiebung des Spektrums gemessen wird. Die Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Universums wird hier deswegen auch alskosmologische Rotverschiebungbezeichnet. Die aus der Rotverschiebung abgeleiteten Fluchtgeschwindigkeiten ferner Galaxien sind demnach auf die Expansion der Raumzeit zurückzuführen. Die berechneten Geschwindigkeiten werden auch alsRezessionsgeschwindigkeitbezeichnet.

Bereits ab Entfernungen von wenigen 100Megaparsecist der Anteil der Verschiebung des Spektrums aufgrund von überlagerten Eigenbewegungen der Galaxien verschwindend gering. Von den uns nächstgelegenen 1000 Galaxien zeigen beispielsweise 75 Prozent ein rotverschobenes Spektrum. Nur wenige relativ nahe Galaxien zeigen aufgrund zusätzlicher „eigener “Bewegung relativ zur Erdeauf uns zuinsgesamt eineBlauverschiebung.Ein Beispiel dafür ist derAndromedanebel.

Je weiter eine Galaxie entfernt ist, desto stärker ist im Mittel die Rotverschiebung.Vesto Slipherführte ab 1912 spektroskopische Beobachtungen von Galaxien durch und bestimmte derenRadialgeschwindigkeitenaus den Linienverschiebungen. Er erkannte bald, dass die meisten der von ihm beobachteten Galaxien eine Rotverschiebung aufwiesen.1929 entdeckteEdwin Hubbleden Zusammenhang von Rotverschiebung und Entfernung der Galaxie. Zunächst wurde der Effekt als Dopplereffekt interpretiert, bald aber auf die Expansion des Raumes zurückgeführt. Die kosmologische Rotverschiebung nimmt mit der Galaxienentfernung gemäß derHubble-Konstantezu, weshalb man die Entfernungen durch Messung der Rotverschiebung abschätzen kann.

Je höher die Rotverschiebung eines astronomischen Objekts, desto länger war das von ihm ausgesandte Licht unterwegs und desto weiter zurück in der Vergangenheit sehen wir es. Aus der Rotverschiebung kann mit Hilfe derRotverschiebungsentfernungdie Entfernung des Objekts berechnet werden.

Im Oktober 2010 haben Astronomen mit Hilfe desVery Large Telescopenachweisen können, dass das Licht der zuvor mit demHubble-Weltraumteleskopentdeckten GalaxieUDFy-3813553913,1 Milliarden Jahre zu uns unterwegs war. Mit dem damaligen Rotverschiebungsrekord von$z=8{,}6$erreichte uns erstmals beobachtetes Licht, das nur 700 Millionen Jahre nach demUrknallausgesandt wurde; die Galaxie entstand damit in einer Zeit, in der das Universum noch nicht vollständig transparent und um den Faktor 9,6 kleiner war.

Mit der Entdeckung der GalaxieUDFj-39546284in der Hubble-Ultra-Deep-Field-09-Aufnahme (HUDF09) konnte eine kosmologische Rotverschiebung von$z=10{,}3$ermittelt werden. Der bis dahin beobachtete Altersrekord verschob sich damit auf 480 Millionen Jahre danach. Die neu entdeckte Galaxie mit ihrem Alter von 13,2 Milliarden Jahren würde bei einer Bestätigung der Rotverschiebung einen wichtigen Beobachtungsbaustein zur Entwicklung der ersten Galaxien nach demUrknallliefern.

Im Juli 2022 wurde vomJames-Webb-Weltraumteleskopim Rahmen des BeobachtungsprogrammsGrism Lens-Amplified Survey from SpacedieGalaxieGLASS-z12(auch kurzGL-z12), vormalsGLASS-z13,aufgefunden.Sie ist derzeit eine der ältesten jemals entdeckten Galaxien, die nur 300 bis 400 Millionen Jahre nach dem Urknall entstanden, also etwa 13,4 Milliarden Jahre alt, ist. Sie hat eine Rotverschiebung von etwa$z=12{,}4$.Sie wurde zusammen mit einer anderen Galaxie, GLASS-z11, entdeckt, die mitGN-z11vergleichbar ist, ebenfalls eine der ältesten entdeckten Galaxien.Am 25. Oktober 2022 wurden die Messergebnisse der Erstveröffentlichung korrigiert, und da sich statt$z\approx 13$ein Wert von$z\approx 12$ergab, wurde die Galaxie in GLASS-z12 umbenannt. Im Jahr 2024 wurde mitJADES-GS-z14-0eine Galaxie mit einer Rotverschiebung von$z\approx 14$entdeckt.

Gravitativ gebundene Objekte wie Galaxien oder Galaxienhaufen expandieren in ihrer Größe nicht, denn sie sind durch ihre Eigengravitation von der kosmologischen Expansionsbewegung entkoppelt. Das gilt insbesondere auch für Objekte wieSterneundPlaneten,die sich innerhalb dieser Systeme befinden, sowie auch für elektromagnetisch gebundene Systeme wieAtomeundMoleküle.Einer elektromagnetischen Welle hingegen, die sich frei durch eine sich ausdehnende Raumzeit ausbreitet, wird die Expansionsbewegung direkt aufgeprägt. Expandiert die Raumzeit während der Laufzeit eines Lichtstrahles, so vergrößert sich auch entsprechend die Wellenlänge dieses Lichtstrahles.

Aufgrund der Expansion des Universums findet auch einekosmologische Zeitdilatationstatt. Physikalische Prozesse erscheinen bei rotverschobenen Objekten aus unserer Sicht verlangsamt abzulaufen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die zunehmende Streckung derLichtkurvenmit wachsender Rotverschiebung beiSupernovaevom Typ Ia, deren Ablauf gut verstanden ist.

DerSachs-Wolfe-Effekterklärt Fluktuationen der Rotverschiebung der Photonen der kosmischen Hintergrundstrahlung.

Zusammenhang mit dem Skalenfaktor

Galaxien folgen in sehr guter Näherung den Geodäten der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Geodäten haben für massebehaftete Testkörper im Fall derFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrikeine besonders einfache Gestalt.Die raumartigen Koordinaten solcher Galaxien ohne Eigenbewegung bleiben demnach zeitunabhängig. Man betrachte nun zusätzlich ein Photon, emittiert von einer Galaxie mit mitbewegter Entfernung$r$und absorbiert vom Beobachter bei$r=0$.Sowohl die Galaxie als auch der Beobachter folgen, wie bereits erwähnt, der kosmischen Expansion. Die Bewegung des Photons kann nun aus dem vereinfachtenLinienelementbestimmt werden:

$\mathrm {d} s^{2}=0=-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+a^{2}(t)\,\mathrm {d} r^{2},$

wobei

• $c$die Lichtgeschwindigkeit darstellt,
• $a(t)$denSkalenfaktorund
• $r$die mitbewegte Radialkoordinate.

Diekosmologische Rotverschiebungwird dann wie folgt berechnet.

$z:={\frac {\lambda _{\mathrm {a} }-\lambda _{\mathrm {e} }}{\lambda _{\mathrm {e} }}}={\frac {a(t_{\mathrm {a} })}{a(t_{\mathrm {e} })}}-1$

Die Indizes a und e stehen dabei für die Emission und Absorption des Photons. Eine Herleitung des Zusammenhanges mit dem Skalenfaktor kann weiter unten nachgelesen werden.

Da für die meisten Zwecke der Absorptionszeitpunkt$t_{\mathrm {a} }$mit der heutigen Zeit$t=t_{0}$zusammenfällt und deshalb$a(t_{0})=1$gilt, ergibt sich:

$z={\frac {1}{a(t)}}-1$

Daraus ergibt sich auch derSkalenfaktordes Universums zum Emissionszeitpunkt im Vergleich zum heutigen Wert:

$a={\frac {1}{1+z}}$

Beobachtet man beispielsweise eine Galaxie mit Rotverschiebung$z=3$,so hatte das Universum zum Zeitpunkt der Aussendung des von uns empfangenen Lichts nur ein Viertel seiner Größe. Sämtliche physikalischen Prozesse in dieser Galaxie laufen aus der Sicht des Beobachters aufgrund der oben genanntenkosmologischen Zeitdilatationum einen Faktor$1+z=4$verlangsamt ab.

Gemeinsames geometrisches Konzept

Obwohl die diskutierten Effekte meist unterschiedlich dargestellt werden, können sie im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie auf ein gemeinsames geometrisches Konzept zurückgeführt werden.Sie stellen dann lediglich Spezialfälle dar.

