Schraubung

Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um einen festen Winkel um eine Drehachse und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse.

Unter einerSchraubungversteht man in derGeometriedes dreidimensionalen Raumes V eineAbbildung,die aus einerHintereinanderausführungeinerParallelverschiebungmit Verschiebevektor$v$und einerDrehungum eineGerade$g$besteht, bei der$v$parallelzu$g$ist. Die Reihenfolge, d. h. ob zuerst die Drehung oder die Verschiebung ausgeführt wird, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

In derKristallographiesind Schraubenachsen möglicheSymmetrieelementeeinerRaumgruppe.

Eine Schraubung stellt eineIsometrieauf V dar, da sie eineVerknüpfungzweier Isometrien ist.

Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei derKlassifizierungder Isometrien inDimension3. Isometrien in dreidimensionalenVektorräumenlassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen, neben der Schraubung findet man:

• Identität
• Translation
• Drehung
• Spiegelung
• Gleitspiegelung
• Drehspiegelung.

Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe

Spiralförmige Kette ausTelluratomen entlang der 3₁-Schraubenachse (blau hervorgehoben). Jedes dritte Atom ist deckungsgleich (dunkel-, mittel- und hellblau). Der Abstand zwischen den dunkel-, mittel- und hellblauen Atomen beträgt jeweils eineGitterkonstante.

In einer Raumgruppe können nur Schraubenachsen vorkommen, die mit demTranslationsgitterder Gruppe verträglich sind. Daher kann es in einer Raumgruppe nur n-zählige Drehachsen geben, mit n = 2, 3, 4 oder 6.

Da diese nach n-maliger Wiederholung wieder die Identität ergeben, können sie nur mit einem Translationsvektor verknüpft sein, der nach n-facher Wiederholung einemVektor des Gittersentspricht. Das ist nur der Fall, wenn dessen Länge in Richtung der Drehachse ein m-faches des n-ten Bruchteils der Gittertranslation beträgt, mit$0<m<n$.

DasHermann-Mauguin-Symbolfür diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol für die Drehachse n: n_m.

4₁bedeutet also eine 4-zählige Schraubenachse, bei der bei jeder Drehung um 360°/4 = 90° eine Translation in Richtung der Drehachse von${\tfrac {m}{n}}={\tfrac {1}{4}}$Gitterkonstantenhinzukommt.

Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgeführt:

• 2₁
• (3₁3₂)
• (4₁4₃) 4₂
• (6₁6₅) (6₂6₄) 6₃.

In Klammern zusammengefasst sind dabei PaareenantiomorpherSchraubenachsen, die sich nur durch denDrehsinnunterscheiden:

• die erstgenannte Schraube ist eineRechtsschraube
• die zweite Schraube ist die entsprechende Linksschraube.

Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden.

Schraubung von Starrkörpern

DerflorentinerMathematikerGiulio Mozzi(1730–1813) erkannte als erster,dass jede Bewegung einesStarrkörpersals Schraubung dargestellt werden kann, d. h. alsTranslationeines Bezugspunkts und Drehung um den Bezugspunkt mit einerDrehachse,die durch die (Richtung der) Geschwindigkeit des Bezugspunkts gegeben ist.

Der Bezugspunkt${\vec {r}}$ermittelt sich wie folgt aus der Bewegung des Starrkörpers, die sich immer darstellen lässt als Translation${\dot {\vec {b}}}$eines Punkts${\vec {b}}$und dieWinkelgeschwindigkeit${\vec {\omega }}$des Starrkörpers um diesen Punkt:

${\vec {v}}({\vec {p}},t)={\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {p}}-{\vec {b}})$

Darin ist

• ${\vec {v}}({\vec {p}},t)$die Geschwindigkeit des Partikels am Ort${\vec {p}}$zur Zeitt
• derÜberpunkteineZeitableitung
• „× “dasKreuzprodukt.

Dann ist auch

${\vec {v}}({\vec {p}},t)={\dot {\vec {r}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})$

mit

${\vec {r}}={\vec {b}}+{\frac {{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}+\rho {\vec {\omega }}$

und

${\begin{aligned}{\dot {\vec {r}}}&={\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {b}})\\&={\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times \left({\frac {{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}+\rho {\vec {\omega }}\right)\\&={\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}+\rho \underbrace {({\vec {\omega }}\times {\vec {\omega }})} _{=0}\\&={\dot {\vec {b}}}+{\frac {({\vec {\omega }}\cdot {\dot {\vec {b}}})\,{\vec {\omega }}-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }})\,{\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}\\&={\frac {{\vec {\omega }}\cdot {\dot {\vec {b}}}}{{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }}}}{\vec {\omega }}\end{aligned}}$

und beliebigem$\rho \in \mathbb {R}$.Das Rechenzeichen „· “bildet dasSkalarprodukt.

Beispiel

Anstatt einen Partikel

• vom Ursprung nach (2|2|0) zu verschieben und ihn um 180°=$\pi$um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) zu drehen, die durch den neuen Punkt (2|2|0) verläuft,
• kann man ihn auch vom Ursprung nach (2|0|0) verschieben und ihn dann um 180°=$\pi$um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) drehen, die durch den Bezugspunkt${\vec {r}}=(0|1|0)$verläuft; in diesem Fall stimmt die Richtung der Verschiebung mit der Richtung der Drehachse überein.

Das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe: der betrachtete Partikel liegt am Ende an der neuen Position (2|2|0) und ist um 180°=$\pi$gedreht.

Siehe auch

• Systematische Auslöschung

Literatur

• D. Schwarzenbach:Kristallographie.Springer Verlag, Berlin 2001,ISBN 3-540-67114-5.
• Roberto Marcolongo:Theoretische Mechanik.Kinematik und Statik. 1. Band.B. G. Teubner,Leipzig und Berlin 1911,S.122(archive.org[abgerufen am 15. April 2020]).

Weblinks

• Geometrieskript von Eschenburg, S. 56.(PDF; 970 kB)

Einzelnachweise

Kristallographische Schraubenachse