Volumenform

EineVolumenformist ein mathematisches Objekt, welches zurIntegrationüber Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung speziellerKoordinatensysteme,also ein Spezialfall einesVolumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wieinfinitesimales VolumenelementoderMaßfaktorgebräuchlich.

Berechnung in 3 Dimensionen

Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach demTransformationssatzmit Hilfe derFunktionaldeterminante$\det J$berechnen. DieJacobi-Matrixfür die Transformation von den Koordinaten$\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$zu$\{x'_{1},x'_{2},x'_{3}\}$ist hierbei definiert durch

$J={\frac {\partial (x_{1},x_{2},x_{3})}{\partial (x'_{1},x'_{2},x'_{3})}}.$

Das Volumenelement ist dann gegeben durch

$\mathrm {d} V'=|\det J|\,\mathrm {d} x'_{1}\,\mathrm {d} x'_{2}\,\mathrm {d} x'_{3}.$

Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten alsSpatproduktder (lokalen)Basisvektoren.Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an dieKoordinatenlinienund werden aus derKoordinatentransformationdurch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante. Siehe:Herleitung des Volumenelementes für Kugelkoordinaten.

Beispiele in 3 Dimensionen

• Kartesische Koordinaten:$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\cdot \ \mathrm {d} y\cdot \ \mathrm {d} z$
• Zylinderkoordinaten:$\mathrm {d} V=\rho \cdot \ \mathrm {d} \rho \cdot \ \mathrm {d} \varphi \cdot \ \mathrm {d} z$
• Kugelkoordinaten:$\mathrm {d} V=\ r^{2}\cdot \sin \theta \cdot \ \mathrm {d} r\cdot \ \mathrm {d} \theta \cdot \ \mathrm {d} \varphi$

Mathematische Definition

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer$n$-dimensionalenMannigfaltigkeiteine nirgends verschwindendeDifferentialformvom Grad$n$.Im Fall einerorientiertenriemannschen Mannigfaltigkeitergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientiertenOrthonormalbasisannimmt. Diese wirdRiemann’sche Volumenformgenannt.

Integration mit Volumenformen

Ist$\omega$eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit$M$und$f$eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

$\int _{M}f\cdot \omega$

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien$x_{1},\ldots,x_{n}$lokale Koordinaten, so dass

${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

positiv orientiert ist. Dann kann man$f\cdot \omega$im Kartengebiet als

$g\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{n}$

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnlicheLebesgue-Integralvon$g$.Für das Integral über ganz$M$kann einePartition der Einsoder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus demTransformationssatzergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

Literatur

• Volume form.In:Michiel Hazewinkel(Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics.Springer-Verlag undEMSPress, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7(englisch,encyclopediaofmath.org).
• K. Endl / W. Luh:Analysis.Band1.Akademische Verlagsgesellschaft, 1972,ISBN 3-400-00185-6.
• K. Endl / W. Luh:Analysis.Band2.Akademische Verlagsgesellschaft, 1973,ISBN 3-400-00206-2.