Voraussetzungen

Die Diskussion der Frequenzverschiebung geht teilweise von Voraussetzungen aus, die oft nicht explizit genannt werden – hier in Kürze:

• Man nimmt an, dass diegeometrische Optikgültig ist, wobei einerelektromagnetischen WelleeinVektorfeldzugeordnet wird, das in jedem Punkt der Welle auf deren jeweiligerWellenfront(= Fläche konstanter Phase der Welle) senkrecht steht. Dieses Vektorfeld entspricht in jedem Punkt der Ausbreitungsrichtung eines gedachten Lichtstrahls. Die Gültigkeit der geometrischen Optik folgt aus denMaxwellschen Gleichungen in einer gekrümmten Raumzeit.Eine hier geeignetere Definition erfolgt weiter unten.
• Man setzt voraus, dass zwischen der Frequenz$\nu$und der Wellenlänge$\lambda$mittels$\lambda \nu =c$umgerechnet werden kann. Die Rotverschiebung kann dann äquivalent mittels der Wellenlänge oder der Frequenz definiert werden.
• Tatsächlichgemessenwird jedoch weder die Frequenz$\nu$noch die Wellenlänge$\lambda$der Welle, sondern die Energie einzelnerPhotonen,z. B. mittels des Mößbauer-Effekts. Die Umrechnung zwischen Frequenz und Energie erfolgt vermöge$E=h\nu$.

Ein Lichtstrahl gemäß der geometrischen Optik entspricht dann derWeltlinieeines Photons. Im Folgenden wird die Frequenzverschiebung anhand der Energie von Photonen diskutiert.

Die beobachtete Frequenz als invariante Größe

Zum Verständnis benötigt man die Unterscheidung der Abhängigkeit physikalischer Größen von Koordinaten sowie von Beobachtern. Beides wird leider häufig verwechselt.

In der speziellen Relativitätstheorie entspricht die Energie eines Photons in einem bestimmten Koordinatensystem der Null-Komponente$p^{0}$seines Viererimpulses$p=(p^{0},p^{i})$.Für einen Beobachter mit Vierergeschwindigkeit$u=(1,0)$in diesem Koordinatensystem berechnet sich die Energie, die dieser dem Photon zuschreibt, zu$E_{u}(p)=u_{\mu }p^{\mu }=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=p^{0}$;$\eta$bezeichnet dabei dieMinkowski-Metrik.Diese Definition kann unmittelbar auf die allgemeine Relativitätstheorie erweitert werden:

$E_{u}(p)=g_{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=:\langle u,p\rangle _{g}$

Dabei entspricht$g$einer allgemeinenRiemannschen Metrikzur Beschreibung der Raumzeit. Die zuletzt eingeführte Notation$\langle u,p\rangle _{g}$betont, dass$E_{u}(p)$alsProjektiondes Viererimpulses$p$auf die Vierergeschwindigkeit$u$eines Beobachters in einer durch die Metrik$g$charakterisierten Raumzeit eineinvariante Größedarstellt, d. h., sie hängt nur von den geometrischen Größen$u,p,g$ab, ist jedoch unabhängig von einer speziellen Wahl des Koordinatensystems – Koordinatentransformationen$p^{\mu }\to {\bar {p}}^{\mu }$,$u^{\mu }\to {\bar {u}}^{\mu }$und$g_{\mu \nu }\to {\bar {g}}_{\mu \nu }$ändern die Größe$E_{u}(p)$nicht.

Dies entspricht demallgemeinen Relativitätsprinzipbzw. der Forderung nach allgemeiner Kovarianz, wonach nach EinsteinNaturgesetze durch Gleichungen zu formulieren sind, die in allen Koordinatensysteme gleichermaßen gelten,was hier sichergestellt ist, da die Definition überhaupt kein Koordinatensystem benötigt.

Die Beobachterabhängigkeit der so definierten Energie erkennt man anhand der Einführung eines neuen Beobachters mit neuer Vierergeschwindigkeit$u_{2}$und der daraus folgenden Energie$E_{u_{2}}(p)=\langle u_{2},p\rangle _{g}$,wobei$p$und$g$nicht transformiert werden. Es liegt je Beobachter eine beobachterspezifische, aber unter Koordinatentransformationen invariante Größe vor.

