Summe

Das große griechischeSigmawird oft verwendet, um Folgen von Zahlen zu addieren. Es wird dann „Summenzeichen “genannt.

EineSummebezeichnet in derMathematikdas Ergebnis einerAdditionsowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eineZahl,die durch Zusammenzählen zweier oder mehrerer Zahlen entsteht. Dieser Begriff besitzt viele Verallgemeinerungen. So sprach man früher beispielsweise von summierbaren Funktionen und meinte damitintegrierbare Funktionen. Die Summe ist eine spezielleAggregatfunktion.

Wortgeschichte und -bedeutungen

Das WortSummewurde imMittelhochdeutschenvon lateinischsummaentlehnt.Summawar bis in das 19. Jahrhundert nebenSummegebräuchlich und geht aufsummuszurück, einen der lat.Superlativezusuperus„oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere “, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste “bedeuten. „Das Oberste “deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich “.

In der Alltagssprache bezeichnetSummeeinenGeldbetrag,unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht.

Summe als Ergebnis und Darstellung einer Addition

In dem mathematischenTerm

$2+3$

heißen die Zahlen 2 und 3Summanden.Der gesamte Term$2+3$wird ebenso wie das Ergebnis 5 als die „Summe von 2 und 3 “bezeichnet.

Man kann eine Summe mit mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel$(4+7)+1$.Eine häufige Konvention ist dabei, bei Linksklammerung die Klammern einfach wegzulassen, also$(4+7)+1$einfach mit$4+7+1$abzukürzen. Aufgrund derAssoziativitätder Addition von natürlichen Zahlen spielt es hier übrigens für das Ergebnis keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt:

$(4+7)+1=4+(7+1)$

Mit dem Gleichheitszeichen wird dabei die Gleichheit der Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Terme ausgedrückt.

Aufgrund desKommutativgesetzesder Addition von natürlichen Zahlen ist auch die Reihenfolge der Summanden irrelevant, zum Beispiel gilt:

$4+7+1=7+4+1$

Wird$n$-mal die gleiche Zahl$a$addiert, dann kann die Summe auch alsProdukt$n\cdot a$geschrieben werden. Zum Beispiel:

$a+a+a=3\cdot a$

Gewichtete Summe

In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:

$2\cdot {\text{Gewicht}}_{1}+3\cdot {\text{Gewicht}}_{2}.$

Zum Beispiel:

$2\cdot 3+3\cdot 5.$

In diesem Fall spricht man von einergewichteten Summe.Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man dasgewichtete arithmetische Mittel.

Summe einer Folge, Reihe

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als

$1+2+3+\dotsb +100$

angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch dieAuslassungspunkteersetzt wurden.

So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie$2+3=5$zu Buchstabenrechnungen wie$2+x=y$übergeht, kann man z. B. auch die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel$n$,die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre$n=100$.Da beliebig große$n$zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle$n$Summanden mit$n$verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstabe, z. B.$a$,gewählt und um einenIndexergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte$1,2,\dotsc$an. Die Summanden heißen dementsprechend$a_{1},a_{2},\dotsc$.Sie bilden somit eine Zahlenfolge.

Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen$n$die Summe der ersten$n$Glieder der Zahlenfolge als

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}$

schreiben. Wenn man für$n$verschiedene Werte$1,2,\dotsc$einsetzt, bilden die$s_{1},s_{2},\dotsc$ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge vonPartialsummenüber die Anfangsglieder einer Folge wird alsReihebezeichnet.

Beispiel:Für die Folge der Quadratzahlen ist$a_{1}=1$,$a_{2}=4$,$a_{3}=9$.Ganz allgemein gilt:

$a_{n}=n^{2}.$

Die Folge der Partialsummen dieser Folge beginnt mit$s_{1}=1$,$s_{2}=5$,$s_{3}=14$.Eine Summationsformel besagt nun für beliebige$n$:

$s_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$

Weitere Summationsformeln wie zum BeispielDer kleine Gauß

$1+2+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

finden sich in derFormelsammlung Arithmetik.Der Beweis solcher Formeln kann oft mittelsvollständiger Induktionerfolgen.

Notation mit dem Summenzeichen

Die Sigma-Schreibweise

Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit demSummenzeichennotiert werden:

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\dotsb +a_{n}.$

Das Summenzeichen besteht aus dem großengriechischen BuchstabenΣ(Sigma), gefolgt voneinemFolgenglied,das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier$k$) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft alsLaufindexoderSummationsvariablebzw.Lauf- oder Zählvariablebezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben$i,j,k,l,m,n$verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

Einfaches Beispiel:$\sum \limits _{k=1}^{10}k=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$.

Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:

1. Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier:$m$und$n$). Der Laufindex wird in der Regel nur unten angeschrieben; ausführlicher, aber recht ungebräuchlich, ist$\textstyle \sum _{k=m}^{k=n}a_{k}.$
2. Oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable angegeben. Das obige Beispiel kann also auch durch$\textstyle \sum _{m\leq k\leq n}a_{k}$notiert werden.

Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In derTensorrechnungvereinbart man häufig dieeinsteinsche Summenkonvention,der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

Formale Definition

Sei$I$eine (Index-)Menge,$A$ein kommutativesMonoid. Für jedes$i\in I$sei ein$a_{i}\in A$gegeben. Dann kann$\sum _{i\in I}a_{i}\in A$zumindest für endlicheIndexmengendurchRekursiondefiniert werden: Man setzt

$\sum _{i\in \emptyset }a_{i}:=0\in A$

und ansonsten

$\sum _{i\in I}a_{i}:=a_{j}+\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}\in A$

nach Wahl eines beliebigen Elementes$j\in I$.Kommutativität und Assoziativität der Addition in$A$garantieren, dass dieswohldefiniertist.

Die Schreibweise$\sum _{k=m}^{n}a_{k}$mit$m,n\in \mathbb {Z}$ist in diesem Sinne nur eine Abkürzung für$\sum _{k\in I}a_{k}$mit$I=\{i\in \mathbb {Z} \mid m\leq i\leq n\}$.

Falls$I$unendlich ist, ist$\sum _{i\in I}a_{i}$allgemein nur definiert, falls$a_{i}=0$fürfast alle$i$gilt. In diesem Fall setzt man

$\sum _{i\in I}a_{i}:=\sum _{i\in \{k\in I\mid a_{k}\neq 0\}}a_{i}.$

Rechts steht nach Voraussetzung eine endliche Indexmenge, also eine wie oben definierte Summe.

Sind unendlich viele$a_{i}$ungleich 0, dann handelt es sich trotz gleichartiger Schreibweise nicht mehr um eine Summe, sondern eine Reihe (siehe unten).

Klammerkonventionen und Rechenregeln

Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:

$\sum _{k=m}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=m}^{n}a_{k}+\sum _{k=m}^{n}b_{k}.$

Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:

$\sum _{k=m}^{n}\lambda \cdot a_{k}=\lambda \cdot \sum _{k=m}^{n}a_{k}.$

Vorsicht:Allgemein gilt: $\sum _{k=m}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\neq \sum _{k=m}^{n}a_{k}\cdot \sum _{k=m}^{n}b_{k}$.

Besondere Summen

Für$n=m$besteht die Summe aus einem einzigen Summanden$a_{m}$:

$\sum _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}$.

Für$n<m$hat man eine sogenannteleere Summe,die gleich 0 ist, da die Indexmenge$I=\{k\in \mathbb {Z} \mid m\leq k\leq n\}$leer ist:

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=0\quad$für$n<m$.

Ist das allgemeine Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen$k$), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:

$\sum _{k=m}^{n}c=(n-m+1)\ c\quad$für$n\geq m-1$.

Doppelsummen

Auch über Summen kann wieder summiert werden. Das ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die erste, die „innere “Summe, einen Index enthält, der alsLaufindexfür die „äußere “Summe verwendet werden kann. Man schreibt zum Beispiel:

$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}:=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right).$

Dabei gilt die Regel:$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}=\sum _{j,i=1}^{n}a_{ij}$.

In der mathematischen Physik gilt fürDoppelsummenzudem folgende Konvention:

Ein Apostroph am Summenzeichen besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen:

$\sideset {}{^{\prime }}\sum _{ij}a_{ij}:=\sum _{i\neq j}a_{ij}.$

Reihe

→Hauptartikel:Reihe (Mathematik)

Wennunendlichviele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel

$\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=\sum _{j\geq 1}a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dotsb$

mit (abzählbar) unendlich vielenSummandenungleichnull,müssen Methoden derAnalysisangewendet werden, um den entsprechendenGrenzwert

$\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{j}$

zu finden, falls er existiert. Eine solche Summe wirdunendliche Reihegenannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol$\infty$für Unendlichkeit.

Wichtige Unterschiede zwischen Reihen und echten Summen sind beispielsweise:

• $\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}$ist nicht für beliebige$(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$definiert (d. h. konvergent).
• Konvergenz und Wert können von der Reihenfolge der Summanden abhängen.
• Auch die Vertauschung von Doppelsummen lässt sich nicht immer auf (Doppel-)Reihen übertragen.
• Fehlende Abgeschlossenheit: Beispielsweise ist$\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$irrational, obwohl alle Summanden rational sind.

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die$\infty$als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe

$\sum _{k>0}\left[{\frac {n}{p^{k}}}\right]=\left[{\frac {n}{p}}\right]+\left[{\frac {n}{p^{2}}}\right]+\left[{\frac {n}{p^{3}}}\right]+\dotsb$

fürPrimzahlen$p$und mit derGanzzahl-Funktion$x\mapsto [x]$zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. (Diese Summe gibt an, wie oft derFaktor$p$in derPrimfaktorzerlegungvon$n!$vorkommt.)

Verwandte Begriffe

• Diedisjunkte Vereinigungvon Mengen hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit der Addition von Zahlen. Sind beispielsweise$X$und$Y$endliche Mengen, so ist die Anzahl der Elemente von$X\sqcup Y$gleich der Summe der Elementanzahlen von$X$und$Y$.Daskartesische Produktist distributiv über dieser Summenbildung:

$X\times (Y\sqcup Z)\cong (X\times Y)\sqcup (X\times Z)$

• Die auskategoriellerSicht analoge Konstruktion fürVektorräumeoderabelsche Gruppenwird alsdirekte Summebezeichnet; allgemein spricht man von einemKoprodukt.
• EineTeleskopsummeist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.
• AlsPythagoreische Summebezeichnet man eine der Addition ähnliche Rechenoperation, bei der die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate mehrerer Größen berechnet wird.

Siehe auch

• Produkt (Mathematik)

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt– Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Summe– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen