Steigung

In derMathematik,insbesondere in derAnalysis,ist dieSteigung(auch alsAnstiegbezeichnet) ein Maß für dieSteilheiteinerGeradenoder einerKurve.^[1]

Allgemeines

Die Aufgabe, eine Steigung zu ermitteln, stellt sich nicht nur beigeometrischenFragestellungen, sondern beispielsweise auch in derPhysik,imStraßenbau,in derBetriebswirtschaftslehreoder in derVolkswirtschaftslehre.So entspricht etwa die Steigung in einemZeit-Weg-DiagrammderGeschwindigkeitoder die Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm derStromstärke.

Steigung einer Geraden

Definition und Berechnung

Die Steigung einer Geraden wird häufig durch den Buchstaben $m$ bezeichnet. Verwendet mankartesische Koordinaten,so hat die Gerade, die durch zwei Punkte $(x_{1}|y_{1})$ und $(x_{2}|y_{2})$ festgelegt ist, die Steigung

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

$\Delta x$ (sprich: Delta x) bedeutet dabei die Differenz der x-Werte, $\Delta y$ entsprechend die Differenz der zugeordneten y-Werte.

Für die durch die Punkte $(1|2)$ und $(3|7)$ verlaufende Gerade ergibt sich beispielsweise die Steigung:

m={\frac {7-2}{3-1}}={\frac {5}{2}}=2{,}5

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel $(-1|-3)$ und $(1|2)$ ,so erhält man:

m={\frac {2-(-3)}{1-(-1)}}={\frac {5}{2}}=2{,}5

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Hat die Gerade die Steigung $m$ und schneidet sie die y-Achse im Punkt $(0|c)$ ,so hat sie dieGleichung $y=mx+c$

Hinweis:Die zur y-Achse parallelen Geraden sind keineFunktionsgraphenund haben deshalb auch keinen Steigungswert. Man kann ihnen die Steigung „unendlich “(∞) zusprechen.

Prozentangabe – v. a. im Straßenverkehr

Die Steigung einer Geraden spielt auch imStraßenverkehreine Rolle. DasVerkehrszeichenfür die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie meist in Prozent ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12 %).

Steilste Straße Deutschlands

DieSteilstrecke Nordschleifehat seit 1927 bis zu 27 % Steigung, war aber gemäß Fahrordnung nicht Teil der Touristenfahrten, bei denen die Nordschleife eine gegen Maut öffentlich befahrbare Einbahnstraße ist, mit getrennter Richtungsfahrbahn, außerorts somit ohne Tempolimit.

Bislang galt nach eigenen Angaben die Oberweißbacher Straße in Deesbach, Thüringen als „steilste Straße Deutschlands “mit 25,30 % Steigung, auf der jährlich ein Klapprad-Bergrennen stattfindet, sowie ebendort die „steilste Ortsstraße “mit 22,65 % Steigung als zweitsteilste.

2017 fand jedoch ein hessischer Radiosender heraus, dass es im hessischen Ranstadt-Dauernheim eine Straße mit einer Steigung von 29 % gibt: den Hasenpfad.

In Berchtesgaden befindet sich die steilste deutsche Bundesstraße, dieB 319auf den Obersalzberg hinauf, mit 26 % Steigung.

Steilste Straße der Welt

Die steilste Straße der Welt ist dieBaldwin Streetin Neuseeland. Die maximale Steigung der knapp 350 Meter langen Straße beträgt 1:2,86 (19,3° oder ca. 35 %).^[2]

Verhältnisangabe – z. B. bei Böschungen

Eine Verhältnisangabe wie 1:2,67 ist eine weitere Möglichkeit, Neigungen bzw. Steigungen zu definieren. Sie gibt, ebenso wie eine prozentuale Angabe, denHöhenunterschied pro Horizontalstreckean: 1 m Höhe auf 2,67 m Strecke = 1/2,67 ≈ 0,37453 ≈ 37,45 % (= 37,45 m Höhe auf 100 m Strecke). AuchBöschungenwerden so angegeben. Das oft verwendete Verhältnis künstlicher Böschungen von 1:1,5 (abhängig vom Material usw.) ergibt 1 Meter Höhenunterschied auf 1,5 Meter Horizontalstrecke. Das bedeutet eine Steigung von 66,7 % sowie einen Steigungswinkel von arctan(1/1,5) = 33,7°.

Steigungs- oder Neigungswinkel

Aus der Steigung $m$ einer Geraden lässt sich mit Hilfe derArcustangens-Funktion der zugehörigeSteigungs- bzw. Neigungswinkel $\alpha$ der Geraden bezogen auf die positive $x$ -Achse berechnen:

Ein Zusammenhang aus derTrigonometriebesagt, dass in einemrechtwinkligen DreieckderTangensvon einem der beiden spitzenWinkelgleich demQuotientender jeweiligen Gegen- und Ankathete ist, womit klar wird, dass die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels (in Grad) gegenüber der positiven $x$ -Achse ist:

m=\tan(\alpha ).

Bei der Angabe inProzent(%) ist zu beachten, dass Steigung und Steigungswinkel nichtproportionalzueinander sind, es also auch nicht möglich ist, Steigungen und Steigungswinkel mit einem einfachenDreisatzineinander umzurechnen. So entspricht beispielsweise der Steigung 1 (= 100 %) ein Steigungswinkel von 45°, der Steigung 2 (= 200 %) dagegen nur noch ein Winkel von rund 63,4°, und für einen Steigungswinkel von 90° schließlich müsste die Steigung ins Unendliche wachsen.