Die Frequenzverschiebung$z$für ein Photon wird nun direkt mittels dieser Messgrößen definiert als

$1+z_{12}={\frac {E_{u_{1}}(p_{1})}{E_{u_{2}}(p_{2})}}$

und ist damit ebenfalls eine invariante Größe, die nun von zwei Beobachtern abhängt.$p_{1,2}$bezeichnet dabei die Viererimpulse an den Orten von Beobachter 1 bzw. 2. Frequenzverschiebung ist somit nie eine rein intrinsische Eigenschaft des Photons, sondern hängt immer von den gewählten Beobachtern ab, auch wenn dies nicht explizit erwähnt wird.

Die beobachteten Frequenzen entlang lichtartiger Weltlinien

Den Zusammenhang zwischen den beiden Viererimpulsen des Photons an den beiden Orten räumlich getrennter Beobachter erhält man mittels derGeodätengleichung$\nabla _{v}v=0$.$\nabla _{v}$bezeichnet dabei diekovariante Richtungsableitung.Die Vierergeschwindigkeit$v$des Photons ist lichtartig, d. h.$\langle v,v\rangle =0$.Sie entspricht einem lichtartigen Tangentenvektor an die Weltlinie des Photons. Der Viererimpuls ist ebenfalls lichtartig$\langle p,p\rangle =0$und parallel zu$v$.Photonen mit derselben Weltlinie, jedoch unterschiedlichem Viererimpuls, haben dabei im selben Punkt der Weltlinie identische Vierergeschwindigkeit. Man erhält$p$an jedem Ort der Geodäte mittelsParalleltransportsentlang derselben, d. h.:

$\nabla _{v}p=0$

Löst man diese Gleichung ausgehend vom Viererimpuls$p_{1}$am Ort 1 für einen beliebigen Ort auf der Geodäte, so folgt allgemein:

$p=\nabla _{v}^{-1}p_{1}$

Wendet man dies speziell für den Ort des Beobachters 2 an, so gilt für die Energie:

$E_{u_{2}}(p_{2})=\langle u_{2},\nabla ^{-1}p_{1}\rangle _{g}$

Spezialfälle

Die oben genannten Fälle stellen wichtige Spezialfälle dar: Die optische Doppler-Verschiebung folgt für eine flache Raumzeit, d. h. für die Minkowski-Metrik. Für die gravitative Frequenzverschiebung betrachtet man die Schwarzschild-Metrik sowie zwei stationäre Beobachter bei unterschiedlichen Radien, also Höhen, im Gravitationsfeld. Bei satellitengestützten Tests der Rotverschiebung müssen die Vierergeschwindigkeiten berücksichtigt werden. Die kosmologische Rotverschiebung erhält man für mitbewegte Beobachter in einemFriedmann-Modell.Hier sindPekuliargeschwindigkeitenzu berücksichtigen, wenn Quelle (z. B. eine Supernova, ein Quasar) oder Empfänger (die Erde, ein weltraumgestütztes Messgerät) nicht mitbewegt sind.

Die Herleitungen entsprechen im Wesentlichen Lösungen des Paralleltransports in der jeweiligen Raumzeit entlang der spezieller Geodäten und für speziell gewählte Beobachter.

Rot- und Blauverschiebung durch relative Bewegung

Der einfachste Spezialfall entspricht einer flachen Raumzeit mit Minkowski-Metrik$\eta$.

Für zwei Beobachter$b=1,2$mit Dreiergeschwindigkeiten${\vec {u}}_{b}=\beta _{b}{\hat {e}}_{b}$,d. h. zeitartigen Vierergeschwindigkeiten$u_{b}=\gamma _{b}(1,\beta _{b}{\hat {e}}_{b})$,sowie für ein Photon mit lichtartigem Viererimpuls$p=p^{0}(1,{\hat {e}})$aufgrund der flachen Raumzeit$p_{2}=p_{1}$folgt für die Energie

$E_{u_{b}}(p_{b})=p^{0}\,\gamma _{b}(1-\beta _{b}\cos \theta _{b})$

und für die Rotverschiebung

$1+z_{12}={\frac {\gamma _{1}(1-\beta _{1}\cos \theta _{1})}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}$.

Dabei gilt$0\leq \beta _{b}<1$und${\hat {e}}\,{\hat {e}}_{b}=\cos \theta _{b}$.$\theta _{b}$steht für den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von Photon und Beobachter.

