Satz von Hadamard

Zu den zahlreichen Resultaten, die derfranzösischeMathematikerJacques Hadamardin verschiedenenTeilgebieten der Mathematikbeigetragen hat, gehört in derAnalysisein alsSatz von Hadamard(englischHadamard theorem) bezeichneterLehrsatz,der auf eineArbeitHadamards aus dem Jahr 1906 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einestetig differenzierbareAbbildungauf demeuklidischen Raum${\mathbb {R} }^{n}$einHomöomorphismusist.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung in der Monographie vonOrtega/Rheinboldtfolgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$auf dem euklidischen Raum${\mathbb {R} }^{n}$,für die in jedemRaumpunkt$x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$dieJacobi-Matrix${J_{F}}(x_{0})$nichtsingulärsein soll.

Dabei existiere einereelle Zahl$\gamma >0$derart, dass bezüglich derOperatornormfür$x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$stets dieUngleichung$\|{{J_{F}}(x_{0})}^{-1}\|\leq \gamma$erfüllt ist.

Dann ist$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$einHomöomorphismus.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1920 dehntePaul Lévyden Hadamard'schen Satz aufreelleHilberträumeaus, woraufhin Rheinboldt im Jahre 1969 zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelleBanachräumeausdehnen lässt.

Literatur

• J. Hadamard:Sur les transformations ponctuelles.In:Bulletin de la Société Mathématique de France.Band34,1906,S.71–84([1]).
• P. Levy:Sur les fonctions de lignes implicites.In:Bulletin de la Société Mathématique de France.Band48,1920,S.13–27.
• J. M. Ortega,W. C. Rheinboldt:Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.Reprint of the 1970 original (=Classics in Applied Mathematics.Band30).Society for Industrial and Applied Mathematics(SIAM), Philadelphia, PA 2000 (MR1744713).
• Werner C. Rheinboldt:Local mapping relations and global implicit function theorems.In:Transactions of the American Mathematical Society.Band138,1969,S.183–198(MR0240644).