Zusammenschieben eines Teleskops – Namensgeber der Teleskopsumme Ein zusammenschiebbares Teleskop EineTeleskopsumme ist in derMathematik eine endlicheSumme vonDifferenzen ,bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt manTeleskopieren einer Summe .Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrererzylindrischer Rohre .
Falls
(
a
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\,}
Folge ist, so ist
∑
i
=
1
n
(
a
i
−
a
i
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})}
eine Teleskopsumme. Kann man eine Summe als Teleskopsumme schreiben, vereinfacht sich ihre Auswertung:
∑
i
=
1
n
(
a
i
−
a
i
+
1
)
=
(
a
1
−
a
2
)
+
(
a
2
−
a
3
)
+
⋯
+
(
a
n
−
1
−
a
n
)
+
(
a
n
−
a
n
+
1
)
=
a
1
−
a
n
+
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3})+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}}
EineReihe ,deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißtTeleskopreihe .Eine Teleskopreihe
∑
i
=
1
∞
(
a
i
−
a
i
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-a_{i+1})}
ist genau dann konvergent, wenn
(
a
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\,}
g
{\displaystyle g\,}
a
1
−
g
{\displaystyle a_{1}-g\,}
Analoges gilt für ein Produkt:
∏
i
=
1
n
a
i
+
1
a
i
=
a
2
a
1
⋅
a
3
a
2
⋅
a
4
a
3
⋯
a
n
a
n
−
1
⋅
a
n
+
1
a
n
=
a
n
+
1
a
1
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}}
ist sozusagen einTeleskopprodukt .
Komplizierter ist die Situation, wenn dasTeleskop über drei (oder auch mehr) aufeinanderfolgende Glieder läuft (siehe Beispiel).
In derZahlentheorie stellen Teleskopsummen ein wichtiges Hilfsmittel dar.
endlichegeometrische Reihe :
(
x
−
1
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
x
k
+
1
−
x
k
)
=
x
n
+
1
−
1.
{\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{k})=x^{n+1}-1.}
Teleskopsummen sind oft ein wenig versteckt und lassen sich beispielsweise durchPartialbruchzerlegung erkennen. Die Partialbruchzerlegung von
1
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}}
1
k
(
k
+
1
)
=
k
+
1
−
k
k
(
k
+
1
)
=
k
+
1
k
(
k
+
1
)
−
k
k
(
k
+
1
)
=
1
k
−
1
k
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {k+1-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}}
Daraus folgt
∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
1
n
(
1
k
−
1
k
+
1
)
=
1
−
1
n
+
1
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=1-{\frac {1}{n+1}}.}
(
x
−
1
)
2
∑
k
=
1
n
k
x
k
−
1
=
∑
k
=
1
n
(
k
x
k
+
1
−
2
k
x
k
+
k
x
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
[
k
x
k
+
1
−
(
k
−
1
)
x
k
]
−
∑
k
=
1
n
[
(
k
+
1
)
x
k
−
k
x
k
−
1
]
=
n
x
n
+
1
−
(
n
+
1
)
x
n
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n}(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\sum _{k=1}^{n}[kx^{k+1}-(k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]\\&=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1.\end{aligned}}}
Alternativ folgt dies für
x
≠
1
{\displaystyle x\neq 1}
Quotientenregel :
∑
k
=
1
n
k
x
k
−
1
=
d
d
x
∑
k
=
0
n
x
k
=
d
d
x
x
n
+
1
−
1
x
−
1
=
(
n
+
1
)
x
n
(
x
−
1
)
−
(
x
n
+
1
−
1
)
(
x
−
1
)
2
=
n
x
n
+
1
−
(
n
+
1
)
x
n
+
1
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}}
Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel derDifferentialrechnung alsKalkül bei derTermumformung . Rolf Walter:Einführung in die Analysis. Band 1. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2007,ISBN 978-3-11-019539-2 ,S. 31–32 (Auszug in der Google-Buchsuche).
Harro Heuser :Lehrbuch der Analysis. Band 1. 6. Auflage, unveränderter Nachdruck der 5. durchgesehenen Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1989,ISBN 3-519-42221-2 ,S. 91, 94, 194.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n}(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\sum _{k=1}^{n}[kx^{k+1}-(k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]\\&=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb02703f8d49298340c82721d64873c9fb827cf)