Nimmt man Beobachter 1 als ruhend bzgl. der Quelle an, so wird der Zähler des Bruchs gleich 1, d. h.:

$1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}$

Im Falle derparallelenbzw.antiparallelenBewegung von Beobachter 2 und Photon gilt$\theta _{2}=0^{\circ },180^{\circ }$,d. h.$\beta _{2}\cos \theta _{2}=\pm \beta _{2}$und somit:

$1+z_{12}={\frac {\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}{\gamma _{2}(1\mp \beta _{2})}}={\sqrt {\frac {1\pm \beta _{2}}{1\mp \beta _{2}}}}$

Diese Frequenzänderung wird auchlongitudinalerDopplereffektgenannt.

Im Falle einer Bewegung von Beobachter 2orthogonalzum Photon gilt$\theta _{2}=90^{\circ },270^{\circ }$,d. h.$\beta _{2}\cos \theta _{2}=0$und somit:

$1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}}}={\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}$

Diese Frequenzänderung wird auchtransversalerDopplereffekt genannt.

Gravitative Rot- und Blauverschiebung

Dieser Spezialfall wird für eine sphärisch symmetrische Raumzeit durch dieSchwarzschild-Metrikbeschrieben. Ferner werden zwei stationäre Beobachter$b=1,2$bei den Radien$r_{S}<r_{1}<r_{2}$betrachtet, die durch eine radiale, lichtartige Weltlinie verbunden sind.

Weil keine Bewegung in raumartiger Richtung vorliegt, ergeben sich die Vierergeschwindigkeiten wie folgt aus dem Linienelement

$\mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=f(r_{b})\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}$

mit$f(r)=\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)$.Es gilt also

$u^{\mu }(r_{b})=\left({\frac {\mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0,0,0\right)={\frac {1}{\sqrt {f(r_{b})}}}(1,0,0,0)$.

Aufgrund der lichtartigen Vierergeschwindigkeit des Photons folgt aus dem Linienelement

$\mathrm {d} s^{2}=0=f(r)\,c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-{\frac {1}{f(r)}}\,\mathrm {d} r^{2}$

der aus- bzw. einlaufende Viererimpuls zu

$p^{\mu }=F\left({\frac {1}{f(r)}},\pm {\hat {e}}_{r}\right)$,

wobei außerdem gezeigt werden kann,dass der aus der Anfangsbedingung des Paralleltransports stammende Faktor$F$eine Konstante ist. Damit ist

$E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {F}{\sqrt {f(r)}}}$.

Es folgt dann wie oben das Endergebnis:

$1+z_{12}={\sqrt {\frac {f(r_{2})}{f(r_{1})}}}$

Kombinierte gravitative Frequenz- und Dopplerverschiebung

ImPound-Rebka-Experimentwurde die gravitative Frequenzverschiebung indirekt ermittelt. Durch Kombination einer variabel bewegten Quelle 1 für Röntgenstrahlung mit einem fest montierten Absorber 2 wurde die Geschwindigkeit der Quelle so bestimmt, dass keine Frequenzverschiebung auftrat, d. h., dass sich die Effekte der gravitativen Frequenz- und der Dopplerverschiebung gerade kompensierten.

Aus dem Linienelement$\mathrm {d} s^{2}=f\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}-f^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}$und den Bedingungen$\langle u,u\rangle =1$und$\langle p,p\rangle =0$sowie der Definition

$w={\frac {f^{-1/2}\,{\mathrm {d} r}}{\mathrm {d} \tau }}$

folgt die Energie zu

$E_{u(w)}(p)=\langle u(w),p\rangle _{g}=\left({\sqrt {1+w^{2}}}-w\right)\,{\sqrt {f}}\,p^{0}$.

$w$entspricht dabei der Geschwindigkeit gemessen durch einen stationären Beobachter am Ort des bewegten Objektes. Für den vorliegenden Fall gilt$w^{2}\simeq 0$;dies entspricht Rotverschiebungen$z\ll 1$.

Diegewünschte Messgrößeist die rein gravitative Frequenzverschiebung$1+z_{12}^{\text{grav.}}={\frac {E_{1,w=0}}{E_{2,w=0}}}$für verschwindende Geschwindigkeit$w=0$(vgl. voriger Abschnitt).

