Steilheit

Der BegriffSteilheitwird in der Technik häufig für den Anstieg einerKennlinieverwendet. Mathematisch betrachtet ist die Steilheit dieSteigungbeziehungsweise derDifferenzenquotientder Kennlinie oderKurve.Der Anstiegswinkel der Kennliniendarstellung ist dagegen abhängig von den Maßstäben der Koordinatenachsen.

Steilheit einer (gesteuerten) Elektronenröhre

Kennlinie einer Verstärkerröhre in verschiedenen Arbeitspunkten

Die Steilheit$S$gesteuerter/verstärkenderElektronenröhren(d. h. Trioden, Tetroden, Pentoden) beschreibt die Änderung des Anodenstroms$I_{a}$bei Änderung der Gitterspannung$U_{g}$(bei gleichzeitig konstanter Anodenspannung$U_{a}$). Die übliche Einheit ist mA/V, im Diagramm rechts sind es über weite Bereiche (−4 V...0 V) ziemlich genau 5 mA/V. Zusammen mit dem differentiellen Innenwiderstand$R_{i}$der Röhre (der Verringerung des Anodenstroms bei Verringerung der Anodenspannung) und der Größe des Arbeitswiderstands$R_{a}$ergibt sich der Verstärkungsfaktor einer Röhrenstufe inKathodenbasis-Schaltung.

So ergibt eine Pentoden-Verstärkerschaltung inKathoden-Basis-Schaltung(dem Äquivalent derEmitterschaltungbipolarer Transistoren)

• mit einer Steilheit$S$von 5 mA/V (Anodenstrom fällt um 5 mA pro Volt Gittervorspannung)
• und einem differentiellen Innenwiderstand von$R_{i}$= 40 kOhm (Anodenstrom fällt um 1 mA bei Verringerung der Anodenspannung um 40 Volt)
• an einem Arbeitswiderstand$R_{a}$von 10 kOhm

eine Spannungsverstärkung von

$V={\frac {S\;R_{i}R_{a}}{R_{i}+R_{a}}}=40$.

Siehe auch:Barkhausensche RöhrenformelundTranskonduktanz.

Steilheit eines Feldeffekttransistors

DerFeldeffekttransistor(als mittlerweile mit Abstand häufigstes Bauelement) verhält sich äquivalent zu den (mittlerweile fast ausgestorbenen) Elektronenröhren, auch wenn die internen Wirkungsmechanismen etwas abweichen. Es gelten die gleichen Formeln, wenn man Kathode durch Source, Anode durch Drain und Gitter durch Gate ersetzt. Als Indices werden Großbuchstaben verwendet, so werden aus$k$,$a$und$g$die Indices$S$,$D$und$G$. Weiterhin ist die Nomenklatur bei Feldeffekttransistoren sauberer: Bei Spannungen wird angegeben,zwischenwelchen Elektroden sie anliegen, so wird aus der Gitterspannung$U_{g}$die Gate-Source-Spannung$U_{GS}$.

Die Steilheit$S$eines Feldeffekttransistors beschreibt die Änderung des Drainstroms$I_{D}$bei Änderung der Gate-Source-Spannung$U_{GS}$(bei gleichzeitig konstanter Drain-Source-Spannung$U_{DS}$). Die übliche Einheit auch hier ist mA/V, bei Leistungs-Feldeffekttransistoren auch A/V.

DieBarkhausensche Röhrenformelgilt nach Umbenennung der Indices genauso für Feldeffekttransistoren (und für alle anderen spannungsgesteuerten Bauelemente oder Schaltungen).

Ein Feldeffekttransistor inSourceschaltungmit gleicher Steilheit von 5 mA/V, gleichem Innenwiderstand von 40 kOhm an einem Arbeitswiderstand von 10 kOhm ergibt auch eine Spannungsverstärkung von 40.

Elektrochemie

pH-Elektrode

In der Elektrochemie ist die Steilheit eine Kenngröße vonMesselektroden. Sie gibt an, wie groß die gemessene Spannungsänderung bei der Änderung derKonzentrationeinesAnalytenum einedekadischeGrößenordnung (10¹) ist.

Nach derNernst-Gleichungbeträgt diese bei 25 °C idealerweise 59,159... mV pro Dekade (bei Reaktionen mit Ein-Elektronen-Transfer):

$\Delta U={\frac {k_{B}T}{e}}\ln 10={\frac {1{,}38064\ 910^{-23}\mathrm {J/K} \cdot 298{,}15\ \mathrm {K} }{1{,}60217\ 6634\cdot 10^{-19}\mathrm {As} }}\ln 10\ \approx \ 59{,}15935\ \mathrm {mV}$.

Bei einem Zwei-Elektronen-Transfer halbiert sich der Wert auf 29,58 mV, bzw. 29,58 mV/pH, jeweils bei 25°Cbzw. 298,15K.

Standardelektroden erreichen heute etwa eine Steilheit von 59 mV pro Größenordnung über weite Konzentrations- bzw. pH-Bereiche.

Mathematik

In der Mathematik wird der Begriff Steilheit einerWahrscheinlichkeitsdichtefunktionoder andererVerteilungsfunktionenmanchmal benutzt, um deren „Spitzigkeit “zu charakterisieren, sieheWölbung (Statistik).

Siehe auch

• pH-Elektrode
• Kalibrierung
• Steigung