Volumen

Physikalische Größe
Name	Volumen Rauminhalt
Formelzeichen	$V$
Abgeleitet von	Länge
Größen-und Einheitensystem Einheit Dimension SI m3 L3 cgs cm3 L3 Planck Planck-Volumen $l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}$

DasVolumen(PluralVolumenoderVolumina;vonlateinischvolumen„Windung, Krümmung “, ausvolvere„wälzen, rollen “), auch:Raum-oderKubikinhalt,ist der räumlicheInhalteinesgeometrischen Körpers.ÜblichesFormelzeichenist$V$.

In derPhysikbezeichnet man mit dem Volumen dieAusdehnung(denPlatzbedarf) eines Körpers. Die (kohärente)SI-Einheitfür dasRaummaßist derKubikmeter(Einheitenzeichenm³). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die EinheitLiterist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1dm³(10×10×10 cm³) definiert.

Technisch muss unterschieden werden:

• Hohlvolumen,derfreie Rauminnerhalb gewisser Grenzen, etwa dasFassungsvermögeneinesBehälters
• Rauminhalt,dasVolumenfester Körper,vonFlüssigkeitenoderGasen

Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auchStereometrie) stammen aus demAlten Ägypten.DasMoskauer Papyrusist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr1850 v. Chr.datiert. Unter anderem sind hier dieFormelnfür die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegelbeschrieben. Die Bestimmung wurde durchAnalyseund anschließenderSyntheseerreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden

Siehe auch:Volumenmessgeräte

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

• Auslitern:Der Körper wird mitSandoderWassergefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
• Wasserverdrängung:Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z. B.Zylinder) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
• Bei einem Körper mit einer bekanntenDichtelässt sich das Volumen aucherwiegen.

Volumen-Berechnung

Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) einMaßfür eine messbare Teilmengedes gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich$B$im$\mathbb {R} ^{3}$) durch ein Dreifachintegral$\mathrm {V} =\iiint _{B}\mathrm {d} V$beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

Körper	Volumen	Parameter
Würfel	$V=a^{3}\;$
Quader	$V=abc$
Prisma (GrundflächeG)	$V=Gh$
Pyramide (GrundflächeG)	$V={\frac {1}{3}}Gh$
Kugel	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Ellipsoid	$V={\frac {4}{3}}\pi abc$
senkrechter Kreiszylinder	$V=\pi r^{2}h$
senkrechterKreiskegel	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
Torus	$V=2\pi ^{2}Rr^{2}$
Rotationskörper	$V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$
Körper mit stetiger Querschnittsfläche$A(x)$ (z. B.Steinmetz-Körper)	$V=\int _{a}^{b}A(x)\mathrm {d} x$	Für den Rotationskörper ist $A(x)=\pi f(x)^{2}$

Verallgemeinerung

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionaleMannigfaltigkeitendefinieren, siehe dazu auchVolumenform.Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionalerHyperwürfelmit Kantenlänge$a$ein Volumen von$a^{n}$.

Das Volumen einerorientierbarenRiemannschen Mannigfaltigkeitist definiert durchIntegrationder Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

Hohlraum

Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Sein Volumen wird als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (SiehePorosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist das allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist dieHohlraumstrahlung.

Beispiele: Hohlraum

• …als Gefäß:Flasche,Tank,Verdauungssystem, Schwamm
• …als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
• …als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher “im Käse,Lunker

Siehe auch

• Banach-Tarski-ParadoxonundMaßtheorie,zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsächlichen Welt
• Liste von Größenordnungen des Volumens
• Raummaß

Weblinks

• Edmund Hlawka:Zur Geschichte des Inhaltsbegriffes