Dietatsächliche Messgrößeist jedoch die Geschwindigkeit$w$der Quelle, bei der$E_{1,w}=E_{2,w=0}$gilt, d. h., bei der gerade keine Verschiebung auftritt. Aus dieser Bedingung folgt

$(1-w)\,{\sqrt {f(r_{1})}}\,p_{1}^{0}={\sqrt {f(r_{2})}}\,p_{2}^{0}$,

wobei$p_{1,2}^{0}$wieder für die Größen am Ort des jeweiligen Beobachters$b=1,2$stehen. Zuletzt erhält man die indirekt gemessene gravitative Rotverschiebung

$1+z_{12}^{\text{grav.}}(w)={\frac {1}{1-w}}$.

Kosmologische Rotverschiebung

Dieser Spezialfall wird für die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik beschrieben. Der Einfachheit halber wird zusätzlich der Krümmungsparameter entsprechend dem Standardmodell der Kosmologie als$k=0$angenommen. Das Linienelement lautet dann:

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)$

Wie bereits oben erwähnt, werden stationäre Beobachter in diesem Fall durch konstante raumartige Koordinatenwerte beschrieben, wobei aus Symmetriegründen in den nachfolgenden Rechnungen nur die radiale Koordinate$r$berücksichtigt werden muss. Beide Beobachter sollen wie im vorigen Abschnitt durch$b=1,2$gekennzeichnet werden. Beide Beobachter können dann erneut durch eine radiale, lichtartige Weltlinie verbunden werden. Weil keine Bewegung in raumartiger Richtung vorliegt, ergeben sich die Vierergeschwindigkeiten wie folgt aus dem Linienelement:

$\mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}$

Daraus ergibt sich

$u_{b}^{\mu }=\left({\frac {\mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0\right)=(1,0)$.

Aufgrund der lichtartigen Vierergeschwindigkeit des Photons folgt aus dem Linienelement

$\mathrm {d} s^{2}=0=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\,\mathrm {d} r^{2}$

der Paralleltransport für die 0-Komponente des Photonimpulses, hier ausgedrückt in der Koordinate$t$,zu

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p^{0}+A\,p^{0}=0$.

Dabei ist$A(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ln a(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}$.Mit

$\nabla ^{-1}=e^{-\int \mathrm {d} t\,A}={\frac {1}{a}}$

und der aus der Anfangsbedingung des Paralleltransports stammenden Konstante$F$folgt

$p^{0}(t)={\frac {F}{a(t)}}$

sowie letztlich der Viererimpuls des Photons zu

$p^{\mu }=F\,\left({\frac {1}{a(t)}},{\frac {1}{a^{2}(t)}}{\hat {e}}_{r}\right)$.

Damit gilt:

$E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {F}{a(t)}}$

Es folgt dann wie oben das Endergebnis:

$1+z_{12}={\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}$

Sämtliche zuvor diskutierten Spezialfälle sowie Kombinationen derselben folgen also aus einem gemeinsamen geometrischen Konzept. Die Erklärung der Effekte bedient sich dabei ausschließlich mathematischer Größen aus der Allgemeinen Relativitätstheorie sowie lokaler Messgrößen, hier Energien und Geschwindigkeiten. Anschauliche Interpretationen wie „Dehnung der Wellenlänge “, „Expansion des Raumes “usw. können für ein anschauliches Verständnis sinnvoll sein, sind jedoch nicht zwingend notwendig.

Siehe auch

• Bathochromer Effekt

Literatur

• Stuart Clark:Redshift.Univ. of Hertfordshire Press, Hatfield 1997,ISBN 0-900458-79-8.
• George B. Field:The redshift controversy.Addison-Wesley, Redwood 1973,ISBN 0-8053-2512-3.
• Klaus Hentschel:Zum Zusammenspiel von Instrument, Experiment und Theorie: Rotverschiebung im Sonnenspektrum und verwandte spektrale Verschiebungseffekte von 1880 bis 1960.(Habilitationsschrift 1995), Verlag Dr. Kovac, Hamburg 1998,ISBN 3-86064-730-X.
• Rainer Kayser:Licht und Asche des Urknalls.(Mementovom 16. September 2010 imInternet Archive). In:Sterne und Weltraum.Special 2 –Schöpfung ohne Ende.S. 106–117 (online aufmpia-hd.mpg.de).

Weblinks

Commons:Rotverschiebung– Album mit Bildern

Wiktionary: Rotverschiebung– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen