Statische Äquivalenz

Vonstatischer Äquivalenzspricht man in dertechnischen Mechanikdann, wenn man zwei Kraftsysteme (Spannungen, Kräfte, Momente)statischwirkungsäquivalent sind.Die Ermittlung einer möglichst einfachen statischen Äquivalenten Kraftgruppe heißtReduktion.Typisches Beispiel einer Reduktion, eine übliche Anwendung der statischen Äquivalenz, ist die Bildung einer Resultierenden einer Gleichlast oder Bildung vonSpannungsresultantenvonSpannungenim Querschnitt.

Kraftsystem

EinKraftsystem,auchKräftegruppegenannt, besteht aus n≥0 Kraftgrößen (z. B. Kräfte, Momente,Volumenwichten).

Resultierende eines Kraftsystems

→Hauptartikel:Resultierende Kraft

Die Resultierende wird durchVektoradditionbestimmt:
$\mathbf {R}:=\left[\sum _{i}^{n}\mathbf {F} _{i}\right]+\left[\sum _{i}^{m}\int _{x}\mathbf {q} _{i}(x)\mathrm {d} x\right]+\left[\sum _{i}^{o}\iint _{A}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]+\left[\sum _{i}^{p}\iiint _{V}{\boldsymbol {\gamma }}_{i}(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\right]\quad {\textrm {mit}}\quad {n,m,o,p}\in \mathbb {N} _{0}$
mit

• $\mathbf {R}$der Resultierenden
• $\mathbf {F} _{i}$Einzelkraft i
• $\mathbf {q} _{i}(x)$dieStreckenlasti
• ${\boldsymbol {\sigma }}_{i}(x,y)$denTraktionsvektori
• ${\boldsymbol {\gamma }}_{i}(x,y,z)$dieVolumenkrafti

Moment eines Kraftsystems

→Hauptartikel:Moment (Technische Mechanik)

Das Moment um einen Punkt O is definiert als:
$\mathbf {M} _{O}:=\left[\sum _{i}^{n}{\overrightarrow {OX}}\times \mathbf {F} _{i}\right]+\left[\sum _{i}^{m}\int _{x}{\overrightarrow {OX}}(x)\times \mathbf {q} _{i}(x)\mathrm {d} x\right]+\left[\sum _{i}^{o}\iint _{A}{\overrightarrow {OX}}(x,y)\times {\boldsymbol {\sigma }}_{i}(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]+\left[\sum _{i}^{p}\iiint _{V}{\overrightarrow {OX}}(x,y,z)\times {\boldsymbol {\gamma }}_{i}(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\right]\quad {\textrm {mit}}\quad {n,m,o,p}\in \mathbb {N} _{0}$
mit

• $\mathbf {M} _{O}$dem Moment um den Punkt O
• ${\overrightarrow {OX}}$derStreckevon dem Punkt O zum Angriffspunkt X der jeweiligen Kraftgröße

Definition

Statische Äquivalenz zwischenSchnittgrößen(blau) und Spannungen (rot)

Statische Äquivalenz liegt dann vor, wenn ein Kraftsystem mit einem anderen Kraftsystem wirkungsäquivalent ist. Wenn zwei Kraftsysteme wirkungsäquivalent sind, haben beide Kraftsysteme die gleiche (auch gleiches Vorzeichen) Resultierende und das gleiche Moment. Eine Resultierendenbildung ist im Allgemeinen nur bei einemstatisch bestimmt gelagertenStarrkörpersinnvoll. Bei einem deformierbaren Körper als auch bei Mehrkörpersystem dürfen Kräfte im Allgemeinennichtentlang der Wirkungslinie verschoben werden. Wenn zwei Systeme statisch Äquivalent sind heißt das, dass man die beiden Kraftgruppen miteinander austauschen kann. Eine häufige Anwendung ist eineReduktion(z. B. bei Bildung einer Resultierenden).

Zwei statisch äquivalente Kraftgruppen haben eine gleich große und gleich gerichtete (gleiche Wirkungslinie) Resultierende. Statisch äquivalente Kräfte müssen am gleichenstatisch bestimmtgelagerten Starrkörper angreifen. Zwei typische Beispiele einer statischen Äquivalenz:

• Eine Gleichlast oder mehrere Teillasten, die zu einer Resultierenden zusammengefasst werden.
• Eine Spannungsverteilung über den Querschnitt, die in dieSchnittgrößenstatisch äquivalent zusammengefasst wird.

Bei Äquivalenzbetrachtungen, kann man, bei statisch bestimmt gelagerten Starrkörpern, wie bei einer Gleichgewichtsbetrachtung Kräfte entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden.

Unterschied zu Gleichgewicht

Beistatischer Äquivalenzhaben die Resultierenden zwei Kraftsysteme diegleiche Orientierung,hingegenwenn zwei Kraftsysteme imGleichgewichtsind, haben sie zwar die Resultierenden den gleichen Betrag und auch die gleiche Wirkungslinie, aber die Resultierenden der beiden Kräfte sindentgegengesetzt orientiert.

Statische Äquivalenz

1. $\sum _{i=1}^{n_{F}}{\vec {F}}_{i}=\sum _{j=1}^{m_{F}}{\vec {F}}_{j}$
2. $\sum _{i=1}^{n_{M}}{\vec {M}}_{i}=\sum _{j=1}^{m_{M}}{\vec {M}}_{j}$

Gleichgewicht

1. $\sum _{i=1}^{n_{F}}{\vec {F}}_{i}+\sum _{j=1}^{m_{F}}{\vec {F}}_{j}=0$
2. $\sum _{i=1}^{n_{M}}{\vec {M}}_{i}+\sum _{j=1}^{m_{M}}{\vec {M}}_{j}=0$

Weitere Bedeutung

Der Begriff statische Äquivlanz wird auch verwendet, um einen dynamischen VorgangquasistatischÄquivalent abzubilden.