Annähernde Proportionalität von Steigung und Steigungswinkel dagegen ist nur für kleine Steigungswinkel bis etwa 5° gegeben – so entspricht einer Steigung von ±0,01 bzw. ±1 % ein Steigungswinkel von annähernd ±0,57°, und umgekehrt ein Steigungswinkel von ±1° einer Steigung von annähernd ±0,0175 bzw. 1,75 %. Mathematisch lässt sich das dadurch erklären, dass dieAbleitungdes Tangens in 0 gerade gleich 1 ist, d. h. für Werte von $x$ in der Nähe von 0 gilt $\tan(x)\approx x$ .

Für größere Steigungswinkel dagegen, oder wenn ihre Größe exakt bestimmt werden soll, benötigt man dieUmkehrfunktiondes Tangens, das heißt dieArcustangens-Funktion:

\alpha =\arctan(m).

Im obigen Beispiel errechnet man:

\alpha =\arctan(0{,}4)\approx 21{,}8^{\circ }.

Bei negativen Steigungen ist hier zu beachten, dass – aufgrund derPunktsymmetrieder Arcustangens-Funktion – dann auch die Steigungswinkel $\alpha$ negativ werden.

Schnittwinkel

Der Steigungsbegriff liefert auch eine bequeme Methode, denSchnittwinkel $\varepsilon$ zweier Geraden mit gegebenen Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ zu bestimmen:

\tan \varepsilon =\left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.

\varepsilon =\arctan \left|{\frac {m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|.

Zwei Geraden sind genau dannparallel( $\varepsilon$ = 0°), wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Sie sind genau dannsenkrechtzueinander ( $\varepsilon$ = 90°), wenn ihre Steigungen die Orthogonalitäts-Bedingung $m_{1}$ · $m_{2}$ = −1 erfüllen.

Steigung von Gewinden

Bei metrischenGewindenkennzeichnet die Steigung dieGanghöhe,das heißt den Abstand zwischen zwei Gewindestufen entlang der Gewindeachse, anders gesagt den axialen Weg, der durch eine Umdrehung des Gewindes zurückgelegt wird.

Bei zölligen Gewinden dagegen wird als Wert die Anzahl der Gewindegänge auf der Strecke von einem Zoll angegeben. AlsPseudoeinheitwird oft die Abkürzung TPI ( “threads per inch” ) verwendet.

Gefälle an Gewässern, in potentialgetriebenen Prozessen und Strömungen

Insbesondere anWasserkraftwerkenwird der lokale Wasserspiegelunterschied zwischen Oberwasser und Unterwasser als Gefälle (oder auch Arbeitshöhe) bezeichnet. Das gilt für Mühlen, Laufkraftwerke, aber auch für Konstruktionen mit Stollen, Wasserschlössern und Druckrohren. Auch die Abnahme der Wasserspiegelhöhe zwischen zwei längs eines Fließgewässers bestimmten entfernten Punkten wird als Gefälle bezeichnet.

InWärmekraftprozessen,etwa an Wärmekraftmaschinen oder Kälteaggregaten, wird von Druck- und Temperaturgefällen gesprochen, wenn diskrete Unterschiede entsprechenden Messgrößen zwischen 2 Bereichen bestehen, die zu von selbst ablaufenden Strömen von Fluiden (Gas, Flüssigkeit) bzw. Wärmeenergie führen.

Statische Druckgefälle können auch zwischen verschiedenen Punkten von Versorgungssystemen fürDruckluftoderLeitungswasser,sowie in Lüftungsanlagen (bedeutsam für Hygiene, Reinraum, Geruchsbelästigung) bestehen. (Dynamisch tritt Druckabfall längs einer Strömungsstrecke auf.)

Chemisch-physikalische Prozesse werden mitunter durch ein räumlich bestehendes stoffliches Konzentrationsgefälle angetrieben.Osmose,Diffusion,Chromatografie,Kristallisationaus Lösung, Verdunstung seien hier genannt.

Im übertragenen Sinn werden analog in Ökonomie und Soziologie Unterschiede vonLohnniveau,PreisniveauoderBildung,etwa regional zwischen Stadt und Land, sozial zwischen Mann und Frau als Lohngefälle, Preisgefälle, Bildungsgefälle bezeichnet.

In all diesen Fällen ist abweichend vom sonst üblichen Begriffsinhalt von Gefälle (als negativer Steigung) nicht eine Neigung im Sinn von Höhenunterschied pro Entfernung (Länge) und damit der Maßeinheit 1, sondern eine Höhendifferenz (gemessen in der Maßeinheit Meter) gemeint. Allen dadurch getriebenen Strömungsprozessen ist gemein, (von selbst) nur in eine Richtung – gefälleabwärts – abzulaufen (vgl.Potentialunterschied).

Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve

Eines der grundlegenden Probleme derAnalysisbesteht darin, die Steigung einer Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt herauszufinden. Die oben besprochene Formel ist jetzt nicht mehr verwendbar, da nur ein Punkt gegeben ist. Wählt man den zweiten Punkt willkürlich, erhält man kein eindeutiges Ergebnis oder, falls beide Punkte identisch gewählt werden, ist das Ergebnis nicht definiert, da durch 0 geteilt wird.

Man definiert die Steigung desGrapheneinerFunktionin einem Punkt des Graphen daher als Steigung derKurventangentein diesem Punkt. DieDifferenzialrechnungliefert den Begriff derAbleitungals Hilfsmittel, um solche Steigungswerte ausrechnen zu können.

Beispiel: Für den Graphen der Funktion $f:\;x\mapsto 2x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{3}$ sollen die Steigung im Kurvenpunkt $(2|4)$ und der zugehörige Neigungswinkel berechnet werden.